人教A版高中数学必修五 3.3.2 简单的线性规划问题教案
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学必修五 3.3.2 简单的线性规划问题教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 52.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-17 16:02:42 | ||
图片预览
文档简介
《简单的线性规划问题》（第一课时）
一、内容及其解析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用. 本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.
二、教学目标
（1）知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力。
（3）情态、态度与价值观：让学生体会数学源于生活，服务于生活；体会数学活动充满着探索与创造，培养学生动手操作、勇于探索的精神。
三、教学重、难点
1、教学重点 :求线性规划问题的最优解
2、教学难点 :学生对为什么要将求目标函数的最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题以及如何想到这样转化存在疑惑，在教学中应紧扣实际，突出知识的形成发展过程。
四、学生学情分析
本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。从数学知识上看，问题涉及多个已知数据，多个字母变量、多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。
五、教学方法：教师启发引导式教学，学生自主探究、讨论学习。通过教师的引导找出问题的突破口，画出可行域，在通过讨论找出最值。
六、教学手段：采用计算机辅助教学。
七、教学设计过程
新课引入
我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．
目标解读
通过本节课的学习，我们要完成以下目标：
1.了解线性规划问题的相关基本概念；2.会用图解法求线性目标函数的最值问题；
预习反馈
通过导学案的完成情况，对完成较好的学生提出表扬，并将学案在多媒体上展示；鼓励其他同学继续努力。
知识梳理:
1. 线性规划的有关概念
(1)约束条件：由变量组成的 .如不等式组就是一个关于的约束条件.
(2)线性约束条件：由变量组成的 .上述不等式组也是一个关于的线性约束条件.
(3)目标函数: .
(4) 线性目标函数： .
(5)线性规划问题： .
(6)可行解： .
(7)可行域： .
(8)最优解： .
2. 求目标函数的最值:
(1)直线的斜率和纵截距：直线可化为,其中叫做该直线的斜率，它表示直线的倾斜程度，当斜率为正时直线从左到右上升，当斜率为负时直线从左到右下降；叫做直线的纵截距，它是直线与轴交点的纵坐标。
问题： 下列（目标）函数中，z表示在y轴上的截距的是( )
A．z＝x－2y B．z＝3x－y C．z＝x＋y D．z＝x＋4y
(2)画出不等式（组）表示的平面区域
1） 2）
合作探究
求线性目标函数的最值
例1：点在不等式组表示的平面区域内，则的最大值为_______，最小值为_______.
解析：
画出不等式组所表示的平面区域.（此平面区域即为可行域）
（2）把目标函数z变形为，这时斜率为 ，在y轴上的截距为 的直线。当z取不同的值时，可以得到一族互相平行的直线束.请在图（1）上用虚线画出时所对应的直线.
（3）将直线上下平移使其与可行域有交点，请继续用虚线画出截距最大时的直线，画出截距最小时的直线；由上图可得：截距最大时，取最大值;截距最小时，取最小值.
（4）求出直线与可行域的交点的坐标（ ， ）.
求出直线与可行域的交点的坐标（ ， ） .
求此时的值.__________ ______________
概念学习
在上述问题中，先通过表格找出变量之间的关系，再用不等式表示出来。不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．
z=2x+3y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数 z=2x+3y在线性约束条件①下的最大值和最小值问题，一般来说线性目标函数在线性约束条件下的最值都在平面区域边界处取得。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解中使目标函数取得最大值和最小值的解，它们都叫做这个问题的最优解．
相关概念的理解
结合例题1，完成下列问题。
在例题1中：（1）线性约束条件： .
(2)目标函数: .
(3)线性目标函数： .
(4)可行解： .
(5)可行域： .
(6)最优解： .
注：利用导学案，学生自主探究，信息技术突破难点，通过例题的不断深入让学生进一步体会x、y的约束条件，以及几何法求最值的特点，由学生总结相关的求解步骤。通过学生实验，老师几何画板的演示，以及师生不断探究归纳出z最值问题可转化为直线纵截距的最值问题。
小结：在约束条件下，求目标函数最值的一般步骤为(图解法)：
画：作出可行域和直线:；
移：平移直线确定使取得最大、最小值的点；
求：解相关方程组，求出取得最大值或最小值的点的坐标，从而得出目标函数的最值；
答：给出正确答案。
课堂练习：
1、在例题1的条件下，求的最大值，最小值。
2.（高考真题）若变量满足约束条件求的最大值.
