沪科版八年级上册数学13.1三角形中的边角关系提高练习(3课时含答案）

13.1《三角形中的边角关系》
提高练习
第1课时《三角形中边的关系》
一、选择题
1．三角形按边分类可分为（　　）
A．不等边三角形、等边三角形
B．等腰三角形、等边三角形
C．不等边三角形、等腰三角形、等边三角形
D．不等边三角形、等腰三角形
2．已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（　　）
A．4 B．5 C．7 D．9
4．以下列各组线段为边，不能构成三角形的是（　　）
A．，，1 B．2，3，4 C．，1，1 D．3，4，7
5．四根长度分别为3，4，6，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则（　　）
A．组成的三角形中周长最小为9 B．组成的三角形中周长最小为10
C．组成的三角形中周长最大为19 D．组成的三角形中周长最大为16
二、填空题
6．如图，过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形，
（1）其中以AB为一边可以画出　 　个三角形；
（2）其中以C为顶点可以画出　 　个三角形．
7．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=　 　．
8．一个三角形3条边长分别为xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是　 　．
三、解答题
9．若一个三角形的三边长分别为x，2x﹣1，5x﹣3，求x的取值范围．
10．小王准备用一段长30m的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养家兔，已知第一条边长为am，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m．
（1）请用a表示第三条边长．
（2）问第一条边长可以为7m吗？请说明理由．
第2课时
《三角形中角的关系》提高练习
一、选择题
1．如图，在△ABC中，∠C=78°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（　　）
A．282° B．180° C．258° D．360°
2．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（　　）
A．44° B．40° C．39° D．38°
3．如图，将直角三角形ABC折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，若∠C=90°，∠A=35°，则∠DBC的度数为（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
4．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（　　）
A．165° B．120° C．150° D．135°
5．已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C=2∠A，则此三角形（　　）
A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60°
C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形
二、填空题
6．在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=60°，则∠C=　 　．
7．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，∠C=45°，∠D=30°，则∠ABD的度数为　 　．
8．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=　 　．
三、解答题
9．在△ABC中，∠B比∠A大36°，∠C比∠A小36°，求△ABC的各内角的度数．
10．在△ABC中，∠A=∠C﹣∠B，∠B=2∠A．
（1）求∠A、∠B、∠C的度数；
（2）△ABC按边分类，属于什么三角形？△ABC按角分类，属于什么三角形？
第3课时
《三角形中几条重要线段》提高练习
一、选择题
1．下列说法不正确的是（　　）
A．三角形的三条高线交于一点 B．直角三角形有三条高
C．三角形的三条角平分线交于一点 D．三角形的三条中线交于一点
2．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（　　）
A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm
3．下列说法正确的是（　　）
A．三角形的三条高至少有一条在三角形内
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的角平分线其实就是角的平分线
D．三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部
4．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（　　）
A．角平分线 B．中位线 C．高 D．中线
5．下列说法正确的个数是（　　）
①同位角相等；②三角形的三条高一定都在三角形内；③有一个角是锐角的三角形是锐角三角形；④过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．如图，在△ABC中，AB=9，AC=7，BE、CD为中线，且BE⊥CD，则BC=　 　．
7．已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为　 　．
8．AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=130°，∠C=30°，则∠DAE的度数是　 　．
三、解答题
9．如图，武汉有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C站．
（1）当汽车运动到点D点时，刚好BD=CD，连接线段AD，AD这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？
（2）汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE=∠CAE，那么AE这条线段是什么线段呢？在△ABC中，这样的线段又有几条呢？
（3）汽车继续向前运动，当运动到点F时，发现∠AFB=∠AFC=90°，则AF是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条？
10．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．
（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．
（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，请说明理由．
参考答案
第1课时
1．解：三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形，
故选：D．
2．解：设第三边长为x，
则8﹣2＜x＜2+8，
6＜x＜10，
故选：C．
3．解：7﹣2＜x＜7+2，
5＜x＜9，
只有选项C符合题意．
故选：C．
4．解：A、1+＞，可以；
B、3+2＞4，可以；
C、1+1＞，可以；
D、3+4=7，不可以．
故选：D．
5．解：其中的任意三根的组合有3、4、6；3、4、x；3、6、x；4、6、x共四种情况，
由题意：从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得3＜x＜7
①若三边为3、4、6时，其周长为3+4+6=13；
②若三边为3、4、x时，3＜x＜7
由于x为正整数，当x为4或5或6，
其周长最小为4+3+4=11，周长最大为3+4+6=13；
③若三边为3、6、x时，6﹣3＜x＜6+3，即3＜x＜7，
由于x为正整数，则x为4或5或6，
其周长最小为3+6+4=13，周长最大为3+6+6=15；
④若三边为4、6、x时，6﹣4＜x＜6+4，即3＜x＜7
由于x为正整数，则x为4或5或6，
其周长最小为4+6+4=14，周长最大为4+6+6=16；
