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第一章 集合
1.1 集合与集合的表示方法
1.1.1 集合的概念
1.了解集合的含义,会用符号“∈”或“?”表示元素与集合之间的关系.
2.理解集合中元素的特性,重点理解其确定性与互异性.
3.熟悉常用数集的符号,尤其要注意空集的含义及表示.
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1.集合的有关概念
一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集),通常用英语大写字母A,B,C,…来表示.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员),通常用英语小写字母a,b,c,…来表示.
名师点拨集合是现代数学中不加定义的基本概念,学习这个概念应注意以下两点:
(1)集合是一个“整体”;
(2)构成集合的对象必须是“确定”且“不同”的.
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【做一做1】 下列各组对象不能构成集合的是( )
A.著名的中国数学家
B.所有的负数
C.清华大学招收的2016级本科生
D.某次会议所有的代表
解析:因为选项B,C,D中所给的对象都是确定的,所以可以构成集合;而选项A中所给对象不确定,原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名,故不能构成集合.
答案:A
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2.元素与集合的关系
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3.集合中元素的性质特征
(1)确定性;(2)互异性;(3)无序性.
名师点拨在处理集合中有关元素的问题时,求得其中元素(或字母)的值以后,要充分考虑集合元素的互异性与分类讨论思想的应用,要进行代入检验,舍去不符合要求的值.
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【做一做3-1】 若a,a,b,b,a2,b2构成集合M,则M中的元素最多有( )个.
A.6 B.5
C.4 D.3
解析:由集合元素的互异性可知,当a,b,a2,b2互不相等时,集合M中的元素最多,即集合M最多有4个元素.
答案:C
【做一做3-2】 方程x2-2x+1=0的解集中有 个元素.?
答案:1
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4.集合的分类
【做一做4】 指出下列集合是有限集还是无限集:
(1)满足2 015(2)数轴上所有的实数对应的点构成的集合.
解:(1)满足2 015(2)数轴上实数对应的点有无穷多个,故此集合是无限集.
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5.常用数集及表示符号
【做一做5】 下列关系表示正确的是( )
A.0∈N+ B.π?R
C.1?Q D.0∈Z
答案:D
一、集合中元素的特性
剖析:确定性:作为一个集合的元素,必须是确定的.这就是说,不能确定的对象就不能构成集合.也就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.
互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的(或说是互异的).这就是说,集合中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素.
无序性:集合中的元素没有顺序,在表示集合时先写哪个元素都可以.
二、特殊集合——空集
剖析:我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作?.空集是一个实实在在的集合,只不过此集合中没有任何元素,故称为空集.例如,由“方程x2+2=0的实数根”构成的集合,因为没有适合该集合的元素,所以它是空集.
名师点拨1.空集的本质是其不含有任何元素,它的表现形式是多种多样的.例如,由所有平方等于-1的实数构成的集合;由所有大于-3且小于0的自然数构成的集合;由所有的有两个内角是直角的三角形构成的集合等都是空集.
2.不要将实数0或只含一个元素0的集合与空集?混为一谈.实数0只能作为元素出现,它不是集合,只含一个元素0的集合不等同于?,因为它含有元素.
三、教材中的“思考与讨论”
1.你能否确定,你所在班级中,高个子同学构成的集合?并说明理由.
剖析:不能确定.原因是对高个子同学“高”的程度没有确定的标准,所以无法判定哪些同学符合要求,因此不能构成集合.
2.你能否确定,你所在班级中,最高的3位同学构成的集合?
剖析:能确定.因为班里最高的3位同学是确定的(只要按身高从高到低取前三名即可),将他们作为元素放在一起即构成所要求的集合.
【例1】 下列各组对象能构成集合吗?
(1)你所在班级的男生;
(2)参加2016年第31届夏季奥林匹克运动会的高大运动员;
(3)关于x的方程x2+5=0的实数解;
(4)所有小的正数;
(5)到两定点距离的和等于两定点间的距离的点.
解:(1)(3)(5)可以构成集合;(2)(4)不能构成集合.
反思看一组对象能否构成一个集合,只要看这组对象是不是确定的,即任何一个对象,要么在这一组对象中,要么不在这组对象中,而没有第三种情况出现.
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 给出以下各组对象:①较大的正整数;②北京市所有身高为1.75米的人;③美国NBA的著名球星;④方程x2=4的所有实数解;⑤小于1的正整数.其中能构成集合的对象的组数为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:“较大”和“著名”没有确定的标准,所以①和③不能构成集合,②④⑤均可构成集合.
答案:B
题型一
题型二
题型三
【例2】 由元素3,x,x2-2x构成集合M,则x应满足的条件是 .?
答案:x≠3,且x≠0,且x≠-1
反思互异性是集合元素的重要性质,在解决集合中有关元素的问题时,一定要注意利用元素的互异性进行验证.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 由方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的所有实数根构成的集合中,元素的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:方程x2-5x+6=0的根是2和3,方程x2-x-2=0的根是2和-1,因此两个方程的所有实数根构成的集合中含有3个元素2,3,-1.
答案:C
题型一
题型二
题型三
【例3】 已知集合P中有三个元素a-3,2a-1,a2+4,且-3∈P,求实数a的值.
分析:利用-3是集合P中的元素,可列方程求a的值,最后需验证集合中元素的互异性.
解:因为-3∈P,a2+4≥4,
所以a-3=-3或2a-1=-3,
解得a=0或a=-1.
经检验,当a=0时,P中三个元素为-3,-1,4,满足集合中元素的互异性;
当a=-1时,P中三个元素为-4,-3,5,也满足集合中元素的互异性.
综上可知,a的值为0或-1.
反思在根据元素与集合的关系解题时,要注意将求得的参数值代入检验,看是否符合题意及元素的互异性等性质.
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】 在例3所给的集合P中,是否含有元素-5?
解:不含有元素-5.理由如下:
若-5∈P,由于a2+4≥4,
故只能有a-3=-5或2a-1=-5,
这时a=-2,但a-3=2a-1=-5,不满足集合中元素的互异性.
因此,集合P中不可能含有元素-5.
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1下列各组对象,能构成集合的是( )
A.平面直角坐标系内x轴上方的y轴附近的点
B.平面内两边之和小于第三边的三角形
C.某书店中有意义的小说
D.π(π=3.141…)的近似值的全体
解析:选项A,C,D中的对象不具有确定性,故不能构成集合;而选项B为?,故能构成集合.
答案:B
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其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①②正确,③④错误.
答案:B
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3由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值可以是( )
A.1 B.-2
C.6 D.2
解析:代入验证如下:当a=1时,a2=2-a;
当a=-2时,a2=2-a=4;
当a=2时,a2=4;故1,-2,2均不能满足集合A中元素的互异性,排除选项A,B,D;当a=6时,a2=36,2-a=-4,符合要求,故选C.
答案:C
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4集合A是由点(2 017,2 016)和点(2 016,2 017)构成的,则A中有 个元素.?
解析:因为点的坐标是有顺序性的,所以集合A中有2个点,即A中有2个元素.
答案:2
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5设L(A,B)表示直线AB上所有点组成的集合,“P是直线AB上的一个点”这句话就可以简单地写成P L(A,B).?
答案:∈
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6已知集合A由三个元素a2,a+1,0构成,且1∈A,试求实数a的值.
解:因为1∈A,所以a2=1或a+1=1.
若a2=1,则a=±1.
当a=1时,集合A中的元素是1,2,0,符合要求;
当a=-1时,集合A中的元素是1,0,0,不符合元素的互异性.
若a+1=1,则a=0,集合A中的元素是0,1,0,不符合元素的互异性.
综上可知,实数a的值为1.
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1.1.2 集合的表示方法
1.能运用自然语言、集合语言(列举法、描述法)描述不同的具体问题.
