中小学教育资源及组卷应用平台
华师大版数学八年级反证法教学设计
课题 反证法 单元 14.1.3 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 理解反证法和反证法的步骤； 能够用反证法证明简单的命题是真命题；
重点 能够用反证法证明简单的命题是真命题
难点 能够用反证法证明简单的命题是真命题
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习下列能够判定ΔABC是直角三角形的是（ ） ∠A：∠B：∠C＝3：4：5； AB：BC：AC＝3：4：5； ∠A＝3∠B＝4∠C； AB＝3BC＝4AC； 下列整数是勾股数的是（ ） A.2cm,4cM,6cm； B.4cm,6cM,8cm；C.6cm,8cM,10cm； D.8cm,10cM,12cm；3、如图，∠C＝90°，AC＝8CM，BC＝6CM，BD＝24cm，AD＝26cm.求四边形ACBD的面积.提出问题 我们已经知道，当一个三角形的三长a、b、c（a≤b≤c）有关系a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形。那么，如果此时a2+b2≠c2，这个三角形是否一定不是直角三角形呢？ 动口 动手 动脑 巩固 引出新课
讲授新课 认识反证法学习做一做 画出以下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？ a=1.0，b=2.4，c=2.6； a=2，b=3，c=4； a=2，b=2.5，c=3； 小组交流。 结论：我们可以发现，第一组恰好满足a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是一个直角三角形，而另外2个与所画图形一致.而另外两个三角形的较短的两边和的平方不等于最长的边的平方，所画图形都不是直角三角形，由此可以猜想： 当一个三角形三边长a、b、c（a≤b≤c）有关系a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形. 分析与思考： 从已知条件a2+b2≠c2出发，直接经过推理，得出结论，十分困难。我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论： 假设它是一个直角三角形； 根据勾股定理，一定有a2+b2＝c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾； 因此假设不成立，即它不是一个直角三角形。 这种证明方法叫反证法 二、反证法 反证法的定义：反证法是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面。 反证法的步骤： 第一步：假设结论的反面是正确的； 第二步：通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾； 第三步：说明假设不成立，进而得出原结论正确. 例1、求证：两条直线相交只有一个交点. 已知：两条直线l和m； 求证：l和m只有一个交点. 分析：想从已知条件“两条相交直线l与m”出发，经过推理，得出结论’l与m只有一个交点’是很困难的，因此可以考虑用反证法. 证明：第一步：假设两条相交直线l与m不止一个交点，不妨假设l与m有两个交点A和B； 第二步：这样过点A和B就有两条直线l和m，这与两点确定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾； 第三步：所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点. 练习：求证：两直线平行，同位角相等. 例2、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知：ΔABC. 求证：ΔABC中至少有一个内角小于或等于60°. 分析：（1）反证法有哪些步骤？（2）这个命题的反面是什么？ 证明：假设ΔABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°.于是 ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°＝180°，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.所以ΔABC中至少有一个内角小于或等于60°. 三、课堂练习 用反证法证明a≥b，对于第一步的假设，下列正确的是（ ） a≤b B.a≠b C.a
课堂小结 学生小结后，教师小结：这节课学习了反证法及步骤.
板书
三、例1、
例2、
提出问题
二、反证法
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
(共25张PPT)
反证法
数学华师大版 八年级上
新知导入
一、复习
1、下列能够判定ΔABC是直角三角形的是（ ）
A.∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
B.AB：BC：AC＝3：4：5；
C.∠A＝3∠B＝4∠C；
D.AB＝3BC＝4AC；
B
新知导入
一、复习
2、下列整数是勾股数的是（ ）
A.2cm,4cm,6cm；
B.4cm,6cm,8cm；
C.6cm,8cm,10cm；
D.8cm,10cm,12cm；
C
新知导入
一、复习
3、如图，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，BD＝24cm，AD＝26cm.求四边形ACBD的面积.
解：连结AB.