综上所述，三角形周长最小为11，最大为16，
故选：D．
6．解：（1）其中以AB为一边可以画出3个三角形为：△ABE，△ABD，△ABC；
（2）其中以C为顶点可以画出6个三角形为：△ABC，△BCD，△BCE，△ADC，△DEC，△ACE．
故答案为：（1）3；（2）6．
7.解：∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，
∴a﹣7=0，b﹣1=0，
解得a=7，b=1，
∵7﹣1=6，7+1=8，
∴6＜c＜8，
又∵c为奇数，
∴c=7，
故答案是：7．
8．解：∵一个三角形的3边长分别是xcm，（x+1）cm，（x+2）cm，它的周长不超过39cm，
∴，
解得1＜x≤12．
故答案为：1＜x≤12．
9．解：依题意得：x＞0，2x﹣1＞0，5x﹣3＞0
解得：x＞0，x＞，x＞
5x﹣3﹣2x+1＜x＜2x﹣1+5x﹣3，
解得＜x＜1，
综上所述：x的取值范围是：＜x＜1．
10．解：（1）第三边为：30﹣a﹣（2a+2）=（28﹣3a）m．
（2）第一条边长不可以为7m．
理由：a=7时，三边分别为7，16，7，
∵7+7＜16，
∴不能构成三角形，即第一条边长不可以为7m．
第2课时
1．解：如图，∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=78°+180°=258°．
故选：C．
2．解：∵∠A=54°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCB=78°=39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB=39°，
故选：C．
3．解：∵∠C=90°，∠A=35°，
∴∠ABC=55°，
由折叠可得，∠A=∠ABD=35°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=55°﹣35°=20°．
故选：C．
4．解：给图中标上∠1、∠2，如图所示．
∵∠1+45°+90°=180°，
∴∠1=45°，
∵∠1=∠2+30°，
∴∠2=15°．
又∵∠2+∠α=180°，
∴∠α=165°．
故选：A．
5．解：在△ABC中，∠B+∠C=2∠A，
∴∠A+2∠A=180°，
∴∠A=60°，
故选：B．
6．解：∵∠A=30°，∠B=60°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°，
故答案为：90°．
7．解：∵Rt△ABC中，∠C=45°，
∴∠ABC=45°，
∵BC∥DE，∠D=30°，
∴∠DBC=30°，
∴∠ABD=45°﹣30°=15°，
故答案为：15°．
8．解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴∠BOC=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A，
而∠BOC=110°，
∴90°+∠A=110°
∴∠A=40°．
故答案为40°．
9．解：设∠A=x，则∠B=x+36°，∠C=x﹣36°，
根据题意得：x+x+36°+x﹣36°=180°，
解得：x=60°，
∴x+36°=96°，x﹣36°=24°．
∴∠A=60°，∠B=96°，∠C=24°．
10．解：（1）根据题意得，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∵∠A=∠C﹣∠B，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠B=2∠A，
∴3∠A=90°，
∴∠A=30°，
故∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°；
（2）△ABC按边分类，属于不等边三角形；
△ABC按角分类，属于直角三角形．
第3课时
1．解：A、三角形的三条高线所在的直线交于一点，错误；
B、直角三角形有三条高，正确；
C、三角形的三条角平分线交于一点，正确；
D、三角形的三条中线交于一点，正确；
故选：A．
2．解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD周长的差=（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，
∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，
∴△ACD周长为：25﹣6=19cm．
故选：A．
3．解：A、三角形的三条高至少有一条在三角形内，正确；
B、直角三角形只有三条高，而题目中是只有一条高，错误；
C、三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，错误；
D、锐角三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部，但钝角三角形的高有的在外部，错误；
故选：A．
4．解：
（1）
三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
（2）
三角形的中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积经计算得：
三角形面积为梯形面积的；
（3）
三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
（4）
三角形的中线AD把三角形分成两部分，△ABD的面积为?BD?AE，△ACD面积为?CD?AE；
因为AD为中线，所以D为BC中点，所以BD=CD，
所以△ABD的面积等于△ACD的面积．
∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
故选：D．
5．解：①两直线平行，同位角相等，故错误；
②钝角三角形的三条高有的在三角形外部，故错误；
③有三个角是锐角的三角形是锐角三角形，故错误；
④过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确；
故选：A．
6．解：设BE、CD交于点O，
∵BE、CD为中线，
∴点O是△ABC的重心，
∴BO=2EO，CO=2OD，（也可以连接DE，利用三角形的中位线定理证明）
设OE=x，OB=2x，OD=y，OC=2y．
∵AD=BD=，AE=CE=，
∵BE⊥CD，
∴∠BOD=∠COE=90°，
∴，
可得x2+y2=，
∴BC==．
故答案为．
7．解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴△ABD与△ACD的周长之差=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，
∵△ABD比△ACD的周长大3cm，
∴AB与AC的差为3cm．
故答案为：3cm．
8．解：∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=∠BAC=×130°=65°，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠CAD=90°﹣30°=60°，
∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=65°﹣60°=5°．
故答案为：5°．
9．解：（1）AD是△ABC中BC边上的中线，三角形中有三条中线．此时△ABD与△ADC的面积相等．
（2）AE是△ABC中∠BAC的角平分线，三角形上角平分线有三条．
（3）AF是△ABC中BC边上的高线，高线有时在三角形外部，三角形中有三条高线．
　
10．解：（1）∵∠B=30°，∠C=70°
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=∠BAC=40°
∵AD是高，∠C=70°
∴∠DAC=90°﹣∠C=20°
∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣20°=20°；
（2）由（1）知，∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=∠BAC﹣（90°﹣∠C）①
把∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C代入①，整理得
∠EAD=∠C﹣∠B，
∴2∠EAD=∠C﹣∠B．