人教A版高中数学必修五 简单的线性规划问题习题课 教案
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学必修五 简单的线性规划问题习题课 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 120.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-17 16:10:05 | ||
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文档简介
3.5简单的线性规划问题习题课
一、教学目标：
知识与技能：
1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力；
2、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力；
3、会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题。
过程与方法：
1、了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；
2、理解线性规划问题的图解法；
3、会利用图解法求线性目标函数的最优解；
情感、态度与价值观：
培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神；让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。
二．重点难点?
重点：解经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识。
难点：建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。
三、教材与学情分析
本节课是在第一节课的基础上，把二元一次不等式提升到二元一次不等式组，也就是两个个区域的公共区域。增加了内容的难度，让学生慢慢学会画线性规划的可行域，并且准确无误。通过第一节课的讲解，学生已经了解了二元一次不等式所表示的几何意义，在这个基础上把二元一次不等式提升到二元一次不等式组，也就是两个个区域的公共区域。
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）导入新课
练习1:(1)作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分),即可行域.
将z1=x+y变形为y=-x+z1,这是斜率为-1、随z1变化的一簇平行直线. z1是直线在y轴上的截距.当然直线要与可行域相交,即在满足约束条件时目标函数z1=x+y取得最值.
由图可见,当直线z1=x+y经过可行域上的点B时,截距z1最小.
解方程组得B点的坐标为x=,y=.所以z1的最小值为.
同理,当直线z1=x+y与可行域的边界x+y=6重合时,z1最大为6.
(2)同理将z2=3x+y化为y=-3x+z2,这是斜率为-3的一簇平行直线.如图所示,当它过可行域上的点A(0,6)时,z2最小为6.
(3)同理将z3=x+4y化为y=-x+,它是斜率为-的一簇直线.如图所示,当直线经过可行域上的点C时,最大,即z3最大.
解方程组得点C的坐标为x=,y=.所以z3的最小值为.
问题1:是目标函数对应的直线的斜率与可行域中边界对应的直线的斜率的大小关系不同导致的.
练习2:解:z=ax+y可化为y=-ax+z,
因为z=ax+y在可行域中的点B处取得最小值,
所以,直线z=ax+y与可行域只有一个公共点B或与边界AB重合,或与边界BC重合.因此-2≤-a≤-.
所以实数a的取值范围是.
练习3:学生探究一:可以把可行域中的所有“整点”都求出来.求这些最优解时,可根据可行域对x的限制条件,先令x去整数,然后代入到可行域,求出y的范围,并进一步求出y的整数值.
学生探究二:由于x,y∈N,则必有x+y∈N.又因为当x=,y=时,z1的最小值为,且直线z1=x+y应该向上方(或右方,或右上方)移动,所以相应的z1的值大于.
所以令z1=x+y=5,即y=-x+5,代入得，即1≤x≤3,所以当或时,z1取得最小值5.
问题2:结合等量关系,将“二元”问题转化为“一元”问题求解.当可行域范围较小,包含的整点个数很少时,方法一比较简洁;反之,方法二较为简洁.
（二）、运用规律,解决问题
【例题】解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,则
用图形表示以上限制条件,得到如图所示的平面区域(阴影部分).
由题意,得目标函数为z=x+y.
可行域如图所示.
把z=x+y变形为y=-x+z,得到斜率为-1、在y轴上截距为z的一族平行直线.
由图可以看出,当直线z=x+y经过可行域上的点M时,截距z最小.
解方程组得点M.而此问题中的x,y必须是整数,所以M不是最优解.经过可行域内整点且使截距z
最小的直线是y=-x+12,经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解.zmin=12.
答:要解得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板张数最小的方法有两种,第一种截法是第一种钢板3张,第二种钢板9张;第二种截法是第一种钢板4张,第二种钢板8张.两种截法都最少要两种钢板12张.
问题3:规律:(1)找出实际问题中的数量关系,根据数量关系设出合理的两个变量x,y;
(2)用x,y表示实际问题中的数量关系,得到线性约束条件和目标函数;
(3)用图解法解答线性规划问题的最优解,必要时要探求“整点”;
(4)用最优解作答实际问题.
（三）、变式训练,深化提高
变式训练1:解:设每天食用x kg食物A,y kg食物B,总成本为z,那么
可化为目标函数为z=28x+21y.作出不等式组表示的平面区域,即可行域.