课堂检测
已知变量满足条件(Ⅰ) 设，取点A（1,-1）可求得；取点B（1,-3）可求得；取点C（2,-2）可求得；则(Ⅰ) 叫做 ；Z叫做 ；三角形ABC表示的平面区域叫做_________________,三角形ABC内的任意一点都叫做 ；点（1,-3）和点（2,-2）均叫做 .
2、若变量满足约束条件，则的最大值为______;
3、若变量满足约束条件,则的最小值_______；
通过学生对练习求解，教师的讲解，引导学生思考z的最值与直线纵截距之间的关系。通过几何画板动态的展示，让学生的思维从动态的角度体会目标函数，进一步体会求解最值得方法。
【课堂小结】
1.相关概念：约束条件，线性约束条件，目标函数，线性目标函数，线性规划问题，可行域，可行解，最优解。
2.解简单的线性规划问题的步骤：
在约束条件下，求目标函数最值的一般步骤为(图解法)：
1)画：作出可行域和直线:；
2)移：平移直线确定使取得最大、最小值的点；
3)求：解相关方程组，求出取得最大值或最小值的点的坐标，从而得出目标函数的最值；
4)答：给出正确答案。
通过问题的形式，师生共同回顾教学过程与内容，系统整理知识点，完善知识结构。
【作业布置】
前四组：P91练习1（1）
2.若变量满足约束条件
则 的最大值为______;
后四组：P91练习1
探究:实际问题中的线性规划问题，如何求解？
板书设计 简单的线性规划问题
一、相关概念 例题 练习
二、求解线性规划问题的一般步骤
画、移、求、答
小结
教学反思
本节课采用导学案的形式，由学生先完成预习案，并画出后续题例的不等式组所表示的平面区域，上课直接讨论学生的错误之处和难点之处；这种方式不仅帮助学生复习了前面学习的知识，同时也为突破本节课的难点节省了时间。通过小组讨论并展示的教学方式，让学生参与到了课堂中，有助于学生的学习。利用多媒体辅助教学，直观生动地呈现图解法求最优解的过程，既加大课堂信息量，又提高教学效率。但在时间安排上不是很合理，还需要改进。通过本节课的教学，我发现学生的画图能力比较弱，在今后的教学过程中需要多加强这方面的练习。精心规划教学，提高教学质量。
一、内容及其解析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用. 本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.
二、教学目标
（1）知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力。
（3）情态、态度与价值观：让学生体会数学源于生活，服务于生活；体会数学活动充满着探索与创造，培养学生动手操作、勇于探索的精神。
三、教学重、难点
1、教学重点 :求线性规划问题的最优解
2、教学难点 :学生对为什么要将求目标函数的最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题以及如何想到这样转化存在疑惑，在教学中应紧扣实际，突出知识的形成发展过程。
四、学生学情分析
本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。从数学知识上看，问题涉及多个已知数据，多个字母变量、多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。
五、教学方法：教师启发引导式教学，学生自主探究、讨论学习。通过教师的引导找出问题的突破口，画出可行域，在通过讨论找出最值。
六、教学手段：采用计算机辅助教学。
七、教学设计过程
新课引入
我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．
目标解读
通过本节课的学习，我们要完成以下目标：
1.了解线性规划问题的相关基本概念；2.会用图解法求线性目标函数的最值问题；
预习反馈
通过导学案的完成情况，对完成较好的学生提出表扬，并将学案在多媒体上展示；鼓励其他同学继续努力。
知识梳理:
1. 线性规划的有关概念
(1)约束条件：由变量组成的 .如不等式组就是一个关于的约束条件.
(2)线性约束条件：由变量组成的 .上述不等式组也是一个关于的线性约束条件.
(3)目标函数: .
(4) 线性目标函数： .
(5)线性规划问题： .
(6)可行解： .
(7)可行域： .
(8)最优解： .
2. 求目标函数的最值:
(1)直线的斜率和纵截距：直线可化为,其中叫做该直线的斜率，它表示直线的倾斜程度，当斜率为正时直线从左到右上升，当斜率为负时直线从左到右下降；叫做直线的纵截距，它是直线与轴交点的纵坐标。
问题： 下列（目标）函数中，z表示在y轴上的截距的是( )
A．z＝x－2y B．z＝3x－y C．z＝x＋y D．z＝x＋4y
(2)画出不等式（组）表示的平面区域
1） 2）
合作探究
求线性目标函数的最值
例1：点在不等式组表示的平面区域内，则的最大值为_______，最小值为_______.
