课件59张PPT。第4章 力 与 平 衡
第1节 科学探究：力的合成
第1课时 力 的 合 成一、共点力的合成
1.共点力：
如果几个力同时作用在物体上的___________或它们
的作用线相交于___________，那么这几个力称为
共点力。(均选填“同一点”或“不同点”)? 同一点 同一点 2.合力和分力：如果一个力作用在物体上产生的
_____________跟原来几个力的共同_____________相
同，这个力就叫作那几个力的_________，原来的那
几个力叫作_________。?
3.力的合成：求几个共点力的_________的过程。? 作用效果 作用效果 合力 分力 合力 二、平行四边形定则
1.平行四边形定则：以表示互成角度的共点力的有向
线段为邻边作___________，则两边所夹的_______这条
有向线段就表示该共点力的合力的大小和方向。平行四边形对角线2.标矢性：
(1)相加时遵循平行四边形定则的物理量称为
_________，如_________、_________、___________
……?
(2)相加时遵循代数相加法则的叫_________，
如_________、_________、_________……? 矢量 位移 速度 加速度 标量 时间 路程 速率 3.三个及三个以上力的合成方法：
(1)先用_______________定则求出任意两个力的合力；?
(2)再用_______________定则求这个合力与第三个力的合力；?
(3)直到把_______________都合成为止，最后得到这些力的合力。? 平行四边形 平行四边形 所有的外力 一 共点力、合力、分力
1.共点力：
(1)作用在同一个物体上的同一点的力。
(2)不是作用在物体的同一点，但作用线相交于同一点的力。2.二力合成与三力合成的比较：3.合力与分力的三性：【思考·讨论】
滑滑梯是现在小孩子非常喜欢的一项运动(如图甲)，有人分析小孩子沿滑梯下滑时受到重力、下滑力、对滑梯的压力的作用(如图乙)，这个人的分析对吗？ (物理观念)提示：合力和分力只是作用效果相同，并不是同时作用在物体上。【典例示范】
(多选)一物体置于光滑面①上,同时受到两个大小分别为10 N和2 N的水平力作用,则该物体所受这两个作用力的合力可能是② ( )
A.2 N B. 8 N C.12 N D.20 N【审题关键】【解析】选B、C。若二力方向相同，则合力大小为F=F1+F2=10 N+2 N=12 N，为最大值；若二力方向相反，则合力大小为F=F2-F1=10 N-2 N=8 N，为最小值；故两力的合力大小的范围为8 N≤F≤12 N。从选项中得只有选项B和选项C在此范围内，所以B、C正确。【误区警示】
关于合力、分力的注意事项
(1)在力的合成中分力是实际存在的，每一个分力都有对应的施力物体，而合力没有与之对应的施力物体。
(2)合力为各分力的矢量和，合力不一定比分力大。它可能比分力大，也可能比分力小，还有可能和分力大小相等。【母题追问】
1.(多选)在【典例示范】情境中，把“光滑面”改为“粗糙面”，则该物体所受的这两个作用力的合力可能是 ( )
(物理观念)
A.2 N B.8 N C.12 N D.20 N【解析】选B、C。无论接触面是光滑的还是粗糙的，
分力不变，合力也不变，这两个力的合力范围仍为
[8 N，12 N]，故仍为8 N、12 N，B、C正确。2.(多选)在【典例示范】情境中，再加一个5 N的水平力，则该物体所受作用力的合力可能是 ( )(科学思维)
A.2 N B.8 N C.12 N D.20 N【解析】选B、C。三力合成，先将其中的两个力合成，再与第三个力合成，合成时，三力同向合力最大，Fmax=F1+F2+F3=10 N+2 N+5 N=17 N，两个力合成的合力有个范围，用与第三个力最接近的数值与第三个力合成求最小合力Fmin=3 N，B、C正确。【补偿训练】
1.(多选)如图所示，某同学用同一弹簧测力计按图甲、乙两种方式测量某小桶的重力，甲图中系小桶的轻绳较长，下列说法中正确的是 ( )A.甲图中弹簧测力计的示数比乙图中的大
B.两图中弹簧测力计的示数一样大
C.甲图中绳的拉力比乙图中的大
D.乙图中绳的拉力比甲图中的大【解析】选B、D。由题意可知，弹簧测力计是测量小桶的重力，而与绳子的长短无关，故A错误，B正确；合力一定，当两绳的夹角越大时，分力也越大，甲图中绳的拉力之间的夹角小于乙图中的夹角，则甲图中绳的拉力比乙图中的小，故C错误，D正确。2.架在A、B两根晾衣杆之间的均匀铁丝在夏、冬两季由于热胀冷缩的效应，铁丝呈现如图所示的两种形状。下列说法中正确的是 ( )A.夏季铁丝对晾衣杆的拉力较大
B.冬季铁丝对晾衣杆的拉力较大
C.夏季晾衣杆对地面的压力较大
D.冬季晾衣杆对地面的压力较大【解析】选B。如题图所示，无论是冬季还是夏季，铁丝的重力G一定，即F合一定，两分力FA、FB随它们间夹角θ的增大而增大，故铁丝在冬季(θ角大)对晾衣杆的拉力较大，B对，A错；晾衣杆对地面的压力等于总重力，C、D错。二 求合力的计算方法
1.作图法：
作图法就是根据平行四边形定则作出标准的平行四边形，然后根据图形用测量工具确定出合力的大小、方向，具体操作流程如下：2.计算法：
根据平行四边形定则作出示意图，结合三角函数有关知识，求解平行四边形的对角线，即为合力，以下为计算法求合力的三种情况。【思考·讨论】