2.理解集合的特征性质,会用集合的特征性质描述一些集合,如数集、解集和一些基本图形的集合等.
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1.列举法
如果一个集合是有限集,元素又不太多,常常把集合的所有元素都列举出来,写在花括号“{ }”内表示这个集合.这种表示集合的方法叫做列举法.?
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归纳总结1.用列举法表示集合时,一般不必考虑元素间的前后顺序,如{a,b}与{b,a}表示同一个集合.
2.元素与元素之间必须用“,”隔开.
3.集合中的元素不能重复.
4.列举法表示集合的几种情形:
(1)元素个数少且有限时,全部列举,如{1,2,3,4,5};
(2)元素个数多且有限时,可以列举部分,中间用省略号表示,如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3,…,1 000};
(3)元素个数无限但有规律时,也可以类似地用省略号列举,如自然数集N可以表示为{0,1,2,3,…}.
【做一做1-1】 用列举法表示不超过10的非负偶数集为 .?
答案:{0,2,4,6,8,10}
【做一做1-2】 方程x2-2 016x-2 017=0的解组成的集合为 .?
解析:因为x2-2 016x-2 017=(x+1)(x-2 017)=0,
所以x=-1或x=2 017.
所以方程x2-2 016x-2 017=0的解组成的集合为{-1,2 017}.
答案:{-1,2 017}
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2.描述法
一般地,如果在集合I中,属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.于是,集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)},它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的.这种表示集合的方法,叫做特征性质描述法,简称描述法.
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知识拓展1.使用描述法表示集合时要注意以下六点:
(1)写清元素符号;(2)说明该集合中元素的性质;(3)不能出现未被说明的字母;(4)多层描述时,应当准确使用“且”“或”;(5)所有描述的内容都要写在集合符号内;(6)用于描述的语句力求简明、准确.
2.将描述法转化为列举法时,首先确定集合是由哪些元素构成的,然后将所有元素写在花括号内;将列举法转化为描述法时,首先要明确集合中元素的公共属性,即弄清集合的代表元素是什么,元素满足什么条件,再写出集合.
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2
【做一做2-1】 集合{(x,y)|y=2x-1}表示( )
A.方程y=2x-1
B.点(x,y)
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.函数y=2x-1的图象上的所有点组成的集合
答案:D
【做一做2-2】 已知集合A={0,1,2,3,4},用描述法表示该集合为 .(答案不唯一,写一个即可)?
答案:{x∈N|x≤4}
一、正确理解集合的描述法
1.用描述法表示集合时,要明确集合的代表元素
剖析:描述法是将所给集合中全部元素的共同特征性质用文字或符号语言描述出来的方法,它反映了集合元素的特征.在分析有关集合的问题时,一定要分清集合中的代表元素,从而确定集合的本质.
例如,给出集合A={x|2x-4=0},B={x|2x-4>0},C={x|y=2x-4},D={y|y=2x-4},E={(x,y)|y=2x-4},它们之间有何关系?每个集合中的元素是什么?其本质又是什么?
对于集合A,其代表元素是x,该集合是由满足方程2x-4=0的x构成的集合,即方程2x-4=0的解的集合,而方程2x-4=0只有一个解x=2,因此A={x|2x-4=0}={2}.
对于集合B,其代表元素是x,该集合是由满足不等式2x-4>0的x构成的集合,即不等式2x-4>0的解集,而2x-4>0的解为x>2,因此B={x|2x-4>0}={x|x>2}.
对于集合C,其代表元素是x,该集合是由满足y=2x-4的x构成的集合,即函数y=2x-4中变量x的取值构成的集合,而函数y=2x-4中,x可取任意实数,因此C={x|y=2x-4}=R.
对于集合D,其代表元素是y,该集合是由满足y=2x-4的y构成的集合,即函数y=2x-4中变量y的取值构成的集合,显然y也可以取全体实数,因此D={y|y=2x-4}=R.
对于集合E,其代表元素是(x,y),是数对的形式,即点的坐标的形式,因此该集合表示的是函数y=2x-4的图象上所有点的集合.
从以上分析可以看出,对于用描述法表示的集合,要抓住其元素进行分析,明确集合的本质,确定集合中的元素.
2.分析用描述法表示的集合时,要以“特征性质”为核心
剖析:首先用描述法表示集合时,竖线左边的字母仅仅是集合中元素的代表,可以用不同的字母来表示.例如,集合{x|x>1}与集合{y|y>1},虽然两个集合中表示元素的字母不同,但它们均表示大于1的实数构成的集合,是同一个集合;其次,表示同一个集合时,可以用不同的特征性质来描述.例如,所有奇数构成的集合,可以写作{x|x=2k+1,k∈Z},也可以写作{x|x=2k-1,k∈Z}等.
3.描述法的简化
剖析:在不引起混淆的情况下,为了简便,用描述法表示某些集合时,可以省去竖线及竖线左边表示元素的符号.例如,所有奇数组成的集合,可以表示为{奇数},{ }本身就有“全部”“所有”的意思,不要写成{所有奇数}或{x|x是所有奇数}等错误形式.
二、教材中的“思考与讨论”
1.哪些性质可作为集合{-1,1}的特征性质?
剖析:集合{-1,1}是只含有元素-1和1的集合,因此,能表示出元素-1,1的方程、式子等都可以作为它的特征性质.例如,x2=1或|x|=1或(x+1)·(x-1)=0等,本题也说明了表达同一个集合的特征性质并不是唯一的.
2.平行四边形的哪些性质,可用来描述所有平行四边形构成的集合?
剖析:在初中,我们学习了平行四边形的判定定理,即平行四边形所具有的特征性质:有两组对边分别平行的四边形是平行四边形;有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形等.因此,平行四边形ABCD的特征性质可以写成:AB∥CD,且AD∥BC,或AB????CD等.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例1】 用列举法表示下列集合:
(1){自然数中五个最小的完全平方数};
(2){x|(x-1)2(x-2)=0};
(3)不小于30的奇数组成的集合;
(4)2016年第15届欧洲杯足球赛的主办国家组成的集合;
分析:(1)明确自然数中完全平方数均为n2(n∈N)的形式;(2)1是方程的二重根,要考虑到集合元素的互异性;(3)是无限集合,应有规律地列举;(4)是单元素集;(5)方程组的解集是点集.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1){0,1,4,9,16};
(2){1,2};
(3){31,33,35,37,…};
(4){法国};
(5){(3,2)}.
反思第(2)小题中1是方程的二重根,把方程(x-1)2·(x-2)=0的解集写成{1,1,2}是不正确的,这是因为集合的元素是互异的;第(5)小题中集合的代表元素是(x,y),是一个点,故不能写成{3,2},也不能写成{x=3,y=2}.实际上,集合{(3,2)}只有一个元素.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 用列举法表示下列集合:
(1)由方程x2=36的解构成的集合;
(2)由1~30中所有的质数构成的集合;
(3)100以内的正偶数构成的集合;
(4)一年中有30天的月份构成的集合.
解:(1){-6,6};
(2){2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
(3){2,4,6,8,…,100};
(4){4月,6月,9月,11月}.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例2】 用描述法表示下列集合:
(1)所有不小于2且不大于30的实数的集合;
(2)被5除余3的正整数的全体;
(4)平面直角坐标系内,两坐标轴上的点集;
(5)全体锐角三角形构成的集合.
分析:(2)中x=5k+3(k∈N)可作为集合的一个特征性质;(3)中要使表达式有意义,则x2-3x+2≠0;(4)中注意集合中的元素是点.
题型一
题型二
题型三
题型四
分析:(2)中x=5k+3(k∈N)可作为集合的一个特征性质;(3)中要使表达式有意义,则x2-3x+2≠0;(4)中注意集合中的元素是点.
