沪科版八年级上册数学13.1三角形中的边角关系培优练习(3课时含答案）

13.1《三角形中的边角关系》
培优练习
第1课时《三角形中边的关系》
一、选择题
1．三角形的三边长分别是3，1﹣2a，8．则数a的取值范围是（　　）
A．﹣5＜a＜﹣2 B．﹣5＜a＜2 C．5＜a＜11 D．0＜a＜2
2．已知关于x的不等等式组/至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题
3．已知△ABC的三边长a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是　 　．
4．已知一个三角形的三边长分别是a+4，a+5和a+6，则a的取值范围是　 　．
三、解答题
5．如图，点O是△ABC内的一点，证明：OA+OB+OC＞/（AB+BC+CA）．
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第2课时
《三角形中角的关系》培优练习
一、选择题
1．△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足∠A：∠B：∠C=1：2：3，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
2．适合条件∠A=/∠B=/∠C的△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
二、填空题
3．在△ABC中，∠C=90°，∠A比∠B大20°．则∠B=　 　．
4．如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的两点，∠1+∠2=214°，则∠A=　 　度．
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三、解答题
5．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题；
△ABC中，有两个内角相等．
①若∠A=110°，求∠B的度数；
②若∠A=40°，求∠B的度数．
小明通过探究发现，∠A的度数不同，∠B的度数的个数也可能不同，因此为同学们提供了如下解题的想法：
对于问题①，根据三角形内角和定理，∵∠A=110°＞90°，∠B=∠C=35°；
对于问题②，根据三角形内角和定理，∵∠A=40°＜90°，∴∠A=∠B或∠A=∠C或∠B∠C，∴∠B的度数可求．
请回答：
（1）问题②中∠B的度数为　 　；
（2）参考小明解决问题的思路，解决下面问题：
△ABC中，有两个内角相等．设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，求∠B的度数（用含x的代式表示）以及x的取值范围．
第3课时
《三角形中几条重要线段》培优练习
一、选择题
1．如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状一定是（　　）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
2．一定在△ABC内部的线段是（　　）
A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线
C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高
D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
二、填空题
3．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有　 　个．
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4．在△ABC中，AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，则AC=　 　，AB=　 　．
三、解答题
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．求：
（1）∠BAE的度数；
（2）∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果条件∠B=70°，∠C=30°改成∠B﹣∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
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参考答案
第1课时
1．解：8﹣3＜1﹣2a＜3+8，
即5＜1﹣2a＜11，
解得：﹣5＜a＜﹣2．
故选：A．
2．解：解不等式①，可得x＜a，
解不等式②，可得x≥4，
∵不等式组至少有两个整数解，
∴a＞5，
又∵存在以3，a，7为边的三角形，
∴4＜a＜10，
∴a的取值范围是5＜a＜10，
∴a的整数解有4个，
故选：A．
3．解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴a+b＞c，b﹣a＜c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|=a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）=a+b﹣c+b﹣a﹣c=2（b﹣c）；
故答案为：2（b﹣c）
4．解：∵三角形的三边长分别为a+4，a+5和a+6，
∴a+5﹣a﹣4＜a+6＜a+4+a+5，即﹣3＜a．
故答案为：a＞﹣3．
5．证明：∵△ABO中，OA+OB＞AB，
同理，OA+OC＞CA，OB+OC＞BC．
∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+CA，
∴OA+OB+OC＞/（AB+BC+CA）．
第2课时
1．解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴设∠A、∠B、∠C分别为k、2k、3k，
由题意得，k+2k+3k=180°，
解得k=30°，
∠C=3×30°=90°，
∴这个三角形是直角三角形．
故选：C．
2．解：∵∠A=/∠B=/∠C，
∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，即6∠A=180°，
∴∠A=30°，
∴∠B=60°，∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形．
故选：B．
3．解：∵∠C=90°，
∴∠B+∠A=90°①，
∵∠A比∠B大20°，
∴∠A﹣∠B=20°②，
①﹣②得，2∠B=70°，
∴∠B=35°．
故答案为：35°．
4．解：方法一：
∵∠1+∠AEF=180°，∠2+∠AFE=180°
∴∠1+∠AEF+∠2+∠AFE=360°
∵∠1+∠2=214°
∴∠AEF+∠AFE=360°﹣214°=146°
∵在△AEF中：∠A+∠AEF+∠AFE=180°（三角形内角和定理）
∴∠A=180°﹣146°=34°
方法二：
∵在四边形BCEF中：∠B+∠C+∠1+∠2=360°（四边形内角和为360°）
∠1+∠2=214°
∴∠B+∠C=360°﹣214°=146°
∵在△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）
∴∠A=180°﹣146°=34°
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5．解：（1）当∠A=∠B时，
∴∠B=40°，
当∠A=∠C=40°时，
∴∠B=180﹣∠A﹣∠C=100°，
当∠B=∠C时，
∴∠B=/=70°，
故∠B的度数为40°或70°或100°
（2）当0＜x＜90时，∠B的度数有三个，
当∠A=∠B=时，∠B=x°，
当∠A=∠C时，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=180﹣2x°，
当∠B=∠C时，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=90°/x°，
∵x≠180﹣2x≠90﹣/x
∴x≠60
∴∠B=x°或180°﹣2x°或90°﹣/x°
x的取值范围是0＜x＜90且x≠60.
第3课时
1．解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形．
故选：D．
2．解：A、锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线一定在△ABC内部，故本选项正确；
B、钝角三角形的三条高有两条在三角形的外部，故本选项错误；
C、任意三角形的一条中线、二条角平分线都在三角形内部，但三条高不一定在三角形内部，故本选项错误；
D、直角三角形的三条高有两条是直角边，不在三角形内部，故本选项错误．
故选：A．
3．解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
故答案为：6
4．解：∵AD是BC边上的中线，AC=2BC，
∴BD=CD，
设BD=CD=x，AB=y，则AC=4x，
分为两种情况：①AC+CD=60，AB+BD=40，
则4x+x=60，x+y=40，
解得：x=12，y=28，
即AC=4x=48，AB=28；
②AC+CD=40，AB+BD=60，
则4x+x=40，x+y=60，
解得：x=8，y=52，
即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16，
此时不符合三角形三边关系定理；
综合上述：AC=48，AB=28．
故答案为：48；28．
5．解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣70°﹣30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=/∠BAC=40°；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
而∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=40°﹣20°=20°；
（3）能．
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=/∠BAC=/（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣/（∠B+∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
而∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=90°﹣∠B，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=90°﹣/（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B）=/（∠B﹣∠C），
∵∠B﹣∠C=40°，
∴∠DAE=/×40°=20°．