北师大版初中数学七年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第2讲 有理数的意义

有理数的意义

【学习目标】
1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；
2．理解正数、负数、有理数的概念；
3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．
【要点梳理】
要点一、正数与负数
像+3、+1.5、/、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、/、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．
要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．
要点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：　　　　 　　
要点诠释：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如/．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
【典型例题】
类型一、正数与负数
/1．（2019?广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（　　）
A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【答案】C
【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，
则﹣80表示支出80元．
故选：C．
【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
举一反三：
【变式1】（2019?太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（　　）
A．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克
【答案】D．
解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．
【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .
　 (2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？
【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示.【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（ ）．　　A．－20m 　　　B．－40m 　　　C．20m 　　　D．40m【答案】B
/2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0
这8名男生有百分之几达到标准？
他们共做了多少引体向上？
【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，
而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：/；
答：这8名男生有62.5%达到标准.
（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）
答：他们共做了引体向上56个.
【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.
类型二、有理数的分类
/3．下面说法中正确的是( )．
A． 非负数一定是正数．
B． 有最小的正整数，有最小的正有理数．
C．/一定是负数．
D ．正整数和正分数统称正有理数．
【答案】D
【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当/为负数或0时，则/为正数或0，而不是负数；(D)对
【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.
举一反三：
【变式1】判断题：
（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ）
（3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）
【答案】√， /，/，/
【变式2】下列四种说法，正确的是( ).　　(A)所有的正数都是整数 　　　　　　(B)不是正数的数一定是负数　　(C)正有理数包括整数和分数　　　　 (D)0不是最小的有理数
【答案】D
/4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.　　　　　　1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265, /， /.　　　　　　正整数集合:{ 　　　　　…}， 负整数集合:{　　　　　 …}，　　　　　　整数集合:{　　　　　 …}， 正分数集合:{　　　　 …}，
负分数集合:{　　　　　　 …}，分数集合:{ 　　　　　…}，
非负数集合：{　　　　　　 …}，非正数集合：{ 　　　　　…}.
【答案】正整数： 1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，/；　　负分数： -3.88，/；
分数：0.0708，3.14159265，/，-3.88，/；
非负数： 1,0.0708， 3.14159265，0，/；
非正数：-700, -3.88, 0, /
【解析】
【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数.
举一反三：
【变式】（2018秋?惠安县期末）在有理数/、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有　　个．
【答案】2.
类型三、探索规律
/5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，/.按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是 粒.
【答案】(/)
【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，/，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：/，/，/，/，/，按此规律，第n组应该有种子数（/）粒.
【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关.
举一反三：
【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，/，根据这个规律，那么第2010个数是：
【答案】-3
【变式2】观察下列有规律的数：/根据其规律可知第9个数是：
【答案】/
【巩固练习】
一、选择题
1. （2018?甘肃模拟）下列语句正确的（　　）个
（1）带“﹣”号的数是负数；
（2）如果a为正数，则﹣a一定是负数；
（3）不存在既不是正数又不是负数的数；
（4）0℃表示没有温度．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 (　 ) 　　A．0是整数　　　 B．0是偶数 　　C．0是正整数　　 D．0既不是正数也不是负数 3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 (　 ) 　　A．前进-18米的意义是后退18米 　　B．收入-4万元的意义是减少4万元 　　C．盈利的相反意义是亏损 　　D．公元-300年的意义是公元后300年 4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 (　 ) 　　A．甲站的东边70千米处　　 B．甲站的西边20千米处 　　C．甲站的东边30千米处　　 D．甲站的西边30千米处
5．在有理数中，下面说法正确的是（ ）
A．身高增长/和体重减轻/是一对具有相反意义的量
B．有最大的数
C．没有最小的数，也没有最大的数
D．以上答案都不对
6.下列各数是正整数的是 （ ）
A．－1 B．2 C．0．5 D．
二、填空题
1．（2018秋?朝阳区期末）如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作　　．2．在数/中，非负数是______________；非正数是 __________.
3．把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示 .
4．既不是正数，也不是负数的有理数是 .
5．（2019春?温州校级期中）如果向东行驶10米，记作+10米，那么向西行驶20米，记作　_________米．
6．是整数而不是正数的有理数是 .
7．既不是整数，也不是正数的有理数是 .
8．一种零件的长度在图纸上是（/）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米.
三、解答题
1．说出下列语句的实际意义.
（1）输出-12t （2）运进-5t （3）浪费-14元 （4）上升-2m (5)向南走-7m
2．（2018秋?晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置．
﹣28%，/，﹣2018，3.14，﹣（+5），﹣0./
/
3．（2018秋?赣州校级期末）随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程，以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”，记录数据如下表：
时间
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
路程（km）
﹣8
﹣11
﹣14
0
﹣16
+41
+8
（1）请你估计小明家的小轿车一月（按30天计）要行驶多少千米？
（2）若每行驶100km需用汽油8L，汽油每升7.14元，试求小明家一年（按12个月计）的汽油费用是多少元？

4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?
(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ，... ，...
(2)-1,/,-/,/,/,/,/, , ,... ,...
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B 　　 　　　
【解析】（1）带“﹣”号的数不一定是负数，如﹣（﹣2），错误；
（2）如果a为正数，则﹣a一定是负数，正确；
（3）0既不是正数也不是负数，故不存在既不是正数又不是负数的数此表述错误；
（4）0℃表示没有温度，错误．
综上，正确的有（2），共一个．
2.【答案】C
【解析】0既不是正数也不是负数，但0是整数，是偶数，是自然数.
3. 【答案】D
【解析】D错误，公元-300年的意义应该是公元前300年.
4. 【答案】 C
【解析】画个图形有利于问题分析，向东50千米然后再向西20千米后显然此时汽车在甲站的东边30千米处.
5.【答案】C
【解析】A错误，因为身高与体重不是具有相反意义的量；B错误，没有最大的数也没有最小数；C对.
6. 【答案】B
二、填空题
1.【答案】﹣5米　　
2.【答案】0.5，100，0，/ /；/，0，-45
【解析】正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，零既不是正数也不是负数.
3.【答案】公元前2008年
【解析】正负数表示具有相反意义的量.
4.【答案】0
【解析】既不是正数也不是负数的数只有零.
5.【答案】-20.
【解析】解：∵向东行驶10米，记作+10米，
∴向西行驶20米，记作﹣20米，
故答案为：﹣20．
6.【答案】负整数和0
【解析】整数包括正整数和负整数，又因为不是正数，所以只能是负整数和0.
7.【答案】负分数
【解析】不是整数，则只能是分数，又不是正数，所以只能是负分数.
8.【答案】10，/，/
【解析】/表示的数的范围为：大于/，而小于/，即大于/而小于/.
三、解答题
1. 【解析】（1）输出-12t表示输入12t ；
（2）运进-5t表示运出5t；
（3）浪费-14元表示节约14元；
（4）上升-2m表示下降2m；
(5)向南走-7m表示向北走7m.
提示：“-”表示相反意义的量.
2．【解析】
/
3.【解析】
解：（1）/=50，
50×30=1500（km）．
答：小明家的小轿车一月要行驶1500千米；
（2）/×8×7.14×12=10281.6（元），
答：小明家一年的汽油费用是10281.6元．
4．【解析】（1）9，-10，…，2011，…
（2）/