解:(1){x∈R|2≤x≤30};
(2){x|x=5k+3,k∈N};
所以实数x的集合为{x|x≠1,且x≠2,x∈R};
(4){(x,y)|xy=0};
(5){x|x是锐角三角形}.
反思认识用特征性质描述法表示的集合,一要看集合的代表元素是什么,它反映了集合元素的形式;二要看元素满足什么特征.对符号语言所表达含义的理解在数学中的要求是很高的,要逐步提高对符号语言的认识.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 用描述法表示下列集合:
(1)不等式3x+5≤0的解集;
(2)平面直角坐标系内,第四象限内点的集合;
(3)能被4整除的自然数构成的集合;
(4)全体正方形构成的集合.
解:(1){x|3x+5≤0};
(2){(x,y)|x>0,且y<0};
(3){x|x=4n,n∈N};
(4){x|x是正方形}.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例3】 选择适当的方法表示下列集合:
(1)x2-1的一次因式构成的集合;
(2)“Welcome to Beijing”中的所有字母构成的集合;
(3)平面直角坐标系内第一、三象限角平分线上的点的集合;
(4)以A为圆心,r为半径的圆上的所有点构成的集合.
题型一
题型二
题型三
题型四
分析:(1)由于x2-1的一次因式为x+1和x-1,因此可以用列举法表示为{x+1,x-1};
(2)由于“Welcome to Beijing”中包含的字母有W,e,l,c,o,m,t,B,i,j,n,g,共12个元素,因此可以用列举法表示为{W,e,l,c,o,m,t,B,i,j,n,g};
(3)第一、三象限角平分线对应直线y=x;
(4)对于以A为圆心,r为半径的圆上的点都具有一个共同的特征:到圆心的距离都等于半径.设点P为所求圆上的任意一点,故可以用描述法表示为{P||PA|=r}.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1){x+1,x-1};
(2){W,e,l,c,o,m,t,B,i,j,n,g};
(3){(x,y)|y=x,x∈R,y∈R};
(4)设点P为所求圆上的任意一点,
则所求集合为{P||PA|=r}.
反思用列举法与描述法表示集合时,一要明确集合中的元素;二要明确元素所满足的特征性质;三要根据元素个数来选择恰当的方法表示集合.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 用另外一种方法表示下列集合:
(2)B={y|y=-x2+9,x∈Z,y∈Z,y>0};
(3)C={3,6,9,12,15,18}.
当x=-3,0,1,2,4,5,6,9时,|3-x|是6的约数,故A={-3,0,1,2,4,5,6,9}.
(2)由y=-x2+9,x∈Z,y∈Z,y>0可知0当x=0,±1,±2时,y=9,8,5满足题意,故B={9,8,5}.
(3)C={x|x=3k,1≤k≤6,k∈N+}.
题型一
题型二
题型三
题型四
易错点:对集合的特征性质理解不深致错
【例4】 已知集合M={x|x=2a,a∈Z},N={x|x=2a+1,a∈Z},P={x|x=4a+1,a∈Z}.若m∈M,n∈N,则有( )
A.m+n∈M
B.m+n∈N
C.m+n∈P
D.m+n不属于M,N,P中的任意一个
错解:C
题型一
题型二
题型三
题型四
错因分析:不能正确利用集合中元素的特征性质,认为三个集合中的a是一致的,从而由m∈M,得m=2a,a∈Z.由n∈N,得n=2a+1,a∈Z.故m+n=4a+1,a∈Z.进而错误地判断m+n∈P.而实际上,三个集合中的a是不一致的.应由m∈M,设m=2a1,a1∈Z.由n∈N,设n=2a2+1,a2∈Z.故m+n=2(a1+a2)+1,且a1+a2∈Z,因此,m+n∈N,故正确答案为B.
正解:B
反思在分析集合中元素的关系时,一定要注意各自的独立性,并注意用不同的字母来区分,否则会导致出错.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练4】 若集合A={y|y=x+1,x∈R},B={y|y=x2+1,x∈R},则由集合A与B的公共元素组成的集合为 .?
解析:集合A表示函数y=x+1中变量y的取值构成的集合.因为x∈R,所以y∈R,即A=R.同理,集合B表示函数y=x2+1中变量y的取值构成的集合.因为x∈R,所以x2≥0,从而x2+1≥1,即y≥1.因此,集合B={y|y≥1}.于是A和B的公共元素是所有大于或等于1的实数,即A与B的公共元素组成的集合是{y|y≥1}.
答案:{y|y≥1}
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1下列集合的表示方法正确的是( )
A.{1,2,2}
B.{全体实数}
C.{有理数}
D.不等式x2-5>0的解集为{x2-5>0}
答案:C
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3下列关系式中,正确的是( )
A.{2,3}≠{3,2}
B.{(a,b)}={(b,a)}
C.{x|y=x2+x+1}={y|y=x-3}
D.{y|y=x2+1}={x|y=x+1}
解析:选项A中,{2,3}={3,2},集合元素具有无序性;
选项B中,集合中的点不同,故集合不同;
选项C中,{x|y=x2+x+1}={y|y=x-3}=R;
选项D中,因为{y|y=x2+1}={y|y≥1},{x|y=x+1}=R,
所以两集合不是同一个集合.故选C.
答案:C
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4用列举法表示集合A={y|y=x2-1,-2≤x≤2,且x∈Z}是 .?
解析:因为x可取-2,-1,0,1,2,
所以对应的函数值y的取值为3,0,-1,0,3,
所以集合A用列举法表示为{-1,0,3}.
答案:{-1,0,3}
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5已知集合M={x|3x+a≥0,x∈R},若1∈M,则实数a的取值范围是 .?
解析:因为1∈M,
所以3×1+a≥0.
故a≥-3.
答案:a≥-3
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6用描述法表示下列集合:
(1)大于2的整数a构成的集合;
(2)两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2的交点构成的集合;
(3){12,22,32,42,…}.
解:(1){a∈Z|a>2}或{a|a>2,a∈Z}或{大于2的整数};
(3){x|x=n2,n∈N+}.
(共39张PPT)
1.2 集合之间的关系与运算
1.2.1 集合之间的关系
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别一些给定集合的子集.
2.能使用维恩(Venn)图表达集合之间的关系,尤其要注意空集这一特殊集合的意义.
3.理解集合关系与其特征性质之间的关系,并能写出有限集的子集、真子集与非空真子集.
1
2
3
1.集合之间的关系
1
2
3
1
2
3
1
2
3
名师点拨1.在子集的定义中,不能认为当集合A中的元素比B中的元素个数少时,A就是B的子集.只有当A中的任何一个元素都是B中的元素时,才能说A是B的子集,不能仅仅依据元素个数的多少判定两集合的关系.
2.当A是B的子集,即A?B时,不能认为A是由B中的部分元素构成的集合.因为当A=?时,有A?B,但集合A中不含任何元素;又当A=B时,也有A?B,但此时集合A中含有B中的全部元素.
3.当集合A中存在不是集合B中的元素时,我们就说A不是B的子集,记作A?B(或B?A),读作:“A不包含于B”(或“B不包含A”).
4.A?B包括A?B和A=B两种情况.其中A?B,可形象地理解为B中元素至少比A中元素多一个;而A=B,可从A的元素与B的元素完全相同去理解.
1
2
3
【做一做1-1】 有下列关系:
①1∈{0,1,2};②{1}∈{0,1,2};③{0,1,2}?{0,1,2};④{0,1,2}={2,0,1}.其中错误的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①正确;②错误,应为{1}?{0,1,2};
③正确,也可以写成{0,1,2}={0,1,2};
④正确.故选A.