平移直线z=28x+21y知,当直线经过表示的点时,
zmin=28×+21×=16.
答:每天食用食物A约143g,食物B约571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低,最低成本为16元.
问题4:条件中的不等式组对应平面区域;图形;数形结合;也和图形结合起来;表示可行域内
的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率;表示可行域内的点(x,y)与点(0,3)的距离.
变式训练2:解析:如图所示,可行域内的点(x,y)与原点(0,0)连线是介于直线OC和y轴之间,根据斜率的变化规律,直线OC的斜率最小为,所以的最小值为表示可行域内的点(x,y)与点P(0,3)的距离,所以结合图形可以知道点P到直线AB的距离就是的最小值为.
（四）、反思小结,观点提炼
问题5:数形结合;平移直线时,要根据目标函数对应直线的斜率确定该直线与可行域边界直线的相对位置关系;在图形变化的过程中,寻求对应的斜率的变化范围,等等.
（五）当堂检测：
1. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，请工人的约束条件是（ ）.
A． B．
C． D．
2. 已知满足约束条件，则的最大值为（ ）.
A．19 B． 18 C．17 D．16
3. 变量满足约束条件则使得的值的最小的是（ ）.
A．（4，5） B．（3，6） C．（9，2）D．（6，4）
4.已知实数满足约束条件则目标函数的最大值为______________
5.设变量满足约束条件则目标函数的最小值为______________
六、课堂小结
知识：1、把实际问题转化成线性规划问题即建立数学模型的方法。建模主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，如例题1．（链接到例题1，进行具体实例回顾）
2、求解整点最优解的解法：网格法。网格法主要依赖作图，要规范地作出精确图形。
思想方法：数形结合思想、化归思想，用几何方法处理代数问题。
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思
本节课我的设计理念遵循以下四条原则：以问题为载体；以学生为主体；以合作交流为手段；以能力提高为目的。重视概念的提取过程；知识的形成过程；解题的探索过程；情感的体验过程。学生通过自主探究、合作交流，体会合作学习的默契和谐，体会冥思苦想后的豁然开朗，体会逻辑思维的严谨美，体会一题多变的变幻美，体会数形结合的奇异美。
一、教学目标：
知识与技能：
1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力；
2、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力；
3、会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题。
过程与方法：
1、了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；
2、理解线性规划问题的图解法；
3、会利用图解法求线性目标函数的最优解；
情感、态度与价值观：
培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神；让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。
二．重点难点?
重点：解经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识。
难点：建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。
三、教材与学情分析
本节课是在第一节课的基础上，把二元一次不等式提升到二元一次不等式组，也就是两个个区域的公共区域。增加了内容的难度，让学生慢慢学会画线性规划的可行域，并且准确无误。通过第一节课的讲解，学生已经了解了二元一次不等式所表示的几何意义，在这个基础上把二元一次不等式提升到二元一次不等式组，也就是两个个区域的公共区域。
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）导入新课
练习1:(1)作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分),即可行域.
将z1=x+y变形为y=-x+z1,这是斜率为-1、随z1变化的一簇平行直线. z1是直线在y轴上的截距.当然直线要与可行域相交,即在满足约束条件时目标函数z1=x+y取得最值.
由图可见,当直线z1=x+y经过可行域上的点B时,截距z1最小.
解方程组得B点的坐标为x=,y=.所以z1的最小值为.
同理,当直线z1=x+y与可行域的边界x+y=6重合时,z1最大为6.
(2)同理将z2=3x+y化为y=-3x+z2,这是斜率为-3的一簇平行直线.如图所示,当它过可行域上的点A(0,6)时,z2最小为6.
(3)同理将z3=x+4y化为y=-x+,它是斜率为-的一簇直线.如图所示,当直线经过可行域上的点C时,最大,即z3最大.
解方程组得点C的坐标为x=,y=.所以z3的最小值为.
问题1:是目标函数对应的直线的斜率与可行域中边界对应的直线的斜率的大小关系不同导致的.
练习2:解:z=ax+y可化为y=-ax+z,
因为z=ax+y在可行域中的点B处取得最小值,
所以,直线z=ax+y与可行域只有一个公共点B或与边界AB重合,或与边界BC重合.因此-2≤-a≤-.
