高中数学必修五 3.2一元二次不等式及3.4基本不等式 教案

数列小结与复习（课时一）
一教学目标：
1、知识与技能：⑴进一步理解数列基础知识和方法，能清晰地构思解决问题的方案；⑵进一步学习有条理地、清晰地表达数学问题，提高逻辑思维能力；⑶加强对等差数列与等比数列的性质的理解，提高“知三求二”的熟练程度；⑷在理解的基础上进一步熟练地构建数列模型解决实际问题。
2、过程与方法：⑴通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析的能力；⑵通过独立思考、合作交流、自主探究的过程，发展应用数列基础知识的能力；⑶在解决具体问题的过程中更进一步地感受数列问题中蕴含的思想方法。
3、情感态度与价值观：⑴通过具体实例，感受和体会数列在解决具体问题中的意义和作用，认识数列知识的重要性；⑵感受并认识数列知识的重要作用，形成自觉地将数学知识与实际问题相结合的?思想；⑶在解决实际问题过程中形成和发展正确的价值观
二、教学重难点
重点 1.系统化本章的知识结构；2.提高对几种常见类型的认识；3.优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力。
难点 解题思路和解题方法的优化。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、归纳总结数列知识点
数列是高中代数的重要内容之一，也是高考考查的重点.它的主要内容主要有两个方面：第一方面是数列的基本概念，如等差数列的定义、等比数列的定义、通项公式、等差中项、等比中项、数列的性质以及数列的前n项和公式等；第二方面是数列的运算和实际应用，即运用通项公式、前n项和公式以及数列的性质求一些基本量，运用数列的基础知识探究与解决实际问题.
应用本章知识要解决的主要问题有：(1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,an,d(q),n,Sn“知三求二”的问题；(3)数列知识在实际方面的应用.
在解决上述问题时，一是要用函数观点来分析解决有关数列问题；二是要运用方程的思想来解决“知三求二”的计算问题；三是能自觉地运用等差、等比数列的特征来化简计算；四是树立应用意识，能用数列有关知识解决生产生活中的一些问题.
知识框架：
(请同学们自己将框中的公式补充完整)
师 等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式都不止一种形式，请同学们在总结的时候不要忘记它们中的任何一种形式.
［回顾与思考］
1.知识的发生发展过程：
师 你能从函数的观点认识数列吗？你能体会学习数列与学习实数之间的异同吗？等差数列与等比数列的通项公式反映了什么函数关系？它们的图象各有什么特点呢？
师 请看下面的结构框图：
师 请同学们理解并解释框图的结构及其含义.
2.通项公式与前n项和公式的推导中的思想方法：
师 你能清楚地说出等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的一种推导方法吗？每一个公式的推导能说出几种方法吗？
生 回忆学习过程中自己已经掌握的方法，并积极发言.
师 在它们的前n项和公式的推导中，请大家特别注意其中的两种推导方法：
等差数列的前n项和公式推导中的“倒序相加法”与“叠加法”；等比数列的前n项和公式推导中的“错位相减法”与“叠乘法”；另外，还应该知道，对于任何数列{an}，Sn与an有以下关系：an=S1,n=1,an=Sn-Sn-1,n＞1.
师 你知道这个公式在解决问题中有哪些作用吗？
师 你明确应用本章知识要解决哪些问题吗？
生 应用本章知识要解决的主要问题有：(1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,an,d(q),n,Sn“知三求二”的问题；(3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用.
师 肯定学生的回答，必要时给予补充.
师
（二）、例题讲解
【例1】 设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若{Sn}是等差数列，求q?的值.
［合作探究］
【例2】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
【例3】 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0，
（1）求公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，…S12中哪一个值最大，并说明理由.
（三）、课堂小结：本节学习了如下内容：1.第二章“数列”一章知识和方法的概括性回顾与思考.2.运用中典型例题的探究。
（四）、布置作业1.课本复习参考题一 A组13、14 B组5
（五）板书设计：
1、总结数列知识点
2、画出结构框架图
例题1
例题2
例题3
练习