当两个力等大且夹角为120°时，其合力与这两个力恰好相等。要使合力大于或者小于这两个分力，夹角需要满足什么条件？ (科学思维)提示：由F=2F1cos 得夹角θ越大，合力F越小；当夹角θ越小，合力F越大。所以要使合力大于分力，只要夹角小于120°即可；要使合力小于分力，只要夹角大于120°即可。【典例示范】
桌面上静止放置着一本字典，两个同学一人用4.5 N的力水平向北推书，一人用6.0 N的力水平向东推书。求这两个同学对书的合力是多少？ 【解析】
(1)作图法 选择某一标度，例如用0.5 cm的线段表示1.5 N，
作出力的平行四边形，如图所示，表示F1的线段长
1.5 cm，表示F2的线段长2 cm。用刻度尺量得对角
线的长度为2.5 cm，所以合力的大小F=1.5 ×
=7.5 N。(2)计算法由于F1、F2一个向北，一个向东，
即二力相互垂直，
所以：
F= = N=7.5 N。
答案：7.5 N【误区警示】
作图法求合力的注意事项
(1)作图时要先确定力的标度，同一图上的各个力必须采用同一标度；
(2)严格采用作图工具作图，并用测量工具测出对应力的大小及方向；(3)作图时，表示分力和合力的有向线段共点且要画成实线，与分力平行的对边要画成虚线，表示力的线段上要画上刻度和箭头。【素养训练】
1.如图所示，水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B。一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m=10 kg的重物，∠CBA=30°，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10 N/kg) ( )A.50 N B.60 N
C.120 N D.100 N【解析】选D。轻绳跨过滑轮，BC段、BD段拉力F1=F2=mg=100 N，夹角为120°，根据平行四边形定则，二力合成如图所示。由于F1=F2，所以平行四边形为菱形，又因为∠DBE=60°，所以△BED为等边三角形，所以F1、F2的合力F=F1=F2=100 N，即绳子对滑轮的作用力大小为100 N，选项D正确。2.如图所示，两个人共同用力将一个牌匾拉上墙头。其中一人用了450 N的拉力，另一个人用了600 N的拉力，如果这两个人所用拉力的夹角是90°，求他们的合力。(试用两种方法求合力)【解析】解法一：作图法
如图所示，用图示中的线段表示150 N的力，用一个点O代表牌匾，依题意作出力的平行四边形。用刻度尺量出平行四边形的对角线长为图示线段的5倍，故合力大小为F=150×5 N=750 N，用量角器量出合力F与F1的夹角θ=53°。 解法二：计算法
设F1=450 N，F2=600 N，合力为F。
由于F1与F2间的夹角为90°，根据勾股定理，得
F= N=750 N，
合力F与F1的夹角θ的正切tan θ=
所以θ=53°。
答案：750 N，方向与较小拉力的夹角为53°。【补偿训练】
1.如图所示，轻绳上端固定在天花板上的O点，下端悬挂一个重为10 N的物体A，B是固定的表面光滑的小圆柱体。当A 静止时，轻绳与天花板的夹角为30° ，B受到绳的压力是 ( )A.5 N B.10 N C.5 N D.10 N【解析】选B。以与小圆柱体接触的那一小段绳子为研究对象，受两个大小相等的拉力以及支持力 ，如图所示：由于F1=F2=10 N，且夹角为120°，故F=10 N，因而绳对圆柱体的压力为10 N，所以选B。2.作用在同一物体上的两个大小不等的力F1和F2，其合
力为F，保持两个力的方向不变，则可以肯定 ( )
A.F1、F2同时增大为原来的2倍，F也增大为原来的2倍
B.F1、F2同时减小为原来的 ，F减小为原来的
C.F1、F2同时增大10 N，F增大20 N
D.F1增大10 N，F2减小10 N，F就不变【解析】选A。保持两个力的方向不变，即两力夹角不
变，若F1、F2同时增大为原来的2倍，由相似三角形知
识可知，F增大为原来的2倍，F1、F2同时减小为原来
的 ，F减小为原来的 ，A对，B错。力是矢量，运算
时满足平行四边形定则，而不满足代数运算法则，
C、D错。【拓展例题】考查内容：力的合成在生活中的应用
【典例】当颈椎肥大压迫神经时，需要用颈部牵拉器牵拉颈部，以缓解神经压迫症状。如图所示为颈部牵拉器牵拉颈椎肥大患者颈部的示意图。图中牵拉细绳为跨过3个小滑轮的同一根绳子，牵拉绳分别为水平、竖直方向，牵拉物P的质量一般为3 kg，求牵拉器作用在患者头部的合力大小。(g取10 m/s2)【解析】由于在同一根绳上拉力相等，都为
F=mg=30 N，
则头部受到向上的绳的拉力F1=2F=60 N，
受到水平向右的绳的拉力F2=30 N，
根据平行四边形定则，
合力F合= = N≈67.1 N。
答案：67.1 N【课堂回眸】课件55张PPT。第2课时
探究两个互成角度的力的合成规律【实验目的】
1.探究两个互成角度的共点力与其合力间的关系。
2.学习用_____________的思想探究矢量合成的方法。? 等效替代 【实验器材】
木板、_______、细线、_____________________、
图钉(若干)、白纸、铅笔、_______、三角板。?橡皮筋 弹簧测力计(两只) 刻度尺【实验原理与设计】
1.实验的基本思想—— _______________。?
