北师大版初中数学七年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第5讲 有理数的加减法(基础)

有理数的加减法（基础）
【学习目标】
1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；
2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；
3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一、有理数的加法
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：
(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．
(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．
(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．
3.运算律：
有理数加法运算律
加法交换律
文字语言
两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言
a+b＝b+a
加法结合律
文字语言
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言
(a+b)+c＝a+(b+c)
要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号．
要点二、有理数的减法
1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．
要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
要点三、有理数加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【典型例题】
类型一、有理数的加法运算
1．计算：
(1)(+20)+(+12)； (2)； (3)(+2)+(-11)；
(4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0．
【答案与解析】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条．
(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32；
(2)
(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9
(4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9
(5)(-2.9)+(+2.9)＝0；
(6)(-5)+0＝-5．
【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．
举一反三：
【变式1】计算：
【答案】
【变式2】计算：（1） (+10)+(-11)； （2）
【答案】（1） (+10)+(-11)=﹣(11-10)=﹣1；
（2）
类型二、有理数的减法运算
2． 计算：(1)(-32)-(+5)； (2)(+2)-(-25)．
【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．
【答案与解析】法一：
法二：（1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37；（2）原式=2+25=27
【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
举一反三：
【变式】（2018?泰安）若（　　）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（　　）
　 A． ﹣1 B． 1 C． 5 D． ﹣5
【答案】B．
根据题意得：3+（﹣2）=1，则1﹣（﹣2）=3.
类型三、有理数的加减混合运算
3．（2016春?浦东新区期中）计算：3.8+4﹣（+6）+（﹣8）
【思路点拨】根据有理数的加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法，求解即可．
【答案与解析】
解：原式=（3.8﹣6.8）+（4﹣8）
=﹣3﹣4
=﹣7，
【总结升华】本题考查了有理数的加减混合运算的知识，如果在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
举一反三：
【变式】用简便方法计算：
(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7)
(2) 2
【答案】 (1) 原式=[(-3.8)+ (-4.2)]+[ (-2.4)+ (-0.7) +(+3.1)]+(+0.8)=-8+0.8=-7.2
(2)原式=（2-1-4）+（--+-）=-3+[-++(--)]=-3-1=-4
类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用
4.（2018秋?香洲区期末）邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2km到达A村，继续向南骑行3km到达B村，然后向北骑行9km到C村，最后回到邮局．
（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1cm表示1km，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；
（2）C村离A村有多远？
（3）邮递员一共骑了多少千米？
【思路点拨】（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向用1cm表示1km，按此画出数轴即可；
（2）可直接算出来，也可从数轴上找出这段距离；
（3）邮递员一共骑了多少千米？即数轴上这些点的绝对值之和．
【答案与解析】
解：（1）依题意得，数轴为：
；
（2）依题意得：C点与A点的距离为：2+4=6（千米）；
（3）依题意得邮递员骑了：2+3+9+4=18（千米）．
【总结升华】本题主要考查了学生有实际生活中对数轴的应用能力，只要掌握数轴的基本知识即可．
举一反三：
【变式1】华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行答题游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束后各组的得分如下表：
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
100
150
350
-400
-100
(1)第一名超过第二名多少分?
(2)第一名超过第五名多少分?
【答案】由表看出：第一名350分，第二名150分，第五名-400分．
(1) 350-150＝200(分)
(2) 350-(-400)＝350+400＝750(分)
答：第一名超过第二名200分；第一名超过第五名750分．
【变式2】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：
197，202，197，203，200，196，201，198．
计算出售的粮食总共多少千克?
