学校：
年级：五年级
班级：
人数：
课题：钉子板上的多边形
学科：数学
教师：
日期：
一、教学目标
1．使学生围绕“钉子板上多边形的面积与它内部及边上钉子数的关系”这一问题开展实验，初步掌握数学实验的基本流程。
2．使学生经历提出猜想—设计实验—实验验证—得出结论的实验过程，进一步丰富实验体验，拓展研究类似问题的能力；初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。
3．使学生在探索过程中进一步感受数学实验的价值，激发实验成功的兴趣，增强学好数学的信心。
二、制定依据
1.教材分析
本内容是五年级上册综合实践这一领域的内容，属于规律探索类课型。教材依次呈现多边形中有一枚钉子、两枚钉子的图形，引导学生通过数一数、算一算、小组合作讨论等方式发现多边形的面积与边上钉子数之间的关系，在此基础上，探索、推导多边形内有3枚、4枚……钉子的情况，最后得出一般结论。
新教材安排这一实践活动的价值不仅仅在于得出一个结论，而是重在让学生经历规律探索的一般过程与方法，积累数学活动经验，培养学生善于发现的眼光，科学严谨的态度，归纳概括的能力。基于这样的价值判断，我让学生经历提出猜想—设计实验—实验验证—得出结论的实验过程，先猜想多边形的面积跟内部的钉子数、边上的钉子数有关，再让学生设计实验研究边上钉子数与多边形面积之间的关系，然后实验验证多边形的面积跟内部的钉子数、边上的钉子数的确有关，最后得出关于钉子板上多边形规律的结论。那么实验验证先研究内部钉子数为1的情况，形成方法结构，研究内部为2枚及以上钉子数时就放手让学生运用积累的方法结构自主探究。
2.学生分析
学生经历过在数认识、数运算等领域的规律探索课的一般过程，知道从简单问题入手进行研究，经历发现规律——验证规律——得出结论这一过程，从而运用结论解决实际问题。
学生已经学过运用公式计算常见平面图形的面积，知道可以用割补的方法将不规则图形转化成若干个规则图形之和或之差求多边形的面积，但这样的问题情境经历得不多，学生之间的差异也比较大。
学生用字母表示数和数量关系只上过一节课，而本节课又涉及到三个变量之间的关系，学生困难在于无法直接将三个变量联系起来。基于学生的认知特点，课堂上安排先研究两个变量之间的关系。另外学生对于面积和钉子数之间倍数关系很容易发现，但到形内两枚钉子时，从表面很难得出两量之间的关系，需及时的引导，与形内只有一枚钉子的情况类比发现。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
提出猜想
设计实验
引出课题
谈话揭题
思考：关于钉子板上的多边
形，我们可以研究哪些内容？
（3）呈现一个钉子板上的多边形
提问：每个方格1平方厘米，这些多边形的面积是多少？
提出猜想
你发现钉子板上多边形的面积跟什么有关？跟哪里的钉子数有关？
3.设计实验
同学们感受到面积大小与钉子数有关 ，可能跟边上钉子数有关，也可能跟内部钉子数有关。怎样设计实验？
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个别交流：
生1：跟钉子数有关
生2：跟图形边上的钉子数有关
生3：跟图形内部的钉子数有关
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在活动中回顾多边形面积计算的方法，在猜想中建立清晰的边上钉子数、内部钉子数等概念，为后续探究、表达做铺垫。
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开展实验
验证猜想?