在RtΔABC中，AB＝
在ΔABD中，AB2+BD2＝102+242＝676＝262
∴∠ABD＝90°
新知导入
一、提出问题
我们已经知道，当一个三角形的三长a、b、c（a≤b≤c）有关系a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形。那么，如果此时a2+b2≠c2，这个三角形是否一定不是直角三角形呢？
新知讲解
一、认识反证法
做一做
画出以下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？
（1）a=1.0，b=2.4，c=2.6；
（2）a=2，b=3，c=4；
（3）a=2，b=2.5，c=3；
新知讲解
一、认识反证法
观察与发现
新知讲解
一、认识反证法
观察与发现
新知讲解
一、认识反证法
观察与发现
新知讲解
观察与发现
在ΔABC中，两个较短的边长为a、b，较长的边长为c；
一、认识反证法
新知讲解
一、认识反证法
猜 想
当一个三角形三边长a、b、c（a≤b≤c）有关系a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形.
分析与思考
从已知条件a2+b2≠c2出发，直接经过推理，得出结论，十分困难。
新知讲解
一、认识反证法
分析与思考
我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论：
（1）假设它是一个直角三角形；
（2）根据勾股定理，一定有a2+b2＝c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾；
（3）因此假设不成立，即它不是一个直角三角形。
新知讲解
二、反证法
定 义
反证法是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面。
步 骤
第一步：假设结论的反面是正确的；
第二步：通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；
第三步：说明假设不成立，进而得出原结论正确.
新知讲解
二、反证法
例1、求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：两条直线l和m；
求证：l和m只有一个交点.
分析：
想从已知条件“两条相交直线l与m”出发，经过推理，得出结论’l与m只有一个交点’是很困难的，因此可以考虑用反证法.
新知讲解
二、反证法
例1、求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：两条直线l和m；
求证：l和m只有一个交点.
证明：第一步：假设两条相交直线l与m不止一个交点，不妨假设l与m有两个交点A和B；
第二步：这样过点A和B就有两条直线l和m，这与两点确定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾；
第三步：所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
新知讲解
二、反证法
练习：求证：两直线平行，同位角相等.
已知：AB?CD.
求证：∠AGE＝∠CHE
证明：假设∠AGE≠∠CHE，过点H作∠EHM＝∠AGE，
∵∠EHM＝∠AGE
∴AB?MH
于是，过点H有两条直线CD和MH都与AB平行，这与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾.
因此，假设不成立，∠AGE＝∠CHE.
新知讲解
例2、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°
二、反证法
已知：ΔABC.
求证：ΔABC中至少有一个内角小于或等于60°.
分析：
（1）反证法有哪些步骤？
（2）这个命题的反面是什么？
新知讲解
例2、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°
二、反证法
已知：ΔABC.
求证：ΔABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设ΔABC中没有一个内角小于或等于60°，
即∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°.
于是有∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°＝180°，
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以ΔABC中至少有一个内角小于或等于60°.
课堂练习
1、用反证法证明a≥b，对于第一步的假设，下列正确的是（ ）
A.a≤b B.a≠b C.a2、用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不小于直角”应假设（ ）
A.没有一个角大于直角 B.至多有一个角不小于直角；
C.每一个内角都为锐角； D.至少有一个角大于直角；
C
C
课堂练习
3、用反证法证明在同一平面内，a⊥c,b⊥c，则a?b时应假设（ ）
A.a不垂直于b； B.a⊥b；
C.a与b相交； D.a、b不垂直于c；
4、用反证法证明 是无理数，最恰当的假设是（ ）
A. 是分数； B. 是整数；
C. 是有理数； D. 是实数；
C
C
课堂练习
5、用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角.
已知：在ΔABC中，AB＝AC，
求证：∠B<90°,∠C<90°.
证明：假设∠B≥90°
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∴∠A+∠B+∠C≥∠A+90°+90°>180°
这与三角形三个内角的和等于180°矛盾.
因此，假设不成立，∠B<90°,∠C<90°.
课堂总结
这节课有哪些收获？
反证法
假设结论的反面成立
推证出矛盾
结论成立
作业布置
1、课本P117页练习第1、2题；
2、课本P118页第6题；
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