解析：
画出不等式组所表示的平面区域.（此平面区域即为可行域）
（2）把目标函数z变形为，这时斜率为 ，在y轴上的截距为 的直线。当z取不同的值时，可以得到一族互相平行的直线束.请在图（1）上用虚线画出时所对应的直线.
（3）将直线上下平移使其与可行域有交点，请继续用虚线画出截距最大时的直线，画出截距最小时的直线；由上图可得：截距最大时，取最大值;截距最小时，取最小值.
（4）求出直线与可行域的交点的坐标（ ， ）.
求出直线与可行域的交点的坐标（ ， ） .
求此时的值.__________ ______________
概念学习
在上述问题中，先通过表格找出变量之间的关系，再用不等式表示出来。不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．
z=2x+3y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数 z=2x+3y在线性约束条件①下的最大值和最小值问题，一般来说线性目标函数在线性约束条件下的最值都在平面区域边界处取得。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解中使目标函数取得最大值和最小值的解，它们都叫做这个问题的最优解．
相关概念的理解
结合例题1，完成下列问题。
在例题1中：（1）线性约束条件： .
(2)目标函数: .
(3)线性目标函数： .
(4)可行解： .
(5)可行域： .
(6)最优解： .
注：利用导学案，学生自主探究，信息技术突破难点，通过例题的不断深入让学生进一步体会x、y的约束条件，以及几何法求最值的特点，由学生总结相关的求解步骤。通过学生实验，老师几何画板的演示，以及师生不断探究归纳出z最值问题可转化为直线纵截距的最值问题。
小结：在约束条件下，求目标函数最值的一般步骤为(图解法)：
画：作出可行域和直线:；
移：平移直线确定使取得最大、最小值的点；
求：解相关方程组，求出取得最大值或最小值的点的坐标，从而得出目标函数的最值；
答：给出正确答案。
课堂练习：
1、在例题1的条件下，求的最大值，最小值。
2.（高考真题）若变量满足约束条件求的最大值.
课堂检测
已知变量满足条件(Ⅰ) 设，取点A（1,-1）可求得；取点B（1,-3）可求得；取点C（2,-2）可求得；则(Ⅰ) 叫做 ；Z叫做 ；三角形ABC表示的平面区域叫做_________________,三角形ABC内的任意一点都叫做 ；点（1,-3）和点（2,-2）均叫做 .
2、若变量满足约束条件，则的最大值为______;
3、若变量满足约束条件,则的最小值_______；
通过学生对练习求解，教师的讲解，引导学生思考z的最值与直线纵截距之间的关系。通过几何画板动态的展示，让学生的思维从动态的角度体会目标函数，进一步体会求解最值得方法。
【课堂小结】
1.相关概念：约束条件，线性约束条件，目标函数，线性目标函数，线性规划问题，可行域，可行解，最优解。
2.解简单的线性规划问题的步骤：
在约束条件下，求目标函数最值的一般步骤为(图解法)：
1)画：作出可行域和直线:；
2)移：平移直线确定使取得最大、最小值的点；
3)求：解相关方程组，求出取得最大值或最小值的点的坐标，从而得出目标函数的最值；
4)答：给出正确答案。
通过问题的形式，师生共同回顾教学过程与内容，系统整理知识点，完善知识结构。
【作业布置】
前四组：P91练习1（1）
2.若变量满足约束条件
则 的最大值为______;
后四组：P91练习1
探究:实际问题中的线性规划问题，如何求解？
板书设计 简单的线性规划问题
一、相关概念 例题 练习
二、求解线性规划问题的一般步骤
画、移、求、答
小结
教学反思
本节课采用导学案的形式，由学生先完成预习案，并画出后续题例的不等式组所表示的平面区域，上课直接讨论学生的错误之处和难点之处；这种方式不仅帮助学生复习了前面学习的知识，同时也为突破本节课的难点节省了时间。通过小组讨论并展示的教学方式，让学生参与到了课堂中，有助于学生的学习。利用多媒体辅助教学，直观生动地呈现图解法求最优解的过程，既加大课堂信息量，又提高教学效率。但在时间安排上不是很合理，还需要改进。通过本节课的教学，我发现学生的画图能力比较弱，在今后的教学过程中需要多加强这方面的练习。精心规划教学，提高教学质量。