人教A版高中数学必修一 1.2.1函数的概念 教案

1．2．1函数的概念
教学目的：
1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；
2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。
教学重点：理解函数的概念
教学难点：函数的概念
教学过程：
一、复习回顾，新课引入：
初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？
设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.
初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。
问题1：（）是函数吗？
问题2：与是同一函数吗？
观察对应：
二、师生互动，新课讲解：
（一）函数的有关概念
设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的函数，记作
， xA
其中叫自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合（B）叫做函数y=f(x)的值域.值域是集合B的子集。
函数符号表示“y是x的函数”，有时简记作函数.
(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应
这里 A, B 为非空的数集.
（2）A：定义域；：值域，其中( B ；：对应法则 ， (A ， (B
（3）函数符号：是 的函数，简记
例1：(tb0107701)判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？
（1）x2+y=1 （2）x+y2=1
答：（1）是；（2）不是。
（二）已学函数的定义域和值域
请填写下表：
函数
一次函数
二次函数
反比函数
a>0
a<0
对应关系
定义域
值域
（三）函数的值：关于函数值
题：=+3x+1 则 f(2)=+3×2+1=11
注意：1(在中表示对应法则，不同的函数其含义不一样。
2(不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”。
3(与是不同的，前者为变数，后者为常数。
（四）函数的三要素： 对应法则、定义域A、值域
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
例题讲解
例2： 求下列函数的定义域：
① ；② ；③ .
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定。如果只给出解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式无意义，
而时，分式有意义，∴这个函数的定义域是.
②∵3x+2<0，即x<-时，根式无意义，
而，即时，根式才有意义，
∴这个函数的定义域是{|}.
③∵当，即且时，根式和分式 同时有意义，
∴这个函数的定义域是{|且}
另解：要使函数有意义，必须： (
∴这个函数的定义域是： {|且}
变式训练2：（课本P19练习NO：1）
强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义.由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域.
例3： 已知函数=3-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1).
解：f(3)=3×-5×3+2=14；
f(-)=3×(-)-5×(-)+2=8+5；
f(a+1)=3(a+1) -5(a+1)+2=3a+a.
变式训练3：（课本P19练习NO：2）
例4：下列函数中哪个与函数是同一个函数？
⑴；⑵；⑶（4）y=
解：⑴＝（）,，定义域不同且值域不同，不是；
⑵＝（）,，定义域值域都相同，是同一个函数；
⑶＝||=,；值域不同，不是同一个函数。
(4)定义域不同，所以不是同一个函数。
变式训练4：
① （定义域不同）
② （定义域不同）
③ （定义域、值域都不同）
例5： 求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；（4）．
分析：在直角坐标系中画出函数的图象，发现（1）、（3）两个一次函数的函数值可以取到一切实数；（2）这个反比例函数的函数值不能等于0；（4）这个二次函数有最小值．
解：（1）值域为实数集；
（2）值域为；
（3）值域为实数集；
（4）函数的最小值是(2，所以值域为．
（五）区间的概念
研究函数时常会用到区间的概念．
设是两个实数，而且．我们规定：
（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；
（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为；
（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为，．
这里的实数都叫做相应区间的端点．
实数集可用区间表示为，我们把满足，，，的实数的集合分别表示为，，，．
“(” 读作“无穷大”，“((” 读作“负无穷大”，“+(” 读作“正无穷大”．
区间可在数轴上表示（课本第17页）．
上面例4的函数值域用区间表示分别为：（1），（2），（1），（4）．
三、课堂小结，巩固反思：
函数是一种特殊的对应f：A→B，其中集合A，B必须是非空的数集；表示y是x的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数；表示在x=a时的函数值，是常量；而是x的函数，通常是变量。
四、布置作业：
A组：
1、（课本P24习题1.2 A组NO：1）
2、（课本P24习题1.2 A组NO：2）
3、（课本P24习题1.2 A组NO：3）
4、（课本P24习题1.2 A组NO：4）
5、（课本P24习题1.2 A组NO：5）
6、（课本P24习题1.2 A组NO：6）
B组：
1、（课本P24习题1.2 B组NO：1）
2、(tb0305316)已知二次函数y= -x2+4x+5
当xR 时，求函数的值域。
当x[0,3]时，求函数的值域。
当x[-1,1]时，求函数的值域。
（答：(1) (-；(2)[5，9]；(3)[0，8]）
C组：
1、(tb0108313)设函数f(x)=x2+x+的定义域是[n,n+1](nN+)，那么在f(x)的值域中共有___________个整数。（答：2n+2）