人教A版高中数学必修五 3.4基本不等式 教案
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学必修五 3.4基本不等式 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 130.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-17 16:06:42 | ||
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文档简介
3.4基本不等式
一、教学目标：
知识与技能：
1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；
2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；
3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件.
过程与方法：
1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；
3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.
情感、态度与价值观：
1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从
理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生
严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；
2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，
从而提高学习质量；
3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的
应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.?
二．重点难点?
重点：1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；
2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；
3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.
难点：1.对基本不等式从不同角度的探索证明；
2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.
三、教材与学情分析
本节课是通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.通过分析得出基本不等式：，然后从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣.
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）导入新课
上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）
（二）探究新知
师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？
生 应该先从此图案中抽象出几何图形.
师 此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？
（请两位同学在黑板上画.教师根据两位同学的板演作点评）
（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观.此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）
师 设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么
关系呢？
生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和.
师 一定吗？
师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？
生 每个直角三角形的面积为，四个直角三角形的面积之和为2ab.正方形的边长为，
所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab.
师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b2≥2ab证明了吗？
生 没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已.
师 回答得很好.
师 这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明.
师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab.
生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，
所以可得a2+b2≥2ab.
师 这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样.
生 实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明.
师 这位同学回答得很好，思维很深刻.此处的比较法是用差和0作比较.在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”.
生 作商，用商和“1”比较大小.
师 请同学们再仔细观察一下，等号何时取到.
生 当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号.
师 从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明.
生 当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号.
师 这位同学回答得很好.请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致.
（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）
板书：
一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.
师 这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.
（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）
师 当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.
生 完全可以.
师 为什么？ [ ]
生 因为不等式中的a、b∈R.
师 很好，我们来看一下代替后的结果.
板书：
即 (a＞0,b＞0).
师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [ ]
师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？
（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式）
要证：，①
只要证a+b≥2，②
要证②，只要证：a+b-2≥0，③
要证③，只要证：④
显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.
（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）
老师用投影仪给出下列问题.
如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）
师 同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？
生 可证△ACD ∽△BCD,所以可得.
生 由射影定理也可得.
师 这两位同学回答得都很好，那ab与分别又有什么几何意义呢？
生表示半弦长，表示半径长.
师 半径和半弦又有什么关系呢？
生 由半径大于半弦可得.
师 这位同学回答得是否很严密？
生 当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式 (a＞0,b＞0).
（三）典例解析
例1.已知都是正数，求证：
（1）如果积是定值P，那么当时，和有最小值；
（2）如果和是定值，那么当时，积有最大值.
回答问题3，得出：
1.利用定理可以求解最值问题；
2.利用定理可以求解：和一定求积的最值；积一定求和的最值.
3.利用定理求最值应满足：一正二定三相等.
指出“一正”即满足定理成立的条件；“二定”即求和的最小值则积应为定值，求积的最大值则和应为定值；“三相等”即要保证求出的最值可以取到. 三个条件在利用定理求最值时缺一不可.
练习1.(1)已知，当取什么值时,的值最小，最小值是多少？
(2)已知，当取什么值时, 的值最大，最大值是多少？
投影学生的解题过程，让其他学生分析是否完整，并思考这两个问题是否还有其他解法（第一个小题还可以利用第一个重要不等式；第二小题可以利用一元二次函数的最值求法）.
练习2.下列问题的解法是否正确，如果错误请指出错误原因.
（1）求函数 的值域.
解：
（2）求函数的最大值.
解： ≤
函数没有最大值.
（3）求函数的最小值.
解：
≥
带领学生分析：练习1错误原因: 忽略了自变量取负值的情况；练习2错误原因: 不满足和为定值；练习3错误原因: 不可能成立. 并且给出第（1）（2）小题的正确解法.
再次强调“一正”即满足定理成立的条件；“二定”即求和的最小值则积应为定值，求积的最大值则和应为定值；“三相等”即要保证求出的最值可以取到。三个条件在利用定理求最值时要同时满足，缺一不可.
六、课堂小结
师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？
生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a2+b2≥2ab.
生 由a2+b2≥2ab,当a＞0，b＞0时，以、分别代替a、b，得到了基本不等式 (a＞0,b＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式.