作业布置
数列小结与复习（课时二）
一、教学目标：
1、知识与技能：⑴熟练地运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题；⑵提高运算速度和运算能力。
2、过程与方法：⑴精选例题，通过对例题的分析与探究，优化解题步骤；⑵在优化解题步骤的过程中提高运算速度与运算能力。
3、情感态度与价值观：⑴在理解题意、探索思路的过程中学会思考，培养敢于思考、善于思考的思维品质；⑵在解决问题的过程中，学会快速地运算、严密地推理、精确地表达，增强速度意识、效率意识。
二、教学重点 熟练运用知识，探索解题思路，优化解题步骤.
教学难点 解题思路和解题方法的优化.
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、总结知识点：
师 这节课我们要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式，解决一些等差、等比数列的综合问题.首先我们再来明确一下有哪些问题.
生 (1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,an,d(q),n,Sn“知三求二”的问题；(3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用.
师 是的，这是我们前一节课中已经归纳出来的应用本章知识要解决的问题.我们前一节课上已经探讨了几个典型例题，本节课我们进一步探讨.
（二）、典例：
【例1】 已知公差不为零的等差数列｛a n｝和等比数列｛b n｝中，a 1=b 1=1，a2=b2，a 8=b3，试问：是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有a n=logab n＋b成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
【例2】 某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值.
［合作探究］
师 对应用问题，同学们要认真分析，把实际问题转化成数学问题，用学过的数学知识求解.请学生读题，并逐句分析已知条件.
【例3】 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{a kn}是公比为q的等比数列，且k 1=1，k 2=5，k3=17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋kn的值.
［合作探究］
师 题目中数列{ak n}与{an}有什么关系？
生 数列{a k n}的项是从数列{an}中抽出的部分项.
师 由已知条件k1=1，k2=5，k3=17可以知道等差数列{an}中的哪些项成等比数列？
【例4】 已知数列{b n}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b 10＝145.
(1)求数列{bn}的通项bn；?(2)设数列{a n}的通项an＝loga(1＋)(其中a＞0且a≠1)，记S n是数列{a n}的前n项和，试比较S n与的大小，并证明你的结论.
［合作探究］
师 数列{bn}的通项容易求得，但是它是攀上这个题目的顶端的第一个台阶，必须走好这一步.
请同学们快速准确地求出bn.
（三）、课堂小结：等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a1，d(q)，充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，这样，任何问题都不能把我们难倒.
（四）、布置作业：复习参考题一 A组15、16 B组7 C组1、2.
（五）、板书设计：
1、总结数列题型
2、列出典型列题
例题1
例题2
例题3
例题4
练习

作业布置
《解三角形》本章小结与复习
一、教学目标：
1、熟练掌握三角形中的边角关系：掌握边与角的转化方法；掌握三角形的形状判断方法。2、通过本节学习，要求对全章有一个清晰的认识，熟练掌握利用正、余弦定理理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向杰斜三角形类型问题的转换，逐步提高数学知识的应用能力。
3、注重思维引导及方法提炼，展现学生的主题作用，关注情感的积极体验，加强题后反思环节，提升习题效率，激发学生钻研数学的热情、兴趣和信心。
二、教学重难点：
重点：掌握正、余弦定理及其推导过程并且能用它们解斜三角形。
难点：正弦定理、余弦定理的灵活应用，及将实际问题转化为数学问题并能正确地解出这个数学问题。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（二）、知识归纳
1.解三角形常见类型及解法
(1)已知一边和两角,利用正弦定理求其它边和角;(2)已知两边和夹角,利用余弦定理求其它边和角;(3)已知三边,利用余弦定理求其它的角;
(4)已知两边和其中一边的对角,利用正弦定理求其它边和角,注意有两解和一解的情形.
2.三角形解的个数的确定： 已知两边和其中一边的对角不能确定唯一的三角形,解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形理解.
3.三角形形状的判定方法： 判定三角形形状通常有两种途径:一是通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;二是利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.
4.解三角形应用题的基本思路： 解三角形应用题的关键使将实际问题转化为解三角形问题来解决,其基本解题思路是:首先分析此题属于哪种类型的问题,然后依题意画出示意图,把已知量和未知量标在示意图中,最后确定用哪个定理转化,哪个定理求解,并进行作答.
（三）例题探析
例1、在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．
例2、在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域； （2）求的最大值．
例3、在中，角的对边分别为．
（1）求； （2）若，且，求．
例4、已知的周长为，且．
（I）求边的长；（II）若的面积为，求角的度数．
评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
（四）、小结：通过本节学习，要求对全章有一个清晰的认识，熟练掌握利用正、余弦定理理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转换，逐步提高数学知识的应用能力。
（五）、作业布置：课本复习题二A组5、6、7 B组1 C组2
（六）板书设计：
1、画出三角形章节的知识结构图
2、进行知识归纳
例题1
例题2
例题3
例题4
练习

作业布置
§3.2一元二次不等式及其解法
一、教学目标：
1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
二、教学重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）.课题导入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：
教材P84互联网的收费问题
教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：…………………………(1)
（二）.探析新课
1）一元二次不等式的定义：象这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
2）探究一元二次不等式的解集。怎样求不等式（1）的解集呢？
探究：
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系
容易知道：二次方程的有两个实数根：
二次函数有两个零点：
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集
画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：
当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即；
当0所以，不等式的解集是，从而解决了本节开始时提出的问题。
3）探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：
?一般地，怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢？
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：(1)抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况；(2)抛物线的开口方向，也就是a的符号
总结讨论结果：
（l）抛物线?（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 =0的判别式三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论（2）a<0可以转化为a>0；分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式>0与<0的解集
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)