(1)变量的控制要求：
在物理实验中，要注意控制实验过程中的_________
(选填“相同变量”或“不同变量”)。 等效替代法 不同变量(2)设计思路：
可以用弹簧测力计拉橡皮筋，用一个力、两个力分别
拉橡皮筋，使橡皮筋的_________不变，比较一个力和
两个力的大小、方向之间的关系，找出规律。作用效果(3)实验思想的拓展：
等效替代法是在保证某种效果(特性和关系)相同的前提下，将实际的、陌生的、复杂的物理问题和物理过程用等效的、简单的、易于研究的物理问题和物理过程代替，来研究和处理的方法。2.实验原理：
(1)让两个互成角度的共点力F1和F2作用于某一物体，
并产生明显的作用效果。
(2)用一个力F来代替F1和F2，并产生同样的_________，
F可看成F1和F2的_____。
(3)测出F1、F2和F，比较它们的大小和方向，找出其
中的规律。作用效果合力3.实验设计——两组物理量的测量方法。
(1)一个力的测量：
用一个力拉橡皮筋时，记录细线的结点位置O、绳套的方向、弹簧测力计的读数。
(2)两个力的测量：
用两个力拉橡皮筋时，把橡皮筋的结点拉到相同位置O，记录两绳套的方向、两弹簧测力计的读数。【实验过程】
一、实验步骤
1.安装实验器材：用图钉把白纸钉在水平桌面上的木板上，用图钉把橡皮筋的一端固定在A点，橡皮筋的另一端拴上两个细绳套，如图所示。2.操作与记录：
(1)两力拉：两个弹簧测力计分别钩住两个细绳套，
_________地拉橡皮筋，使橡皮筋伸长，_____到达某
一位置O(如图所示)。铅笔描下______的位置和两个
细绳套的_____，并记录弹簧测力计的读数。互成角度结点结点O方向(2)一力拉：用一个弹簧测力计，通过细绳套，把橡皮
筋的结点拉到与前面_____的位置O，记下弹簧测力计的
_____和细绳套的_____。
(3)改变两弹簧测力计拉力的大小和方向再重做两次
实验。相同读数方向【思考·讨论】
实验过程中应注意哪些方面的操作安全问题？
(科学态度与责任)提示：
(1)小心放置图钉，避免造成伤害；
(2)使用弹簧测力计时，不要超过它的弹性限度；
(3)不要将橡皮筋拉得过长。 二、数据收集与分析
根据图示法画出的结果，比较F1、F2和F的大小和方向，并将F1、F2和F的箭头端用虚线连起来，找出F1、F2和F三者的规律。进一步以F1、F2为邻边画出平行四边形，并作对角线
F′，比较F和F′的差异。在误差允许范围内，判断
F1、F2和F是否满足平行四边形关系。对比其他实验
小组的数据看一看你发现的规律是否具有普遍性。
实验结论：F是F1和F2的合力，F1、F2和F满足
___________________关系。? 平行四边形定则 【思考·讨论】
(1)保持两只弹簧测力计的拉力大小不变，只改变它们的夹角，合力的大小如何变化？
(2)合力大小是否一定等于原来两个力的大小之和？
(3)合力是否一定大于原来的每一个力？
请通过实验得出结论，并说明原因。 (科学思维)提示：
(1)若两拉力大小不变，夹角越大，合力越小；夹角越小，合力越大。
(2)合力大小不一定等于原来两个力的大小之和，当两个力方向相同时，合力大小才等于两个力大小之和。
(3)合力不一定大于原来的每一个力，合力可以比分力大，可以等于分力，也可以小于分力。【误差分析】
1.实验原理不完善造成系统误差：
(1)弹簧测力计使用前没调零造成的误差。
(2)弹簧测力计的弹簧和外壳之间、指针和外壳之间或弹簧测力计外壳和纸面之间有摩擦力存在造成的误差。2.测量、操作不够准确造成偶然误差：
(1)两次测量拉力时，橡皮筋的结点O没有拉到同一点造成的误差。
(2)读数时造成的误差。
(3)在应用平行四边形定则作图时，F1、F2及合力F作图不准确造成的误差。【思考·讨论】
系统误差和偶然误差能不能避免？ (科学思维)
提示：系统误差和偶然误差都不能避免，但偶然误差可以用多次测量求平均值的方法减小。【注意事项】
1.弹簧测力计的选取方法：将两只弹簧测力计调零后互钩水平对拉，若两只弹簧测力计在对拉过程中，读数相同，则可选；若读数不同，应另选，直至相同为止。
2.保证分力与合力作用效果相同的方法：在同一次实验中，使橡皮筋拉长时结点O的位置一定要相同。3.橡皮筋老化的检查方法：用一只弹簧测力计拉橡皮筋，要反复做几次，使橡皮筋拉到相同的长度看弹簧测力计读数有无变化。
4.弹簧测力计夹角范围：用两个弹簧测力计钩住细绳套互成角度地拉橡皮筋时，其夹角不宜太小，也不宜太大，以60°到120°之间为宜。5.拉力的选取原则：在不超出弹簧测力计的量程和橡皮筋形变限度的条件下，使拉力适当大些。
6.画力的图示的注意事项：在同一次实验中，画力的图示选定的标度要相同，并且要恰当选定标度，使力的图示稍大一些。类型一 实验操作
【典例1】(2018·天津高考)某研究小组做“验证力的平行四边形定则”实验，所用器材有：方木板一块，白纸，量程为5 N的弹簧测力计两个，橡皮条(带两个较长的细绳套)，刻度尺，图钉(若干个)。 (1)具体操作前，同学们提出了如下关于实验操作的建议，其中正确的有_______。 ?
A.橡皮条应和两绳套夹角的角平分线在一条直线上
B.重复实验再次进行验证时，结点O的位置可以与前一次不同C.使用测力计时，施力方向应沿测力计轴线；读数时视线应正对测力计刻度
D.用两个测力计互成角度拉橡皮条时的拉力必须都小于只用一个测力计时的拉力(2)该小组的同学用同一套器材做了四次实验，白纸上留下的标注信息有结点位置O、力的标度、分力和合力的大小及表示力的作用线的点，如图所示。其中对于提高实验精度最有利的是_______。 ?【解析】(1)为了使实验结果更具有普遍性，在实验过
程中不应让橡皮条的拉力方向具有特殊的角度或位
置，A错误；只要在一次实验中用一个力和用两个力拉
的效果相同即可，即O点位置相同，不需要再次重复实
验时的O点位置必须与前一次相同，B正确；使用测力
计时，施力方向应沿测力计轴线；读数时，视线应正
对弹簧测力计的刻度，C正确；合力可以大于任一个分
力，也可以等于分力，还可以小于任一分力，D错误。(2)A中点间距太近，确定力的方向时误差较大，不利于提高实验精度。同时A、D实验中选取的力的标度过大，导致画力时，线段太短，不利于实验精确度；B图和C图选用的标度相同，但C中力太小，不利于作平行四边形，故B符合题意。
答案：(1)B、C (2)B类型二 数据处理
【典例2】某探究小组做“验证力的平行四边形定则”实验，将画有坐标轴(横轴为x轴，纵轴为y轴，最小刻度表示1 mm)的纸贴在桌面上，如图甲所示。将橡皮筋的一端Q固定在y轴上的B点(位于图示部分之外)，另一端P位于y轴上的A点时，橡皮筋处于原长。(1)用一只测力计将橡皮筋的P端沿y轴从A点拉至坐标原点O，此时拉力F的大小可由测力计读出。测力计的示数如图乙所示，F的大小为_______N。?(2)撤去(1)中的拉力，橡皮筋P端回到A点；现使用两个测力计同时拉橡皮筋，再次将P端拉至O点，此时观察到两个拉力分别沿图甲中两条虚线所示的方向，由测力计的示数读出两个拉力的大小分别为F1=4.2 N和F2=5.6 N。①用5 mm长度的线段表示1 N的力，以O为作用点，在图甲中画出力F1、F2的图示，然后按平行四边形定则画出它们的合力F合。②F合的大小为_______N，F合与拉力F的夹角的正切值为_______。?