答案:A
【做一做1-2】 已知集合A={1,2,3},B={3,x2,2},若A=B,则x的值是( )
A.1 B.-1 C.±1 D.0
答案:C
1
2
3
【做一做1-3】 指出下列各对集合之间的关系:
(1)A={-1,2},B={1,-2};
(2)A={1,2,3},B={0,1,2,3};
(3)A={x|x2=1},B={x||x|=1};
(4)A={四边形},B={矩形}.
解:(1)A?B,B?A;
(2)A?B;
(3)因为A={1,-1},B={1,-1},所以A=B;
(4)四边形不一定是矩形,但矩形一定是四边形.因此B?A.
1
2
3
2.维恩(Venn)图
我们常用平面内一条封闭曲线的内部来表示一个集合,用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系,这种图形通常叫做维恩(Venn)图.
如果集合A是集合B的真子集,那么就把表示A的区域画在表示B的区域的内部(如图所示).
名师点拨1.Venn图一定是封闭曲线,常画成椭圆、圆或矩形;
2.Venn图中要把集合的元素写在封闭曲线的内部.
1
2
3
【做一做2】 如图所示,对于集合A,B,C,D的关系,描述正确的是( )
A.B?C B.D?A
C.A?B D.A?C
答案:D
1
2
3
3.集合关系与其特征性质之间的关系
设A={x|p(x)},B={x|q(x)},则有
1
2
3
【做一做3-1】 已知集合M={x|0解析:由于0答案:M?N
【做一做3-2】 若集合A={x|x=2n,n∈Z},B={x|x=4n,n∈N},则A与B的关系是 .?
解析:集合A是由2的倍数构成的集合,集合B是由4的倍数构成的集合,4的倍数一定是2的倍数,但2的倍数不一定是4的倍数,故B?A.
答案:B?A
一、“∈”与“?”的区别与联系
剖析:符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系,也就是个体与总体的关系,是指单个对象与对象的全体的从属关系;而符号“?”表示集合与集合之间的包含关系.
从属关系(∈)一般只能用在元素与集合之间;包含关系(?,?)只能用在集合与集合之间.在使用以上符号的时候先要弄清楚是元素与集合的关系还是集合与集合之间的关系.
例如,表示元素与集合之间的关系有:1∈N,-1?N,1∈{1},0∈{0}等,但不能写成0={0}或0?{0};表示集合与集合之间的关系有:N?R,{1,2,3}?{1,2,3},{1,2,3}?{1,2,3,4}等;但需要注意的是??{?}与?∈{?}的写法都是正确的,前者是从两个集合间的关系来考虑的,后者则把?看成集合{?}中的元素来考虑.
二、探索集合的子集个数问题
剖析:由子集的定义可知:若集合A是集合B的子集,则有A?B,它包含以下两个方面:(1)A?B;(2)A=B.
由以上知识,可以得到:
若B={a},则其子集可以是?,{a},即集合中若有1个元素,则其子集个数为2;
若B={a,b},则其子集可以是?,{a},{b},{a,b},即集合中若有2个元素,则其子集个数为4;
若B={a,b,c},则其子集可以是?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},即集合中若有3个元素,则其子集的个数为8;
若B={a,b,c,d},则其子集可以是?,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d},即集合中若有4个元素,则其子集的个数为16.
综上所述,集合中的元素个数每增加1,其子集的个数变为原来的2倍,其对应关系为:
元素个数 子集数目
1 2=21
2 2×21=22
3 2×22=23
4 2×23=24
由此可以猜测:若集合中有n个元素,则其子集的个数应为2n,其非空子集的个数为(2n-1),其真子集的个数应为(2n-1),其非空真子集的个数为(2n-2).
三、教材中的“思考与讨论”
已知集合A的特征性质为p(x),集合B的特征性质为q(x).“如果p(x),那么q(x)”是正确的命题,试问集合A和B的关系如何?并举例说明.
剖析:设A={x|p(x)},B={x|q(x)},若“如果p(x),那么q(x)”是正确的命题,则p(x)?q(x),即x∈A?x∈B,根据子集的定义有A?B.举例说明如下:A={x|x是6的约数},B={x|x是12的约数},即集合A的特征性质p(x)是:x是6的约数;集合B的特征性质q(x)是:x是12的约数.而6的约数是1,2,3,6;12的约数是1,2,3,4,6,12.由此可知,若“如果p(x),那么q(x)”是真命题,则“如果x是6的约数,那么x是12的约数”,即x∈A?x∈B,故A?B.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例1】 判断以下给出的各对集合之间的关系:
(1)A={1,3,5,6,7},B={5,7};
(2)A={2,3},B={x|x2-5x+6=0};
(3)A={x|x2-x=0},B={x|x2-x+1=0};
(4)A={x|0(5)A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+2,k∈Z}.
分析:对于(1)(2),可直接根据两集合的元素进行判断;对于(5),可分析集合中元素的特征性质判断两集合的关系;对于(3),要注意空集的特殊性;对于(4),可借助数轴进行判断.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:(1)由于A={1,3,5,6,7},B={5,7},由真子集的定义知,集合B是集合A的真子集,即B?A.
(2)由于B={x|x2-5x+6=0}={2,3},而A={2,3},故集合A与集合B相等,即A=B.
(3)由于A={x|x2-x=0}={0,1},而集合B中的方程x2-x+1=0没有实数解,即B=?,故B?A.
(4)由数轴(如图所示)可知A?B.
(5)当k∈Z时,2k是偶数,且能取到所有的偶数;当k∈Z时,2k+2也是偶数,也能取到所有的偶数,因此集合A和集合B都表示所有偶数的集合,即A=B.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思1.集合间的关系有包含、真包含、相等等.
2.判断两个集合之间的关系的方法主要有:
(1)对于有限集合,特别是元素个数较少时,可将元素一一列举出来进行判断;
(2)对于无限集合,特别是用描述法表示的集合,应从特征性质入手进行分析判断,看其元素之间具备什么关系,从而得到集合间的关系;
(3)当集合是不等式的解集时,可借助数轴分析判断集合间的关系.
3.在判断集合间的关系时,要注意空集表现形式的多样性及其特殊性,即空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练1】 判断下列各对集合之间的关系:
(1)M={x|x≥0},N={x|x<1};
(2)M={直角三角形},N={等腰直角三角形};
(3)M={x|x=k2+1,k∈Z},N={x|x=m2+1,m∈R};
(4)M={x|x2+1=0,x∈R},N={x|x+1>0,x∈R}.
解:(1)结合数轴分析,可得M?N,N?M;
(2)等腰直角三角形一定是直角三角形,但直角三角形不一定是等腰直角三角形,故M?N;
(3)集合M和N中的元素都是a2+1的形式,但在集合M中,a∈Z;在集合N中,a∈R.因为Z?R,所以M?N;
(4)显然集合M是空集,而N是非空集合,故M?N.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例2】 已知M={2,a,b},N={2a,2,b2},且M=N,求a,b的值.
分析:M=N→列方程组→解方程组求a,b的值
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思在考虑两个集合相等时,应注意到集合中元素的互异性.本
题结果易出现含有 这种错误的情况,导致该错误的原因是忽视了集合中元素的互异性.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练2】 设集合A={3,x2-6},B={x,y},且A=B,求x,y的值.
解:因为A=B,所以x=3或y=3.
当x=3时,x2-6=3,集合A中元素3重复出现,不满足集合元素的互异性,故舍去;
当y=3时,应有x2-6=x,解得x=-2(x=3舍去),此时A={3,-2},B={-2,3},满足条件.
综上可知,x=-2,y=3.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例3】 已知集合A={m|m使方程mx2-2x+1=0有唯一实数解},试写出集合A的所有子集,并指出哪些是A的真子集.
分析:先求出当方程mx2-2x+1=0有唯一实数解时m的值,从而确定集合A的元素,然后根据子集、真子集的定义写出子集,并判断哪些是真子集.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:当m=0时,方程化为-2x+1=0,解得
当m≠0时,要使方程有唯一实数解,应满足Δ=4-4m=0,解得m=1,所以A={0,1}.