二次函数
（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根

R



[范例讲解]
例2 (课本第87页)求不等式的解集.
解：因为.所以，原不等式的解集是
例3 (课本第88页)解不等式.
解：整理，得.因为无实数解，
所以不等式的解集是.从而，原不等式的解集是.
（三）.随堂练习：课本第89的练习1（1）、（3）、（5）、（7）
（四）.课时小结：解一元二次不等式的步骤：① 将二次项系数化为“+”：A=>0(或<0)(a>0)② 计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ.>0时，求根<，
ⅱ.=0时，求根＝＝，
ⅲ.<0时，方程无解， ③ 写出解集.
(五).评价设计：课本第89页习题3.2[A]组第1题
（六）板书设计：
1、画出知识结构图
2、进行知识归纳
例题1
例题2
例题3
例题4
练习

作业布置
§3.2一元二次不等式的应用
一、教学目标
1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；
2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想
二、教学重点：熟练掌握一元二次不等式的解法
教学难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）.课题导入：1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；2．一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格
（二）.探析新课
[范例讲解]
例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）
解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h，根据题意，我们得到
移项整理得：
显然 ，方程有两个实数根，即
。所以不等式的解集为
在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.
例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到
移项整理，得
因为，所以方程有两个实数根
由二次函数的图象，得不等式的解为：50因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。
（三）．随堂练习1：课本第89页练习2
[补充例题]
应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系）
例：设不等式的解集为，求?
应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）
例：设，且，求的取值范围.
改：设对于一切都成立，求的范围.
改：若方程有两个实根，且，，求的范围.
（四）.课时小结：进一步熟练掌握一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系。
（五）.作业布置：课本第89页的习题3.2[A]组第3、5题
（六）. 板书设计：
1、课题导入
2、范例讲解
3、补充列题
例题1
例题2
例题3
例题4
练习

作业布置
第五课时§3.2 一元二次不等式的应用
一、教学目标：（1）掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法；（2）从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题；（3）从二次函数或是一元二次方程的角度，来解决一元二次不等式的综合题．
二、教学重点，难点
从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题，掌握一元二次不等式恒成立的解题思路．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）．问题情境
复习:一元二次不等式与相应的函数、相应的方程之间有什么关系？（由学生上黑板画出相应表格）
（二）．数学运用
1．例题：
例1.已知关于的不等式的解集是，求实数之值．
解：不等式的解集是
是的两个实数根，
由韦达定理知：．
例2．已知不等式的解集为求不等式的解集．
解：由题意 ， 即．
代入不等式得： ．
即，所求不等式的解集为．
例3．已知一元二次不等式的解集为，求的取值范围．
解：为二次函数，
二次函数的值恒大于零，即的解集为．
， 即，解得：
的取值范围为（适合）．
拓展：1．已知二次函数的值恒大于零，求的取值范围．
2．已知一元二次不等式的解集为,求的取值范围．
3．若不等式的解集为,求的取值范围．
归纳：一元二次不等式恒成立情况小结：
（）恒成立．
（）恒成立．
例4．若函数中自变量的取值范围是一切实数，求的取值范围．
解：中自变量的取值范围是，恒成立．

故的取值范围是．
拓展：若将函数改为，如何求的取值范围？
例5．若不等式对满足的所有都成立，求实数的取值范围．
解：已知不等式可化为．
设，这是一个关于的一次函数（或常数函数），从图象上看，要使在时恒成立，其等价条件是：
　即　解得．
所以，实数的取值范围是．
2．练习：
关于的不等式对一切实数恒不成立，求的取值范围．
（三）．回顾小结：
1．从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题；
2．一元二次不等式恒成立的问题．
（四）．课外作业：课本第73页 第5、6题； 第96页 复习题 第4、11题．
补充练习：
1．设是关于的方程的两个实根，求的最小值；
2．不等式的解集为，求不等式的解集；
3．已知不等式对一切实数都成立，求的取值范围．
（五）．板书设计：
1、问题情境
2、范例讲解
3、练习
例题1
例题2
例题3
例题4
例题5
练习

作业布置
§3.4基本不等式
一、教学目标：
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
二、教学重难点
重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；难点：基本不等式等号成立条件
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、课题导入：基本不等式的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
（二）、探析新课
1．探究图形中的不等关系：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。
2．得到结论：一般的，如果
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为
当
所以，，即
4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得，
通常我们把上式写作：
2）从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明：
要证 (1)
只要证 a+b (2)
要证（2），只要证 a+b- 0 （3）
要证（3），只要证 （ - ） （4）
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。
3）理解基本不等式的几何意义
探究：课本第110页的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
[补充例题]例1 已知x、y都是正数，求证：(1)≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x，y都是正数 ∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0
(1)＝2即≥2.
(2)x＋y≥2＞0 x2＋y2≥2＞0 x3＋y3≥2＞0
∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3
即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
（三）、随堂练习
1.已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
分析：对于此类题目，选择定理：（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.
解：∵a，b，c都是正数
∴a＋b≥2＞0 b＋c≥2＞0 c＋a≥2＞0
∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc
即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.
（四）、课时小结：本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤，ab≤（）2.
（五）、作业布置：课本P94习题 1，2，3
（六）、板书设计：
1、基本不等式的几何背景
2、知识点讲解
3、练习
例题1
例题2
练习

作业布置