若F合与拉力F的大小及方向的偏差均在实验所允许的误差范围之内，则该实验验证了力的平行四边形定则。【解析】(1)由图乙可得每大格之间有5个小格，所以弹簧测力计的最小分度为0.2 N，故可读出弹簧测力计读数为4.0 N。(2)①由已知可得F1所对长度为21 mm，F2所对长度为
28 mm，根据平行四边形定则画出合力大小。如图所示。②根据几何关系可得合力大小为
=4.0 N；
F合与拉力F夹角的正切值为 =0.05。
答案：(1)4.0 (2)①见解析图 ②4.0 0.05【规律方法】
力的合成实验规律
(1)为使合力的作用效果与分力的作用效果相同，每次实验必须保证结点位置保持不变。
(2)利用平行四边形定则求得的合力与实际的合力往往不相同，但实际的合力一定沿橡皮筋伸长的方向。类型三 实验创新
【典例3】某同学用如图所示的实验装置验证“力的平行四边形定则”，弹簧测力计A挂于固定点P，下端用细线挂一重物M，弹簧测力计B的一端用细线系于O点，手持另一端向左拉，使结点O静止在某位置，分别读出弹簧测力计A和B的示数，并在贴于竖直木板的白纸上记录O点的位置和拉线的方向。(1)本实验用的弹簧测力计示数的单位为N，图中A的示数为_______。?(2)下列不必要的实验要求是_______(请填写选项前对应的字母)。?
A.应测量重物所受的重力
B.弹簧测力计应在使用前校零
C.拉线方向应与木板平面平行
D.改变拉力，进行多次实验，每次都要使O点静止在同一位置(3)某次实验中，该同学发现弹簧测力计A的指针稍稍超出量程，请你提出一个解决办法：_______。?【解析】(1)弹簧测力计读数，每1 N被分成5格，则1格就等于0.2 N。图中指针落在3 N到4 N的第3格处，所以为3.6 N。(2)实验通过作出三个力的图示，来验证“力的平行四边形定则”，因此重物的重力必须要知道，故A正确；弹簧测力计是测出力的大小，所以要准确，则必须在测之前校零，故B正确；拉线方向必须与木板平面平行，这样才可确保力的大小准确性，故C正确；当结点O位置确定时，弹簧测力计A的示数也确定，由于重物的重力已确定，两力大小与方向均一定，因此弹簧测力计B的大小与方向也一定，所以不需要改变拉力多次实验，故D错误。(3)当弹簧测力计A超出其量程，则说明弹簧测力计B与重物这两根细线的力的合力已偏大。又由于挂重物的细线力的方向已确定，所以要么减小重物的重量，要么改变测力计B拉细线的方向，或改变弹簧测力计B拉力的大小，从而使弹簧测力计A不超出量程。答案：(1)3.6 N (2)D (3)减小M的质量、减小OP与竖直方向的夹角、减小弹簧测力计B拉力的大小(其他合理的答案也正确)【创新评价】
1.实验创新思路：
以本实验为背景，以实验中操作的注意事项、误差来源设置条件，通过改变实验条件、实验仪器设置题目。2.实验器材的改进：
(1)橡皮筋→细线；
(2)橡皮筋的弹力→重物的重力。3.注意事项：
(1)在同一次实验中，使重物静止时，结点位置一定要相同；
(2)用弹簧测力计互成角度拉重物时，夹角不宜太大也不宜太小；
(3)在同一次实验中，画力的图示时所选定的标度要相同，且要恰当选取标度，使所作力的图示稍大些。课堂检测·素养达标
1.(多选)关于合力与分力，下列说法中正确的是 ( )
A.合力的大小一定大于每一个分力的大小
B.合力的大小至少大于其中一个分力的大小
C.合力的大小可以比两个分力都大，也可以比两个分力都小
D.合力的大小可能与其中的一个分力相等
2.如图所示，三个大小相等的力F，作用于同一点O，则合力最小的是( )
3.同一平面内的三个力，大小分别是3 N、5 N、7 N，若三个力同时作用于某一物体，则该物体所受三个力的合力最大值和最小值分别为
( )
A.15 N，0 B.15 N，1 N
C.7 N，1 N D.11 N，0
4.有两个大小不变的共点力F1、F2(已知F1>F2)，当它们同方向时，合力为7 N；当它们反向时，合力为1 N，求：
(1)F1、F2的大小。
(2)用计算法求出当两力垂直时的合力的大小及方向。
情境：2018年2月24日，在体操世界杯墨尔本站比赛中，苏州95后运动员马跃夺得男子吊环冠军。在比赛中他先双手撑住吊环，然后身体下移，双臂缓慢张开到图示位置，此时连接吊环的绳索与竖直方向的夹角为θ。已知他的体重为G，吊环和绳索的重力不计。
问题：每条绳索的张力为多少？
课堂检测·素养达标
1.(多选)关于合力与分力，下列说法中正确的是 ( )
A.合力的大小一定大于每一个分力的大小
B.合力的大小至少大于其中一个分力的大小
C.合力的大小可以比两个分力都大，也可以比两个分力都小
D.合力的大小可能与其中的一个分力相等
【解析】选C、D。两分力的夹角不同，合力的大小也不同，合力可能大于分力，也可能小于分力，故A、B错，C正确；如果两个分力大小相等、方向夹角为120°时，两个力的合力大小与两个分力的大小都相等，故D正确，所以选C、D。
2.如图所示，三个大小相等的力F，作用于同一点O，则合力最小的是( )
【解析】选C。A项先将两互相垂直的力合成：F合A1=F，再将此合力与斜向上的力合成：F合A=(-1)F；B项将在同一直线上的两个力合成：F合B1=0，再将此合力与水平向右的力合成：F合B=F；C项将任意两个夹角为120°的力合成：