由0个元素构成的子集为:?;
由1个元素构成的子集为:{0},{1};
由2个元素构成的子集为:{0,1}.
故集合A的子集共有4个:?,{0},{1},{1,2}.
其中,除集合{0,1}外,其余的子集全是A的真子集.
反思在写出一个有限集合的子集(真子集)时,首先要确定该集合的全部元素,然后按照子集中所含元素的个数分类,分别写出符合要求的子集(真子集).在写子集时,不能忘记空集和集合本身.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练3】 满足条件{a,b}?M?{a,b,1,2,3}的集合M的个数是( )
A.3 B.4 C.7 D.8
解析:由题意知,集合M中必须含有元素a,b,且至少含有元素1,2,3中的一个,因此集合M的个数实质就是集合{1,2,3}的真子集的个数,一共有23-1=7个.
答案:C
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例4】 设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠?,B?A,求a,b的值.
分析:由B≠?,B?A,可见B是A的非空子集.而A的非空子集有{-1},{1},{-1,1},故B要分三种情形讨论.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思利用分类讨论的思想,考虑集合B的所有可能的情况,这是处理集合与其子集之间关系的常用方法.另外,此题也可以利用根与系数的关系求解.此题容易出现的错误是没有注意题中的已知条件而考虑B=?的情形.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练4】 已知集合A={x|2(1)若B={x|x(2)若B={x|x>m},且A?B,求实数m的取值范围.
解:(1)结合数轴可知,要使A?B,应有m>5;
(2)结合数轴分析,要使A?B,应有m≤2.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
易错点:忽视空集致错
【例5】 集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B?A,求实数m满足的条件.
错解:由题意并结合数轴(如图所示),
故实数m满足的条件是2≤m≤3.
错因分析:忽略了B=?时的情形.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
正解:(1)当B=?时,??A,符合题意,此时m+1>2m-1,解得m<2.
(2)当B≠?时,由题意并结合数轴(如图所示),
综合(1)(2)可知,实数m满足的条件是m≤3.
反思空集是一种特殊的集合,也是集合运算中最活跃的一个集合,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.当B?A时,B可能为?,不要忽视这一种可能,在条件不明确时,要注意分类讨论.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练5】 已知集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|mx-1=0},若Q?P,则实数m的值为 .?
1 2 3 4 5
1若集合A={x∈N+|-2 016A.A=B B.A?B
C.B?A D.A?B
解析:由已知得A={1,2,3,…,2 016},B={0,1,2,3,…,2 016},故A?B.
答案:B
1 2 3 4 5
2已知集合A={a},C={a,b,c},若A?B,且B?C,则集合B的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:因为A?B?C,所以B可能为{a},{a,b},{a,c},{a,b,c}.
所以满足条件的集合B的个数是4.
答案:D
1 2 3 4 5
3若集合A={2,9},集合B={m2-m,9},且A=B,则实数m等于 .?
解析:因为A=B,所以m2-m=2,解得m=-1或m=2.
答案:-1或2
4有下面5个命题:
①空集没有子集;
②任意集合至少有两个子集;
③空集是任何集合的真子集;
④若??A,则A≠?;
⑤集合A?B,就是集合A中的元素都是集合B中的元素,集合B中的元素也都是集合A中的元素.
其中不正确命题的序号有 .?
解析:①错误,因为空集是任意一个集合的子集;②错误,因为空集只有一个子集;③错误,因为空集是任意一个非空集合的真子集,空集并不是它本身的真子集;④正确;⑤错误,因为其叙述不符合子集的定义.若A?B,则只需要集合A中的元素都是集合B中的元素.
答案:①②③⑤
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
5已知集合A中元素的特征性质p(x):x2-2x-3=0,集合B中元素的特征性质q(x):ax-1=0,a∈R.若q(x)?p(x),试求a的值.
解:因为q(x)?p(x),所以B?A.
又因为A={-1,3},
所以结合方程ax-1=0,a∈R的特点有B=?或{-1}或{3}.
当B=?时,a=0;
(共33张PPT)
1.2.2 集合的运算
第1课时 交集与并集
1.理解两个集合的交集与并集的概念,明确数学中的“且”“或”的含义,会求两个简单集合的交集与并集.
2.能使用Venn图表示集合之间的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.
3.理解集合的交集、并集运算的性质,并能简单应用.
1
2
1.交集与并集的概念
1
2
名师点拨1.在求集合的并集时,同时属于A和B的公共元素,在并集中只出现一次.
2.对于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,不能仅认为A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素,同时还有A与B的公共元素都属于A∩B的含义,这就是定义中“所有”二字的含义,而不是“部分”公共元素.
3.不能认为集合A∪B中元素的个数等于集合A与B的元素个数之和.并集作为一个集合,其元素也应满足互异性,A与B中相同的元素只能算作一个.因此A∪B中元素的个数可能等于集合A与B的元素个数之和,也可能少于集合A与B的元素个数之和.
1
2
【做一做1-1】 若集合P={-1,0,1},Q={-2,4},则P∩Q等于( )
A.? B.{-2,-1,0,1,4}
C.{4} D.{0,1}
解析:因为集合P和Q没有公共元素,所以集合P与Q的交集为?.
答案:A
【做一做1-2】 若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合A∪B等于( )
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{1,2} D.{0}
答案:A
1
2
【做一做1-3】 若M={x|x>2},N={x|x<5},则M∩N= ,M∪N= .?
解析:结合数轴分析,可得M∩N={x|2答案:{x|2
1
2
2.交集与并集的运算性质
1
2
【做一做2-1】 若集合A,B均为非空集合,且满足A∪B=A∩B,则必有( )
A.A?B B.B?A
C.A=B D.以上都错
解析:由交集、并集的定义可知当A∪B=A∩B时,必有A=B.
答案:C
【做一做2-2】 设集合A={7,a},B={-1},若A∩B=B,则a= .?
解析:由A∩B=B,知B?A.因为-1∈B,所以-1∈A.
又因为A={7,a},所以a=-1.
答案:-1
一、集合运算中与生活用语中的“且”与“或”的区别和联系
剖析:(1)集合运算中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同,均表示“同时”的含义,即“x∈A,且x∈B”表示元素x属于集合A同时属于集合B.(2)集合运算中的“或”与生活用语中的“或”的含义不同,生活用语中的“或”是指“或此”与“或彼”,只取其中之一,并不兼存;而集合运算中的“或”是指“或此”与“或彼”与“或此彼”,可兼有.例如,“x∈A,或x∈B”包含三种情况:①x∈A,但x?B;②x∈B,但x?A;③x∈A,且x∈B.而生活中:“小张或小李去办公室把作业本搬来”是指:“小张去”或“小李去”,仅其中一个人去.
二、教材中的“思考与讨论”
1.两个非空集合的交集可能是空集吗?举例说明.
剖析:可能.当A与B都非空但无公共元素时,A∩B=?.一般地,若A∩B=?,则A,B这两个集合可能至少有一个为空集,也可能这两个集合都是非空集合.如,A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10}.
2.如何用集合语言表示平面内的两条直线平行或重合?
剖析:根据交集的定义与平面内两条直线的位置关系的定义,可以用集合语言表示平面内两条直线的平行或重合.若l1∩l2=?,则l1与l2平行;若l1∩l2=l1(l2),则l1与l2重合.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例1】 求下列各对集合的交集:
(1)A={-1,0,1,2,3},B={-2,0,1,3,5};
(2)C={x|x≤6},D={x|4(3)E={x|x是锐角三角形},F={x|x是直角三角形};
(4)P={(x,y)|2x+y=5},Q={(x,y)|x-y=1}.