【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6
200×8+(-6)＝1594(千克)
答：出售的粮食共1594千克．
法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)
答：出售的粮食共1594千克．
【巩固练习】
一、选择题
1．（2016?河南模拟）某市一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（　　）
A．﹣10℃ B．﹣6℃ C．10℃ D．6℃
2.（2018?吉林）若等式0□1=﹣1成立，则□内的运算符号为（　　）
　 A． + B． ﹣ C． × D． ÷
3．两个有理数相加，和小于其中一个加数而大于另一个加数，需满足（ ）
A．两个数都是正数 B．两个数都是负数
C．一个是正数，另一个是负数 D．至少有一个数是零
4．下列说法中正确的是
A．正数加负数，和为0
B．两个正数相加和为正；两个负数相加和为负
C．两个有理数相加，等于它们的绝对值相加
D．两个数的和为负数，则这两个数一定是负数
5．下列说法正确的是( )
A．零减去一个数，仍得这个数
B．负数减去负数，结果是负数
C．正数减去负数，结果是正数
D．被减数一定大于差
6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(25±0.1)kg，(25±0.2)kg，(25±0.3)kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差( )
A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg
7. -3+5的相反数是( )．
A．2 B．-2 C．-8 D．8
二、填空题
8.有理数 c在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”
（1）｜a｜______｜b｜；（2）a＋b＋c______0：
（3）a－b＋c______0；（4）a＋c______b；
（5）c－b______a．
9.（2018?上海）计算：|﹣2|+2=________．
10．某月股票M开盘价20元，上午10点跌1.6元，下午收盘时又涨了0.4元，则股票这天的收盘价是_______．
11．列出一个满足下列条件的算式：(1)所有的加数都是负数，和为-5，________；(2)一个加数是0，和是-5________；(3)至少有一个加数是正整数，和是-5，________．
12. 数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有a☆b＝a-b+1，请你根据新运算，计算(2☆3)☆2的值是 .
13.（2016?汉阳区模拟）计算（﹣3）+（﹣9）的结果为　 　．
三、解答题
14.计算题
（1） （2）
（3） （4）
（5）
（6）
15. 已知：|a|=2,|b|=3，求a+b的值．
16.（2018?永嘉县校级模拟）某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果以每套儿童服装55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2．（单位：元）
（1）当他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损？
（2）盈利（或亏损）了多少钱？
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】C
【解析】解：2﹣（﹣8）
=2+8
=10℃．
故选C．
2．【答案】B
3. 【答案】C
【解析】举例验证．
4．【答案】B
【解析】举反例：如5+(-2)＝＋3≠0，故A错；如：(-2)+(-3)≠|-2|+|-3|，故C错；如(+2)+(－8)＝-6，故D错误．
5．【答案】C
【解析】举反例逐一排除．
6．【答案】B
【解析】因为最低重量为24.7kg，最大重量为25.3kg，故质量最多相差25.3-24.7＝0.6kg．
7．【答案】B
二、填空题
8. 【答案】＜，＜，＞，＞，＞
【解析】由图可知：，且，再根据有理数的加法法则可得答案.
9.【答案】4.
10．【答案】18.8元
【解析】跌1.6元记为-1.6元，涨0.4元记为+0.4元，故有收盘价为20+(-1.6)+0.4-18.8．
11．【答案】(1)(-2)+(-3)＝-5 (2)(-5)+0＝-5 (3)2+(-7)＝-5
【解析】答案不唯一．
12. 【答案】－1
【解析】(2☆3)☆2＝(2☆3)-2+1＝2-3+1-2+1＝-1
13. 【答案】-12．
【解析】同号两数相加的法则是取相同的符号，并把绝对值相加. 原式=﹣（3+9）=﹣12.
三、解答题
14. 【解析】（1）原式；
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
（6）原式=
15. 【解析】由题意知：a=±2, b=±3，所以要分四种情况代入求值.
∵|a|=2, ∴ a=±2, ∵|b|=3, ∴b=±3.
当a=+2, b=+3时, a+b=(+2)+(+3)=+5;
当a=+2, b=-3时, a+b=(+2)+(-3)=-1;
当a=-2,b=+3时, a+b=(-2)+(+3)=+1;
当a=-2, b=-3时, a+b=(-2)+(-3)=-5.
16. 【解析】
解：根据题意得
（1）2﹣3+2+1﹣2﹣1+0﹣2=﹣3，
55×8+（﹣3）=437元，
∵437＞400，
∴卖完后是盈利；
（2）437﹣400=37元，
故盈利37元．