F合C1=F，再将此合力与第三个力合成，F合C=0；D项先将两个夹角为60°的力合成：F合D1=F，再将此合力与水平向右的力合成：F合D=(-1)F；综上所述，
F合C最小，故选项C符合题意，所以选C。
3.同一平面内的三个力，大小分别是3 N、5 N、7 N，若三个力同时作用于某一物体，则该物体所受三个力的合力最大值和最小值分别为
( )
A.15 N，0 B.15 N，1 N
C.7 N，1 N D.11 N，0
【解题指南】解答此题应注意以下两点：
(1)当三个力同向时合力最大。
(2)求合力最小值时，先确定任意两个力的合力范围，再求与第三个力的合力的最小值。
【解析】选A。已知三个力的大小，求其合力的范围，最大值一定是三个力同向时，大小为它们的大小之和，求其合力的最小值时，先求任意两个力的合力的范围，如3 N和5 N，其合力范围为2～8 N，另一个力7 N恰好在2 N和8 N之间，即当3 N和5 N的合力与7 N的力等大反向时，其合力最小，为零。故A正确，B、C、D错误。
4.有两个大小不变的共点力F1、F2(已知F1>F2)，当它们同方向时，合力为7 N；当它们反向时，合力为1 N，求：
(1)F1、F2的大小。
(2)用计算法求出当两力垂直时的合力的大小及方向。
【解题指南】(1)两个力同向时，合力等于两个力之和，两个力反向时，合力等于两个力之差。
(2)根据平行四边形定则求出合力的大小，根据三角函数求出夹角。
【解析】(1)同向时：F1+F2=7 N
反向时：F1-F2=1 N
联立解得：F1=4 N，F2=3 N
故F1、F2的大小分别为4 N、3 N。
(2)当两个力垂直时，
F== N=5 N
设合力方向与F1的方向夹角为θ，
则cosθ =0.8，所以θ=37°
故合力的大小为5 N，与F1的方向夹角为37°。
答案：(1)4 N 3 N (2)5 N 与F1的方向夹角为37°
情境：2018年2月24日，在体操世界杯墨尔本站比赛中，苏州95后运动员马跃夺得男子吊环冠军。在比赛中他先双手撑住吊环，然后身体下移，双臂缓慢张开到图示位置，此时连接吊环的绳索与竖直方向的夹角为θ。已知他的体重为G，吊环和绳索的重力不计。
问题：每条绳索的张力为多少？
【解析】运动员的受力分析简化如图所示：
由共点力的平衡可知，在竖直方向上：
2Fcosθ=G
解得：F=
答案：
课堂检测·素养达标
1.(多选)在“探究求合力的方法“实验中，下列哪些方法有利于减小实验误差 ( )
A.两个分力的夹角要尽量大一些
B.拉橡皮筋的拉力要适当大一些
C.拉橡皮筋时，橡皮筋、细绳和弹簧测力计应贴近并平行于木板
D.作力的图示时，标度的选择要适当，使所作的图在不超出白纸的前提下尽量大一些。
2.(2019·银川高一检测)如图是“验证力的合成的平行四边形定则”实验示意图。将橡皮筋的一端固定于A点，图甲表示在两个拉力F1、F2的共同作用下，将橡皮筋的结点拉长到O点；图乙表示准备用一个拉力F拉橡皮筋，图丙是在白纸上根据实验结果画出的力的合成图示。
(1)有关此实验，下列叙述正确的是_______(填正确答案标号)。?
A.在进行图甲的实验操作时，F1、F2的夹角越大越好
B.在进行图乙的实验操作时，必须将橡皮筋的结点拉到O点
C.拉力的方向应与纸面平行，弹簧及钩子不与弹簧测力计的外壳及纸面接触，以免产生摩擦
D.在进行图甲的实验操作时，F1、F2的夹角越小越好
(2)图丙中F′是以F1、F2为邻边构成的平行四边形的对角线，一定沿AO方向的是_______(选填“F”或“F′”)。?
3.“研究力的平行四边形定则”的实验装置如图甲所示，橡皮筋的一端固定在A点，O为橡皮筋与细线的结点，OB和OC为细绳，图乙所示是在白纸上根据实验结果画出的力的图示。
(1)图乙中_______是力F1和F2合力的理论值，_______是力F1和F2合力的实际测量值，_______一定沿AO方向。(均选填“F”或“F′”)?
(2)关于本实验的注意事项，下列说法正确的是_______。?
A.两细绳之间的夹角越大越好
B.弹簧的轴线应与细绳在同一直线上
C.细绳、弹簧测力计应与木板平行
D.弹簧测力计使用前应调零
4.某同学在“探究弹力和弹簧伸长的关系”的实验中，测得图中弹簧OC的劲度系数为500 N/m。如图甲所示，用弹簧OC和弹簧测力计a、b做“探究求合力的方法”实验。在保持弹簧伸长1.00 cm不变的条件下，
(1)若弹簧测力计a、b间夹角为90°，弹簧测力计a的读数是_______N(图乙中所示)，则弹簧测力计b的读数可能为_______N。?
(2)若弹簧测力计a、b间夹角大于90°，保持弹簧测力计a与弹簧OC的夹角不变，减小弹簧测力计b与弹簧OC的夹角，则弹簧测力计a的读数_______，弹簧测力计b的读数_______。(均选填“变大”“变小”或“不变”)?
5.某同学利用如图所示的装置来验证力的平行四边形定则。在竖直木板上铺有白纸，固定两个光滑的滑轮A和B，将绳子打一个结点O，每个钩码的重量都相等，当系统达到平衡时，根据钩码个数读出三根绳子的拉力TOA、TOB和TOC，回答下列问题：
(1)改变钩码个数，实验能完成的是_______。?
A.钩码的个数N1=N2=2，N3=4
B.钩码的个数N1=N3=3，N2=4
C.钩码的个数N1=N2=N3=4
D.钩码的个数N1=3，N2=4，N3=5
(2)在拆下钩码和绳子前，最重要的一个步骤是_______。?