分析:(1)可用直接观察法;(2)借助数轴分析;(3)通过分析特征性质求解;(4)应通过解方程组得到交集.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:(1)由已知得A∩B={0,1,3};
(2)结合数轴分析,可得C∩D={x|4
(3)由已知得E∩F=?,因为没有任何一个三角形既是锐角三角形,又是直角三角形;
(4)由已知得P∩Q={(x,y)|2x+y=5}∩{(x,y)|x-y=1}
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例2】 求下列各对集合的并集:
(1)A={x|x2-5x+4=0},B={x∈N|0(2)C={x|-4(3)E={菱形},F={正方形}.
分析:(1)先化简两个集合,再通过观察可得;(2)借助数轴观察分析;(3)由特征性质分析求得.
解:(1)由已知得A={x|x2-5x+4=0}={1,4},B={x∈N|0(2)结合数轴分析,
可得C∪D={x|-5≤x<8};
(3)由已知得E∪F={菱形}.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思求两个集合的并集时,若用描述法给出集合,则要明确集合中的元素,直接观察写出并集,也可以借助于数轴写出并集;若用列举法给出集合,则依据并集的含义,可直接观察或借助维恩(Venn)图写出并集.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练2】 求下列各对集合的并集:
(1)A={-1,0,1,2},B={0,2,4,5,6};
(2)C={x|-3(3)E={x|x是矩形},F={x|x是正方形}.
解:(1)由已知得A∪B={-1,0,1,2,4,5,6};
(2)用数轴表示集合C,D,如图所示,
可得C∪D={x|-3(3)由已知得E∪F={x|x是矩形}∪{x|x是正方形}={x|x是矩形}.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例3】 设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a}.已知A∩B={9},求实数a的值以及A∪B.
分析:由A∩B={9}知,9是集合A和B的公共元素且是唯一的公共元素,由此求出实数a的值,确定集合A,B,然后求A∪B,要注意集合中元素的互异性.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:因为A∩B={9},
所以9是集合A与B的唯一的公共元素.
所以9∈A,所以2a-1=9或a2=9.
若2a-1=9,则a=5,此时A={-4,9,25},B={9,0,-4},
于是A∩B={-4,9},与已知矛盾,故a=5不符合题意;
若a2=9,则a=±3.
当a=3时,A={-4,5,9},B={9,-2,-2},集合B中的元素不满足互异性,故a=3不符合题意;
当a=-3时,A={-4,-7,9},B={9,-8,4},A∩B={9},故a=-3符合题意,此时A∪B={-4,-7,9,-8,4}.
综上可知,实数a=-3,A∪B={-4,-7,9,-8,4}.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思已知两个集合的交集或并集,求集合中的参数值时,主要依据交集或并集的定义,由交集或并集中的元素入手,通过分类讨论进行求解.但必须要对得到的参数值进行检验,除了按照集合元素的互异性检验,还要按照已知条件中交集的结果进行检验.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练3】 若集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},试问:是否存在实数a,使得A∩B={-4}?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
解:因为A∩B={-4},所以-4∈B.
因此a-5=-4或1-a=-4.
当a-5=-4时,a=1,在集合A中,2a-1=2×1-1=1,a2=12=1,
不满足集合元素的互异性,故a≠1;
当1-a=-4时,a=5,此时,A={-4,9,25},B={9,0,-4},则有A∩B={-4,9},不满足题意,故a≠5.
综上可知,不存在实数a,使A∩B={-4}.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例4】 设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.
(1)若A∩B=B,求实数a的取值范围;
(2)若A∪B=B,求实数a的值.
分析:(1)因为A∩B=B?B?A,所以集合B可能为?,{0},{-4},{0,-4},分类讨论即可;
(2)A∪B=B?A?B,而B中至多有两个元素,故应有A=B,然后利用集合相等求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:(1)A={x|x2+4x=0}={0,-4}.
因为A∩B=B,所以B?A,
故集合B可能为?,{0},{-4},{0,-4}.
①若B=?,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1;
②若B={0},则0∈B,将0代入方程,得a2=1,即a=±1.经检验a=-1满足条件;
③若B={-4},则-4∈B,将-4代入方程,得a2-8a+7=0,即a=1或a=7.
当a=7时,B={-4,-12},当a=1时,B={0,-4},都不符合题意,舍去;
④若B={0,-4},则0∈B,且-4∈B,此时a=1.
综上①②③④,得a=1或a≤-1.
(2)因为A∪B=B,所以A?B.
又因为A={0,-4},而B中至多有两个元素,
所以应有A=B,即B={0,-4},由(1)得a=1.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思1.在利用集合的交集、并集性质解题时,常常会遇到A∪B=B,A∩B=A等这类条件,解答时常借助A∪B=B?A?B,A∩B=A?A?B进行转化求解;
2.当集合A,B满足A?B时,如果集合B是一个确定的集合,而集合A不确定时,要考虑A=?和A≠?两种情况,切不可漏解;
3.求解与一元二次方程的解集有关的集合问题时,要注意充分利用根的判别式、根与系数的关系等进行分析求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练4】 已知集合A={1},集合B={x|ax2-x+2=0},若A∩B=?,求实数a的取值范围.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
易错点:忽视分类讨论致错
【例5】 设集合A={x∈R|x2+2x+2-p=0},B={x|x>0},且A∩B=?,求实数p满足的条件.
错解:因为A∩B=?,所以A=?,所以关于x的方程没有实数根,即Δ=22-4(2-p)<0,解得p<1.
错因分析:当A∩B=?时,若B≠?,则A=?或A≠?,且A与B没有公共元素,错解忽视了A与B没有公共元素的情况,导致出现错误.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
正解:因为A∩B=?,且B≠?,
所以A=?或A≠?,且A与B没有公共元素.
当A=?时,方程没有实数根,
Δ=22-4(2-p)<0,解得p<1;
当A≠?,且A与B没有公共元素时,
设关于x的方程x2+2x+2-p=0有非正数解x1,x2,
解得1≤p≤2.
综上可知,实数p满足的条件为p<1或1≤p≤2,即p≤2.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思当A∩B=?时,有以下4种情况:①A=?,B=?;②A≠?,B=?;③A=?,B≠?;④A≠?,B≠?,且A与B没有公共元素.如果已知条件出现A∩B=?,那么这4种情况都要考虑到,否则容易出错.
1 2 3 4 5 6
1若集合A={x|-2A.{x|-2C.{x|1解析:结合数轴分析,可得A∩B={x|0
答案:B
1 2 3 4 5 6
2已知集合M={x∈N+|x<8},N={-1,4,5,7},则M∪N等于( )
A.{4,5,7}
B.{1,2,3,4,5,6,7}
C.{1,2,3,4,5,6,7,-1,4,5,7}
D.{-1,1,2,3,4,5,6,7}
解析:由已知得M={1,2,3,4,5,6,7},则集合M与N的所有元素组成的集合是M∪N={-1,1,2,3,4,5,6,7}.
答案:D
1 2 3 4 5 6
3若集合A,B,C满足A∩B=A,B∪C=C,则A与C之间的关系必定是( )
A.A?C B.C?A C.A?C D.C?A
解析:因为A∩B=A,B∪C=C,
所以A?B,B?C,所以A?C.
答案:C
1 2 3 4 5 6
解析:依题意可得A∩B=B?B?A.
因为集合A={x|x2+x-2=0}={-2,1},
所以B={-2}或{1}或?.
当B={1}时,a=1;当B=?时,a=0,故选D.
答案:D
1 2 3 4 5 6
5已知集合A={x|x-a>0},B={x|2-x<0},且A∪B=B,则实数a满足的条件是 .?
解析:由题意,得A={x|x>a},B={x|x>2}.
因为A∪B=B,所以A?B.