生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式.
（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）
师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0，及当且仅当a=b时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用.
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思
一、教学目标：
知识与技能：
1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；
2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；
3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件.
过程与方法：
1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；
3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.
情感、态度与价值观：
1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从
理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生
严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；
2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，
从而提高学习质量；
3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的
应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.?
二．重点难点?
重点：1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；
2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；
3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.
难点：1.对基本不等式从不同角度的探索证明；
2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.
三、教材与学情分析
本节课是通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.通过分析得出基本不等式：，然后从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣.
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）导入新课
上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）
（二）探究新知
师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？
生 应该先从此图案中抽象出几何图形.
师 此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？
（请两位同学在黑板上画.教师根据两位同学的板演作点评）
（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观.此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）
师 设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么
关系呢？
生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和.
师 一定吗？
师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？
生 每个直角三角形的面积为，四个直角三角形的面积之和为2ab.正方形的边长为，
所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab.
师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b2≥2ab证明了吗？
生 没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已.
师 回答得很好.
师 这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明.
师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab.
生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，
所以可得a2+b2≥2ab.
师 这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样.
生 实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明.
师 这位同学回答得很好，思维很深刻.此处的比较法是用差和0作比较.在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”.
生 作商，用商和“1”比较大小.
师 请同学们再仔细观察一下，等号何时取到.
生 当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号.
师 从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明.
生 当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号.
师 这位同学回答得很好.请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致.
（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）
板书：
一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.
师 这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.
（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）
师 当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.
生 完全可以.
师 为什么？ [ ]
生 因为不等式中的a、b∈R.
师 很好，我们来看一下代替后的结果.
板书：
即 (a＞0,b＞0).
师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [ ]
师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？
（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式）
要证：，①
只要证a+b≥2，②
要证②，只要证：a+b-2≥0，③
要证③，只要证：④
显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.
（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）
老师用投影仪给出下列问题.
如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）
师 同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？
生 可证△ACD ∽△BCD,所以可得.
生 由射影定理也可得.
师 这两位同学回答得都很好，那ab与分别又有什么几何意义呢？
生表示半弦长，表示半径长.
师 半径和半弦又有什么关系呢？
生 由半径大于半弦可得.
师 这位同学回答得是否很严密？
生 当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式 (a＞0,b＞0).
（三）典例解析
例1.已知都是正数，求证：
（1）如果积是定值P，那么当时，和有最小值；
（2）如果和是定值，那么当时，积有最大值.
回答问题3，得出：
1.利用定理可以求解最值问题；
2.利用定理可以求解：和一定求积的最值；积一定求和的最值.
3.利用定理求最值应满足：一正二定三相等.
指出“一正”即满足定理成立的条件；“二定”即求和的最小值则积应为定值，求积的最大值则和应为定值；“三相等”即要保证求出的最值可以取到. 三个条件在利用定理求最值时缺一不可.
练习1.(1)已知，当取什么值时,的值最小，最小值是多少？
(2)已知，当取什么值时, 的值最大，最大值是多少？
投影学生的解题过程，让其他学生分析是否完整，并思考这两个问题是否还有其他解法（第一个小题还可以利用第一个重要不等式；第二小题可以利用一元二次函数的最值求法）.
练习2.下列问题的解法是否正确，如果错误请指出错误原因.
（1）求函数 的值域.
解：
（2）求函数的最大值.
解： ≤
函数没有最大值.
（3）求函数的最小值.
解：
≥
带领学生分析：练习1错误原因: 忽略了自变量取负值的情况；练习2错误原因: 不满足和为定值；练习3错误原因: 不可能成立. 并且给出第（1）（2）小题的正确解法.
再次强调“一正”即满足定理成立的条件；“二定”即求和的最小值则积应为定值，求积的最大值则和应为定值；“三相等”即要保证求出的最值可以取到。三个条件在利用定理求最值时要同时满足，缺一不可.
六、课堂小结
师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？
生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a2+b2≥2ab.
生 由a2+b2≥2ab,当a＞0，b＞0时，以、分别代替a、b，得到了基本不等式 (a＞0,b＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式.
生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式.
（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）
师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0，及当且仅当a=b时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用.
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思