A.标记结点O的位置，并记录OA、OB、OC三段绳子的方向
B.量出OA、OB、OC三段绳子的长度
C.用量角器量出三段绳子之间的夹角
D.用天平测出钩码的质量
(3)在作图时，你认为图示中_______是正确的。(选填“甲”或“乙”)?
课堂检测·素养达标
1.(多选)在“探究求合力的方法“实验中，下列哪些方法有利于减小实验误差 ( )
A.两个分力的夹角要尽量大一些
B.拉橡皮筋的拉力要适当大一些
C.拉橡皮筋时，橡皮筋、细绳和弹簧测力计应贴近并平行于木板
D.作力的图示时，标度的选择要适当，使所作的图在不超出白纸的前提下尽量大一些。
【解析】选B、C、D。在实验中两个分力的夹角大小适当，在作图时有利于减小误差即可，并非越大越好，故A错误；适当增大橡皮筋的拉力，可以减小偶然误差对其的影响，故B正确；为了减小实验中摩擦对测量结果的影响，拉橡皮筋时，橡皮筋、细绳和弹簧测力计应贴近并平行于木板，故C正确；在作图时，选择适量标度，使作的图尽量大些，这样有利于减小实验中偶然误差的影响，故D正确。
2.(2019·银川高一检测)如图是“验证力的合成的平行四边形定则”实验示意图。将橡皮筋的一端固定于A点，图甲表示在两个拉力F1、F2的共同作用下，将橡皮筋的结点拉长到O点；图乙表示准备用一个拉力F拉橡皮筋，图丙是在白纸上根据实验结果画出的力的合成图示。
(1)有关此实验，下列叙述正确的是_______(填正确答案标号)。?
A.在进行图甲的实验操作时，F1、F2的夹角越大越好
B.在进行图乙的实验操作时，必须将橡皮筋的结点拉到O点
C.拉力的方向应与纸面平行，弹簧及钩子不与弹簧测力计的外壳及纸面接触，以免产生摩擦
D.在进行图甲的实验操作时，F1、F2的夹角越小越好
(2)图丙中F′是以F1、F2为邻边构成的平行四边形的对角线，一定沿AO方向的是_______(选填“F”或“F′”)。?
【解析】(1)在实验过程中，需要根据力的大小和方向作平行四边形，该实验采用了“等效替代”方法，要求两次拉橡皮筋时橡皮筋的伸长量大小和方向相同，对于两分力的夹角没有定性要求，只要便于减小误差即可。为了使所测量的力更准确，拉力的方向应与纸面平行。弹簧测力计的外壳不能与纸面接触，以免产生摩擦，影响拉力大小。
(2)力的合成遵循平行四边形定则，理论值是根据平行四边形定则作出的，实际值是用弹簧测力计测出来的，故实际值一定沿AO方向。
答案：(1)B、C (2)F
3.“研究力的平行四边形定则”的实验装置如图甲所示，橡皮筋的一端固定在A点，O为橡皮筋与细线的结点，OB和OC为细绳，图乙所示是在白纸上根据实验结果画出的力的图示。
(1)图乙中_______是力F1和F2合力的理论值，_______是力F1和F2合力的实际测量值，_______一定沿AO方向。(均选填“F”或“F′”)?
(2)关于本实验的注意事项，下列说法正确的是_______。?
A.两细绳之间的夹角越大越好
B.弹簧的轴线应与细绳在同一直线上
C.细绳、弹簧测力计应与木板平行
D.弹簧测力计使用前应调零
【解析】(1)本实验采用了“等效法”，F1与F2的合力的实际测量值为一只弹簧测力计拉绳套时的弹力大小和方向，而理论值是通过平行四边形定则得到的值。所以F是F1和F2合力的理论值，F′是F1和F2合力的实际测量值，则F′一定沿AO方向。
(2)A.在实验中两个分力的夹角大小适当，在作图时有利于减小误差即可，并非越大越好，故A错误；B.弹簧的轴线应与细绳在同一直线上，且细绳、弹簧测力计应与木板平行，否则会影响拉力的大小和方向，故B、C正确；D.弹簧测力计使用前应调零，故D正确；故选B、C、D。
答案：(1)F F′ F′ (2)B、C、D
4.某同学在“探究弹力和弹簧伸长的关系”的实验中，测得图中弹簧OC的劲度系数为500 N/m。如图甲所示，用弹簧OC和弹簧测力计a、b做“探究求合力的方法”实验。在保持弹簧伸长1.00 cm不变的条件下，
(1)若弹簧测力计a、b间夹角为90°，弹簧测力计a的读数是_______N(图乙中所示)，则弹簧测力计b的读数可能为_______N。?
(2)若弹簧测力计a、b间夹角大于90°，保持弹簧测力计a与弹簧OC的夹角不变，减小弹簧测力计b与弹簧OC的夹角，则弹簧测力计a的读数_______，弹簧测力计b的读数_______。(均选填“变大”“变小”或“不变”)?
【解析】(1)由题图可知弹簧测力计示数为3.00 N，考虑到误差范围，3.00～
3.02 N均算对。弹簧OC的劲度系数为500 N/m，弹簧伸长1.00 cm，FOC=kx=
500×0.01 N=5.0 N。另一分力Fb==N=4.0 N。
(2)若弹簧测力计a、b间夹角大于90°，弹簧OC的力的大小和方向不变，保持弹簧测力计a与弹簧OC的夹角不变，就是弹簧测力计a的方向不变，减小弹簧测力计b与弹簧OC的夹角时，三个力的关系如图，则可知弹簧测力计a的读数变大，弹簧测力计b的读数变大。
答案：(1)3.00～3.02 3.9～4.1(有效数字不作要求)
(2)变大 变大
5.某同学利用如图所示的装置来验证力的平行四边形定则。在竖直木板上铺有白纸，固定两个光滑的滑轮A和B，将绳子打一个结点O，每个钩码的重量都相等，当系统达到平衡时，根据钩码个数读出三根绳子的拉力TOA、TOB和TOC，回答下列问题：
(1)改变钩码个数，实验能完成的是_______。?
A.钩码的个数N1=N2=2，N3=4
B.钩码的个数N1=N3=3，N2=4
C.钩码的个数N1=N2=N3=4
D.钩码的个数N1=3，N2=4，N3=5
(2)在拆下钩码和绳子前，最重要的一个步骤是_______。?