所以实数a的取值范围是.
练习3:学生探究一:可以把可行域中的所有“整点”都求出来.求这些最优解时,可根据可行域对x的限制条件,先令x去整数,然后代入到可行域,求出y的范围,并进一步求出y的整数值.
学生探究二:由于x,y∈N,则必有x+y∈N.又因为当x=,y=时,z1的最小值为,且直线z1=x+y应该向上方(或右方,或右上方)移动,所以相应的z1的值大于.
所以令z1=x+y=5,即y=-x+5,代入得，即1≤x≤3,所以当或时,z1取得最小值5.
问题2:结合等量关系,将“二元”问题转化为“一元”问题求解.当可行域范围较小,包含的整点个数很少时,方法一比较简洁;反之,方法二较为简洁.
（二）、运用规律,解决问题
【例题】解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,则
用图形表示以上限制条件,得到如图所示的平面区域(阴影部分).
由题意,得目标函数为z=x+y.
可行域如图所示.
把z=x+y变形为y=-x+z,得到斜率为-1、在y轴上截距为z的一族平行直线.
由图可以看出,当直线z=x+y经过可行域上的点M时,截距z最小.
解方程组得点M.而此问题中的x,y必须是整数,所以M不是最优解.经过可行域内整点且使截距z
最小的直线是y=-x+12,经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解.zmin=12.
答:要解得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板张数最小的方法有两种,第一种截法是第一种钢板3张,第二种钢板9张;第二种截法是第一种钢板4张,第二种钢板8张.两种截法都最少要两种钢板12张.
问题3:规律:(1)找出实际问题中的数量关系,根据数量关系设出合理的两个变量x,y;
(2)用x,y表示实际问题中的数量关系,得到线性约束条件和目标函数;
(3)用图解法解答线性规划问题的最优解,必要时要探求“整点”;
(4)用最优解作答实际问题.
（三）、变式训练,深化提高
变式训练1:解:设每天食用x kg食物A,y kg食物B,总成本为z,那么
可化为目标函数为z=28x+21y.作出不等式组表示的平面区域,即可行域.
平移直线z=28x+21y知,当直线经过表示的点时,
zmin=28×+21×=16.
答:每天食用食物A约143g,食物B约571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低,最低成本为16元.
问题4:条件中的不等式组对应平面区域;图形;数形结合;也和图形结合起来;表示可行域内
的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率;表示可行域内的点(x,y)与点(0,3)的距离.
变式训练2:解析:如图所示,可行域内的点(x,y)与原点(0,0)连线是介于直线OC和y轴之间,根据斜率的变化规律,直线OC的斜率最小为,所以的最小值为表示可行域内的点(x,y)与点P(0,3)的距离,所以结合图形可以知道点P到直线AB的距离就是的最小值为.
（四）、反思小结,观点提炼
问题5:数形结合;平移直线时,要根据目标函数对应直线的斜率确定该直线与可行域边界直线的相对位置关系;在图形变化的过程中,寻求对应的斜率的变化范围,等等.
（五）当堂检测：
1. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，请工人的约束条件是（ ）.
A． B．
C． D．
2. 已知满足约束条件，则的最大值为（ ）.
A．19 B． 18 C．17 D．16
3. 变量满足约束条件则使得的值的最小的是（ ）.
A．（4，5） B．（3，6） C．（9，2）D．（6，4）
4.已知实数满足约束条件则目标函数的最大值为______________
5.设变量满足约束条件则目标函数的最小值为______________
六、课堂小结
知识：1、把实际问题转化成线性规划问题即建立数学模型的方法。建模主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，如例题1．（链接到例题1，进行具体实例回顾）
2、求解整点最优解的解法：网格法。网格法主要依赖作图，要规范地作出精确图形。
思想方法：数形结合思想、化归思想，用几何方法处理代数问题。
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思
本节课我的设计理念遵循以下四条原则：以问题为载体；以学生为主体；以合作交流为手段；以能力提高为目的。重视概念的提取过程；知识的形成过程；解题的探索过程；情感的体验过程。学生通过自主探究、合作交流，体会合作学习的默契和谐，体会冥思苦想后的豁然开朗，体会逻辑思维的严谨美，体会一题多变的变幻美，体会数形结合的奇异美。