结合数轴分析,
则实数a必须在2的右边或与2重合,所以a≥2.
答案:a≥2
1 2 3 4 5 6
6已知集合M={-3,m2,m+1},N={m-3,2m-1,m2+1},若M∩N={-3},求实数m的值.
解:因为M∩N={-3},所以-3∈N.
又因为m2+1≥1≠-3,
所以m-3=-3或2m-1=-3.
当m-3=-3时,m=0,
此时M={-3,0,1},N={-3,-1,1},
则M∩N={-3,1},与已知矛盾;
当2m-1=-3时,m=-1,此时M={-3,1,0},N={-4,-3,2},
则M∩N={-3}.符合题意.
综上可知,m=-1.
(共31张PPT)
第2课时 补集
1.在具体情境中,了解全集的含义.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
3.重视补集思想在解题中的应用.
1
2
1.全集与补集
如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用U表示.
如果给定集合A是全集U的一个子集,由U中不属于A的所有元素构成的集合,叫做A在U中的补集,记作?UA,读作“A在U中的补集”.
1
2
归纳总结1.补集的符号语言为:?UA={x|x∈U,且x?A};
2.补集的维恩(Venn)图表示如图所示;
3.全集具有相对性,即研究某个问题时的全集可能在研究另一个问题时就不是全集.补集是相对于全集而言的,由于全集具有相对性,那么补集也具有相对性,在不同的全集下,一个集合的补集可能不相同.
4.设U是全集,A是U的一个子集,那么对于U中的任何一个元素x,要么x∈A,要么x∈?UA.
1
2
【做一做1-1】 若集合U={1,2,3,4,5},A={2,4,5},则?UA等于( )
A.{2,4,5} B.{1,3}
C.{1,2,3} D.{1,2,3,4,5}
答案:B
1
2
【做一做1-2】 已知全集U=R,若集合M={x|-1≤x≤3},则?UM等于( )
A.{x|-1B.{x|-1≤x≤3}
C.{x|x<-1或x>3}
D.{x|x≤-1或x≥3}
解析:集合M的数轴表示如图所示,
由补集的定义,并结合数轴解题.
因为M={x|-1≤x≤3},
所以?UM={x|x<-1或x>3}.
答案:C
1
2
2.补集的性质
对于任意集合A,有
A∪?UA=U,A∩?UA=?,?U(?UA)=A,?UU=?,?U?=U.
【做一做2-1】 已知全集U={x∈Z|-2 017解析:根据补集的性质?U(?UA)=A,可知?U(?UA)={0}.
答案:{0}
1
2
【做一做2-2】 有下列叙述:
①?UA={x|x?A};
②?U?=U;
③A∪?UA=?;
④若U={1,2,3},A={2,3,4},则?UA={1}.
其中正确的序号是 .?
解析:①应为?UA={x|x∈U,且x?A};
②正确;
③应为A∪?UA=U;
④因为A?U,所以?UA无意义.
答案:②
一、子集A在全集U中的补集的求法
剖析:从全集U中去掉所有属于A的元素,剩下的元素组成的集合即为A在U中的补集.例如,已知U={a,b,c,d,e,f},A={b,f},求?UA.该题中显然A?U,从U中除去子集A的元素b,f,剩下的元素a,c,d,e组成的集合为?UA,即?UA={a,c,d,e}.另外,若所给集合是无限集,在实数范围内求其补集,我们可以充分利用数轴的直观性来求解.例如,已知U=R,A={x|x>3},求?UA.用数轴表示可知?UA={x|x≤3},如图中阴影部分.
在求补集时,还要特别注意看A是否满足A?U,再者需看清楚全集的范围.例如,若U={x|x>0},A={x|x>3},则?UA={x|0二、用维恩(Venn)图来解释?U(A∩B)=?UA∪?UB与?U(A∪B)=?UA∩?UB
剖析:(1)用维恩(Venn)图表示?U(A∩B)=?UA∪?UB:
(2)用维恩(Venn)图表示?U(A∪B)=?UA∩?UB:
归纳总结借助维恩(Venn)图分析集合的运算问题,能使问题简捷地得以解决,能将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来,这正体现了数形结合思想的优越性.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例1】 (1)已知全集U={三角形},集合A={直角三角形},求?UA;
(2)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={2,4,5},B={1,4,5},求?UA,?UA∪?UB;
(3)已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2≤x≤3},B={x|-3≤x≤2},求A∩?UB,?UA∪B,?UA∪?UB.
分析:这是一类涉及集合补集关系的运算,解题的关键是先明确全集,根据补集的定义求出集合的补集,再根据交集、并集的定义进行运算.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)因为U={三角形},A={直角三角形},所以?UA={锐角三角形或钝角三角形}.
(2)因为全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={2,4,5},所以?UA={1,3,6,7,8,9}.
又因为B={1,4,5},所以?UB={2,3,6,7,8,9}.
所以?UA∪?UB={1,2,3,6,7,8,9}.
(3)首先在数轴上表示出全集U和集合A,B(如图所示),
则?UA={x|x<-2或3题型一
题型二
题型三
题型四
反思利用数轴求无限集合在给定集合中的补集时,务必注意端点的“实”与“虚”,原集合中包含该端点时,在数轴上应画成实心点,此时其补集中就不能含有该端点了.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 (1)已知全集U={整数},集合M={偶数},求?UM;
(2)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A满足?UA={0,1,3,5},求A;
(3)已知全集U=R,集合A={x|x≥4},B={x|-2解:(1)依题意可得?UM={奇数};
(2)因为?UA={0,1,3,5},所以A={2,4,6};
(3)由已知得?UB={x|x≤-2或x≥3},
所以A∩?UB={x|x≥4}.
又因为?UA={x|x<4},所以?UA∪B={x|x<4}.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例2】 设全集U={2,3,a2+2a-3},集合A={|a+1|,2},?UA={5},求a的值.
分析:由条件?UA={5},得5∈U,注意验证结果是否满足题意.
解:由?UA={5},知a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2.
当a=-4时,U={2,3,5},A={3,2},满足条件?UA={5};
当a=2时,U={2,3,5},A={3,2},满足条件?UA={5}.
所以a的值为-4或2.
反思通过本题的解决,我们必须认识到找准解决问题的切入点是解题的关键,此题5∈U就是切入点,另外还要注意对A?U及?UA={5}的检验.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 已知集合A={x|x>a},B={x|1解析:因为B={x|1又A∪?RB=R,结合数轴分析,可得a≤1.
答案:a≤1
题型一
题型二
题型三
题型四
【例3】 已知A={x|x2-2x-8=0},B={x|x2+ax+a2-12=0}.若B∪A≠A,求实数a的取值范围.
分析:B∪A≠A说明B不是A的子集,方程x2-2x-8=0的解为-2,4,则方程x2+ax+a2-12=0的实数解组成的集合可能出现以下几种情况:①-2是解,4不是解;②4是解,-2不是解;③-2和4都不是解.分别求解十分烦琐,这时我们先由B∪A=A,求出a的取值范围,再利用补集思想求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:若B∪A=A,则B?A.
因为A={x|x2-2x-8=0}={-2,4},
所以集合B有以下三种情况:
①当B=?时,Δ=a2-4(a2-12)<0,即a2>16,
所以a<-4或a>4.
②当B是单元素集时,Δ=a2-4(a2-12)=0,
所以a=-4或a=4.
若a=-4,则B={2}?A;若a=4,则B={-2}?A.
③当B={-2,4}时,-2,4是方程x2+ax+a2-12=0的两根,
综上可知,当B∪A=A时,a的取值范围为a<-4或a=-2或a≥4.
所以满足B∪A≠A的实数a的取值范围为{a|-4≤a<4,且a≠-2}.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间的关系不明确、难以从正面入手的问题,在解题时,应及时调整思路,从问题的反面入手,探求已知和未知的关系,这样能化难为易,化隐为显,从而解决问题.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 已知集合P={x|2x3-x2+2ax-3a≥0},若-1?P,则实数a的取值范围是 .?