A.标记结点O的位置，并记录OA、OB、OC三段绳子的方向
B.量出OA、OB、OC三段绳子的长度
C.用量角器量出三段绳子之间的夹角
D.用天平测出钩码的质量
(3)在作图时，你认为图示中_______是正确的。(选填“甲”或“乙”)?
【解析】(1)分力与合力的关系必须满足：|F1-F2|≤F3≤|F1+F2|，才能完成实验，因此B、C、D选项是可以的。
(2)在拆下钩码和绳子前，最重要的一个步骤是标记结点O的位置，并记录OA、OB、OC三段绳子的方向，故A正确。
(3)F3的方向一定竖直向下，而F1和F2合力的方向由于测量误差可能偏离竖直向上的方向，所以甲是正确的。
答案：(1)B、C、D (2)A (3)甲
课时素养评价 十三
力 的 合 成
一、选择题(本题共6小题，每题4分，共24分)
1.关于力F2及它们的合力F，下列说法正确的是 ( )
A.合力F一定与F2 共同作用产生的效果相同
B.分力F2一定是同种性质的力
C.分力F2不一定是同一物体受到的力
D.分力F2与F是物体同时受到的三个力
2.如图所示，某个物体在F1、F2、F3、F4四个力的作用下处于静止状态，若F4的方向沿逆时针转过60°而保持其大小不变，其余三个力的大小和方向均不变，则此时物体所受到的合力大小为 ( )
A. B.
C.F4 D.F4
3.两个共点力同向时合力为a，反向时合力为b，当两个力垂直时，合力大小
为 ( )
A. B.
C. D.
【补偿训练】
两个大小相等的共点力F1和F2，当它们夹角为90°时，合力为F，当它们的夹角为120°时，合力大小为 ( )
A.2F B.F C.F D.F
4.大小分别是30 N和25 N的两个力，同时作用在一个物体上，对于合力F大小的估计最恰当的是 ( )
A.F=55 N B.25 N≤F≤30 N
C.25 N≤F≤55 N D.5 N≤F≤55 N
5.(2019·荆州高一检测)F1、F2、F3是作用于同一物体上的三个共点力，已知F1>F2>F3，下列矢量图中这三个力的合力最大的是 ( )
6.(2019·济南高一检测)每天长时间使用手机的人容易得颈椎病，如图所示是一款颈椎牵引器的示意图，设人的头所受重力大小为F，刚好把头托起时，颈椎对头支持力为零，牵引带之间的夹角θ=120°，则每根牵引带承受的拉力大小为 ( )
A. B.F
C.F D.2F
二、计算题(本题共2小题，共36分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要标明单位)
7.(16分)如图所示，有五个力作用于同一点O，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两邻边和三条对角线。已知F1=10 N，则这五个力的合力大小为多少？
8.(20分)如图所示，一条小船在河中向正东方向行驶，船上挂起一风帆，帆受侧向风作用，风力大小F1为100 N，方向为东偏南30°，为了使船受到的合力能恰沿正东方向，岸上一人用一根绳子拉船，绳子取向与河岸垂直，求出风力F1和绳子拉力F2的合力F的大小及绳子拉力F2的大小。
9.(6分)两个共点力，一个是40 N，另一个等于F，它们的合力是100 N，则F的大小可能是 ( )
A.20 N B.40 N
C.80 N D.160 N
10.(6分)如图所示，一个物体受F1和F2两个互相垂直的共点力作用，其中
F1=6 N，F2=8 N。这两个力的合力大小为 ( )
A.2 N B.10 N
C.14 N D.48 N
11.(6分)某同学用垂直悬挂法锻炼身体，如图，则下列说法正确的是 ( )
A.手指受到的作用力，图甲大于图乙
B.手指受到的作用力，图甲小于图乙
C.手臂受到的作用力，图甲大于图乙
D.手臂受到的作用力，图甲小于图乙
12.(22分)如图所示，一名骑独轮车的杂技演员在空中钢索上表演，如果演员和独轮车的总质量为80 kg，两侧的钢索互成150°夹角，求钢索所受拉力有多大？(cos 75°=0.259，g取10 N/kg)
【补偿训练】
有两个大小不变的共点力F1和F2，它们合力的大小F合随两力夹角的变化情况如图所示，则两力的大小分别为多少？
课时素养评价 十三
力 的 合 成
一、选择题(本题共6小题，每题4分，共24分)
1.关于力F2及它们的合力F，下列说法正确的是 ( )
A.合力F一定与F2 共同作用产生的效果相同
B.分力F2一定是同种性质的力
C.分力F2不一定是同一物体受到的力
D.分力F2与F是物体同时受到的三个力
【解析】选A。只有同一物体受到的力才能合成，分别作用在不同物体上的力不能合成，C错误；合力是对原来几个分力的等效替代，各分力可以是不同性质的力，合力与分力不能同时存在，故A正确，B、D错误。
2.如图所示，某个物体在F1、F2、F3、F4四个力的作用下处于静止状态，若F4的方向沿逆时针转过60°而保持其大小不变，其余三个力的大小和方向均不变，则此时物体所受到的合力大小为 ( )