（一）探究多边形内有一枚钉子的情况
1.个例发现，形成猜想
出示：一组钉子板上的多边形
（1）提问：每个多边形的面积各是多少？边上的钉子数各有多少枚？先数一数、算一算，把结果填入表中，再和同桌说说你的发现。
（2）出示资源：
提问：①校对结果
②你有什么发现？
（3）用字母表示：如果用S表示面积 ，n表示多边形边上的钉子数，你能用字母表达式表示这一发现吗？
?2.举例验证，明确前提
（1）引导：由刚才这四个图形，我们发现多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半，这一发现是否也适用于钉子板上的其他图形呢？我们还要举例验证。
（2）算一算课前在钉子板上画的多边形面积，验证刚才的发现。
（3）并列呈现学生资源，引导观察。
（4）提问：看来刚才的发现并不适合钉子板上的所有图形，到底怎样的图形才具有这样的规律呢？它们有什么共同的特点？仔细观察，把你的发现说给同桌听听。
3.归纳概括，形成结论
（1）总结：看来钉子板上的多边形的面积不仅跟多边形边上的钉子数有关，还跟多边形内部的钉子数有关。如果把多边形里面的钉子数用a来表示，刚才的规律怎么写？
4.回顾反思，形成结构
（1）提问：刚才我们是怎样探索多边形内部有1枚钉子的规律的？
（2）说明：正因为面积和两个量都有关系，所以我们研究时候先确定一个量（内部的钉子数）
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独立计数、完成表格
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??全班交流：
多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半。
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独立尝试：S=n÷2
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利用课前画的多边形验证。
?1.符合规律
2.不符合规律
学生独立观察，小组交流自己的发现。
指名交流：符合条件的多边形中间只有一枚钉子。
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当多边形里面只有1枚钉子时，多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半。
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引导学生完整经历观察
、猜想，验证、结论的全过程，培养学生科学严谨的研究态度和深入探究的精神。
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培养学生细致观察，深入分析的意识，强化研究中的前提意识。
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（二）探究形内有2枚及以上钉子的情况
1.提问：形内只有1枚钉子的情况已经研究了，往下我们应该研究？现在请同学们利用刚才积累的探索规律的方法继续探索内部有2、3、4枚钉子时的规律呢？
2.小组合作：
（1）先确定自己小组研究内部为（ ）枚钉子。
（2）4人小组每人画一个内部有（）枚钉子的多边形。
（3）算一算，数一数，多边形的面积、边上的钉子数，然后填表。
（4）观察数据，再说说你的发现。
3.出示资源：
提问：①校对结果
②你有什么发现？
板书：当a=2时，S= n÷2＋1
当a=3时，S=n÷2＋2
当a=4时，S=n÷2＋3
4. 当a=5时呢？
（三）归纳推理，形成一般公式
1.像这样推想下去，如果a表示多边形内部钉子数，n表示边上的钉子数，s=？
2. a=0、1呢？
（五）适当介绍，拓宽视野
皮克定理 《格点和面积》
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分工合作，推想规律
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个别交流：
s=n÷2＋a－1
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培养学生主动运用规律探索课型的方法进行独立研究，提升自主学习的能力。
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过程中根据学生状态及时进行点拨和引导，使学生的探究和发现能更有向和有效。
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培养孩子在比较中发现的眼光，主动运用归纳推理的思考方式大胆的进行猜想，有助于孩子创新思维能力的提升。
回顾过程
交流体会
回顾刚才探索和发现规律的过程，有什么体会？疑问？
板书设计
钉子板上的多边形
内部钉子数 多边形面积 边上钉子数
当a=0时， S=n÷2－1
当a=1时， S=n÷2 提出猜想
当a=2时， S=n÷2＋1 设计实验
当a=3时， S=n÷2＋2 实验验证
当a=4时， s=n÷2＋3 得出结论
……
s=n÷2＋a－1
反思重建
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课件9张PPT。钉子板上的多边形Page ? 2Page ? 30.5 cm21 cm22.5 cm22019/9/18Page ? 4要求：
（1）数一数或算一算，每个多边形的面积各是多少？
（2）数一数每个多边形边上的钉子数各多少枚？
（3）想一想多边形面积和边上的钉子数有怎样的关系？Page ? 51cm1cm①②③④24363.57481231234564Page ? 61cm1cm①②③④24363.5748Page ? 7小组合作要求：
（1）先确定小组研究内部有（ ）枚钉子。
（2）小组内每人画一个符合要求的多边形，数出多边形边上的钉子数，再算出面积。
（3）每人把数据汇报给组长，由组长完成表格。
（4）观察表格中的数据，讨论：你有什么发现？我们组研究多边形内有（ ）枚钉子
知识链接Page ? 9皮克定理闵嗣鹤 著谢 谢