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
所以?UA={x|x≥1}.
由图可知,
当a<1时,?UA?B;
当a≥1时,?UA?B.
所以实数a的取值范围是{a|a<1}.
反思求某一集合的补集,首先应明确这一集合,最好不要急于对集合中的方程、不等式等进行对立面的转化,这样易出现转化不等价的情况,再就是要充分利用维恩(Venn)图或数轴表示集合来解决问题.
题型一
题型二
题型三
题型四
答案:m≤2
1 2 3 4 5 6
1若集合U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},则?U(A∪B)等于( )
A.{2} B.{5}
C.{1,2,3,4} D.{1,3,4,5}
解析:A∪B={1,2,3,4},则?U(A∪B)={5}.
答案:B
1 2 3 4 5 6
2已知集合A={x∈R|-2A.{x|x<6} B.{x|-2C.{x|x>-2} D.{x|2≤x<6}
解析:由B={x∈R|x<2},
得?RB={x|x≥2}.
因为A={x∈R|-2所以A∪?RB={x|x>-2}.
答案:C
1 2 3 4 5 6
3若集合A,B都是全集U的子集,给出下列命题:
①若A∩B=U,则A=B=U;
②若A∪B=?,则A=B=?;
③若A∪B=U,则?UA∩?UB=?;
④若A∩B=?,则A=B=?;
⑤若A∩B=?,则?UA∪?UB=U;
⑥若A∪B=U,则A=B=U.
其中不正确命题的个数是( )
A.0 B.2 C.4 D.6
1 2 3 4 5 6
解析:①如果集合A,B中有一个为U的真子集,那么A∩B≠U,故A=B=U;②若集合A,B中有一个不为空集,则A∪B≠?,故A=B=?;③因为?UA∩?UB=?U(A∪B),而A∪B=U,所以?UA∩?UB=?U(A∪B)=?;④当集合A,B中只要有一个为空集或两个集合中没有共同的元素,就有A∩B=?,故不一定有A=B=?;⑤因为?UA∪?UB=?U(A∩B),而A∩B=?,所以?UA∪?UB=?U(A∩B)=U;⑥A∪B=U时,还有可能是A=?,B=U等情况,不一定有A=B=U.因此,不正确的为④⑥.
答案:B
1 2 3 4 5 6
4若集合M={(x,y)|2x+3y>5a},且(-1,2)?M,则实数a的取值范围是 .?
1 2 3 4 5 6
5设全集为U,用集合A,B的交集、并集、补集符号表示图中的阴影部分.
答案:(1)?U(A∪B) (2)?UA∩B
1 2 3 4 5 6
6已知全集U={2,0,3-a2},U的子集P={2,a2-a-2},?UP={-1},求实数a的值.
分析:根据补集的定义及元素的互异性列出方程组,然后解得a的值.
(共21张PPT)
本章整合
集
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一 集合中元素的互异性
集合元素的互异性是集合元素的重要特性,在解题过程中,常常由于忽视集合元素的互异性而出错,因此要注意检验.
应用已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若A=B,求c的值.
提示:利用集合A=B,列出关于a,b,c的等式,再化简求解即可,注意本题需要分情况进行讨论.
专题一
专题二
专题三
专题四
解:因为A=B,所以需分情况讨论.
①a+b=ac,且a+2b=ac2.
消去b,得a+ac2-2ac=0.
当a=0时,集合B中的三个元素均为零,不符合集合中元素的互异性,故a≠0.
于是c2-2c+1=0,解得c=1.
当c=1时,B中的三个元素都是a,也不符合集合中元素的互异性,故无解.
②a+b=ac2,且a+2b=ac.消去b,得2ac2-ac-a=0.
由①知a≠0,故2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 数轴与维恩(Venn)图在集合运算中的应用
数轴与维恩图的应用是数形结合思想的重要体现,数与形的结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面.两方面相辅相成,互为补充,利用数形结合的思想来解题,能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立关系,从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化,在本章的学习中借助维恩(Venn)图及数轴来分析集合间的内在联系,是学好集合的重要方式,同时也是高考经常考查的一个热点.
专题一
专题二
专题三
专题四
应用1已知集合A={x|-2(1)若A∩B=?,求实数m的取值范围;
(2)若A?B,求实数m的取值范围.
提示:借助数轴列出方程或不等式求解.
解:(1)由数轴(如图所示)知,若A∩B=?,则m≤-2.
(2)由数轴(如图所示)知,若A?B,则m≥4.
专题一
专题二
专题三
专题四
应用2设全集U={x|0提示:借助维恩(Venn)图来分析,最后注意验证是否满足已知条件.
解:根据题意,画出维恩(Venn)图如图所示.
由图可知A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题三 分类讨论在集合运算中的应用
在解决两个数集之间的关系的问题时,避免出错的一个有效手段是合理运用数轴进行分析与求解,另外,在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行讨论,分类时要遵循“不重不漏”的分类原则,然后对于每一类情况都要给出问题的解答.分类讨论的一般步骤:确定标准;恰当分类;逐类讨论;归纳结论.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 集合中补集的思想
在研究一个问题时,若从其正面入手较难,不妨考虑从其反面(即对立面)入手,这种“正难则反”的方法就是补集思想的具体应用,它在解决有关问题时常常收到意想不到的效果,集合中的运算常用这种思想.
应用已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0},B={x|x<0},若A∩B≠?,求实数m的取值范围.
提示:A∩B≠?,说明集合A是由方程x2-4mx+2m+6=0①的实数根组成的非空集合,并且方程①的根有(1)两个负根;(2)一个负根一个零根;(3)一个负根一个正根三种情况,分别求解十分烦琐,这时我们从求解问题的反面考虑,采用补集思想,即先由Δ≥0,求出全集U,然后求方程①的两根均为非负数时m的取值范围,最后再利用“补集”求解.
专题一
专题二
专题三
专题四
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1(课标全国Ⅱ高考)已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=( )
A.? B.{2}
C.{0} D.{-2}
解析:易得B={-1,2},则A∩B={2},故选B.
答案:B
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2(辽宁高考)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=( )
A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|0解析:∵A∪B={x|x≤0或x≥1},
∴?U(A∪B)={x|0答案:D
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3(浙江高考)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则?UA=( )
A.? B.{2}
C.{5} D.{2,5}
答案:B
1 2 3 4 5 6 7 8 9
4(湖北高考)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则?UA=( )
A.{1,3,5,6} B.{2,3,7}
C.{2,4,7} D.{2,5,7}
解析:由补集的定义,集合A在U中的补集是指U中除A外其他元素构成的集合.故选C.
答案:C
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5(四川高考)已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B=( )
A.{-1,0,1,2}
B.{-2,-1,0,1}
C.{0,1}
D.{-1,0}
解析:∵A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},
∴A∩B=A∩Z={x|-1≤x≤2}∩Z={-1,0,1,2}.
答案:A
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6(广东高考)已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=( )
A.{0,1} B.{-1,0,2}
C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1}
解析:由题意知M∪N={-1,0,1,2},故选C.
答案:C
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7(北京高考)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=( )
A.{0} B.{-1,0}
C.{0,1} D.{-1,0,1}
解析:{-1,0,1}∩{x|-1≤x<1}={-1,0}.
答案:B
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8(重庆高考)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(?UA)∩B= .?
解析:由题意,得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
故?UA={4,6,7,9,10},所以(?UA)∩B={7,9}.
答案:{7,9}
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9(江苏高考)集合{-1,0,1}共有 个子集.?
解析:由于集合{-1,0,1}有3个元素,故其子集个数为23=8.
答案:8