A. B.
C.F4 D.F4
【解析】选C。原来物体静止，F1、F2、F3和F4四个共点力的合力为零，则F1、F2、F3三个力的合力F′与F4大小相等，方向相反。将F4的方向沿逆时针转过60°时，F4与F′的夹角为120°，则合力大小等于F4。故C正确，A、B、D错误。
3.两个共点力同向时合力为a，反向时合力为b，当两个力垂直时，合力大小
为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选B。设两个共点力分别为F1、F2，由题意可知，F1+F2=a，F1-F2=b，所以F1=，F2=；两个力垂直时合力F==，所以B正确，A、C、D错误。
【补偿训练】
两个大小相等的共点力F1和F2，当它们夹角为90°时，合力为F，当它们的夹角为120°时，合力大小为 ( )
A.2F B.F C.F D.F
【解析】选D。当F1、F2夹角为90°时，F==F1，当它们的夹角为120°时，合力F合=F1=F，故选D。
4.大小分别是30 N和25 N的两个力，同时作用在一个物体上，对于合力F大小的估计最恰当的是 ( )
A.F=55 N B.25 N≤F≤30 N
C.25 N≤F≤55 N D.5 N≤F≤55 N
【解析】选D。若两个分力的大小为F1和F2，在它们的夹角不确定的情况下，合力F的大小范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2，所以5 N≤F≤55 N，所以D正确。
5.(2019·荆州高一检测)F1、F2、F3是作用于同一物体上的三个共点力，已知F1>F2>F3，下列矢量图中这三个力的合力最大的是 ( )
【解析】选A。根据平行四边形定则或三角形定则，A中三个力的合力大小为2F1，B中三个力的合力为0；C中三力合力为2F3；D中三力合力也为2F3。F1>F3，故A符合题意。
6.(2019·济南高一检测)每天长时间使用手机的人容易得颈椎病，如图所示是一款颈椎牵引器的示意图，设人的头所受重力大小为F，刚好把头托起时，颈椎对头支持力为零，牵引带之间的夹角θ=120°，则每根牵引带承受的拉力大小为 ( )
A. B.F
C.F D.2F
【解析】选B。以人的头为研究对象，受力分析如图所示：
由于牵引带之间的夹角θ=120°，则根据几何关系可知，每根牵引带承受的拉力大小等于头部的重力，即T=F，故B正确，A、C、D错误。故选B。
二、计算题(本题共2小题，共36分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要标明单位)
7.(16分)如图所示，有五个力作用于同一点O，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两邻边和三条对角线。已知F1=10 N，则这五个力的合力大小为多少？
【解题指南】解答本题应把握以下两点：
(1)利用平行四边形定则，两两求合力。
(2)再把求得的合力，合成为五个力的合力。
【解析】解法一：巧用对角线特性。如图甲所示，根据正六边形的特点及平行四边形定则知：F2与F5的合力恰好与F1重合；F3与F4的合力也恰好与F1重合；故五个力的合力大小为3F1=30 N。
解法二：利用对称法。如图乙所示，由于对称性，F2和F3的夹角为120°，它们的大小相等，合力在其夹角的平分线上，故力F2和F3的合力F23=2F2cos60°=2(F1cos60°)cos60°==5 N。同理，F4和F5的合力也在其角平分线上，由图中几何关系可知：F45=2F4cos30°=2(F1cos30°)cos30°=F1=15 N。故这五个力的合力F=F1+F23+F45=30 N。
答案：30 N
8.(20分)如图所示，一条小船在河中向正东方向行驶，船上挂起一风帆，帆受侧向风作用，风力大小F1为100 N，方向为东偏南30°，为了使船受到的合力能恰沿正东方向，岸上一人用一根绳子拉船，绳子取向与河岸垂直，求出风力F1和绳子拉力F2的合力F的大小及绳子拉力F2的大小。
【解析】如图所示，以F1、F2为邻边作平行四边形，
使合力F沿正东方向，则
F=F1cos30°=100× N=50 N
F2=F1sin30°=100× N=50 N。
答案：50 N 50 N
9.(6分)两个共点力，一个是40 N，另一个等于F，它们的合力是100 N，则F的大小可能是 ( )
A.20 N B.40 N
C.80 N D.160 N
【解析】选C。两力合成时，合力随夹角的增大而减小，当夹角为零时合力最大，夹角180°时合力最小，并且F1+F2≥F合≥|F1-F2|；故140 N≥F≥60 N，所以可能的是C。
10.(6分)如图所示，一个物体受F1和F2两个互相垂直的共点力作用，其中
F1=6 N，F2=8 N。这两个力的合力大小为 ( )
A.2 N B.10 N
C.14 N D.48 N
【解析】选B。F1、F2是两个互相垂直的共点力，根据勾股定理有：F== N=10 N。所以B正确，A、C、D错误。
11.(6分)某同学用垂直悬挂法锻炼身体，如图，则下列说法正确的是 ( )
A.手指受到的作用力，图甲大于图乙
B.手指受到的作用力，图甲小于图乙
C.手臂受到的作用力，图甲大于图乙
D.手臂受到的作用力，图甲小于图乙
【解析】选D。对人受力分析且由平衡可知，两种情况下，手指受到的作用力大小都等于人的重力大小，故A、B错误；两手臂的合力与人的重力大小相等，由题图可知，甲图两手臂的夹角较小，所以每一条手臂受到的作用力较小，故C错误，D正确。
12.(22分)如图所示，一名骑独轮车的杂技演员在空中钢索上表演，如果演员和独轮车的总质量为80 kg，两侧的钢索互成150°夹角，求钢索所受拉力有多大？(cos 75°=0.259，g取10 N/kg)
【解析】设钢索的拉力大小为F，则演员两侧的钢索的合力与演员和独轮车的总重力等大反向。作出拉力与其合力的平行四边形为一菱形，如图所示。
据几何知识可知=Fcos 75°
所以拉力F==N≈1 544 N
答案：1 544 N
【总结提升】求解三种特殊情况下两个共点力合力的方法
在力的合成计算法中，经常会遇到以下三种特殊情况，其求解方法如下：
(1)当两个分力F1、F2互相垂直时，如图甲，合力F=，合力与其中一个分力F1的夹角为φ，由三角形知识知：tanφ=，由此可确定合力的方向。
(2)两个夹角为θ、大小相等的力的合成，如图乙所示，作出的平行四边形为菱形，利用其对角线互相垂直的特点，可得直角三角形，解直角三角形求得合力F′=2Fcos，合力与每一个分力的夹角都等于。
(3)夹角为120°的两个等大的力的合成，如图丙所示，实际上是(2)中的特殊情况：F′=2Fcos=2Fcos =F，即合力的大小等于每一个分力，合力与每一个分力的夹角均为60°。
【补偿训练】
有两个大小不变的共点力F1和F2，它们合力的大小F合随两力夹角的变化情况如图所示，则两力的大小分别为多少？
【解析】当两力夹角为0时，F合=F1+F2，得到F1+F2=12 N；当两力夹角为π时，得到F1-F2=4 N(设F1>F2)，解得F1=8 N，F2=4 N。
答案：8 N 4 N
