人教A版高中数学必修二教案 4.1 圆的标准方程

《圆的方程》教学设计

【教材分析】
本节是这一章的基础和重点，圆的标准方程的推导和求解，为判断“直线和圆的位置关系”以及“圆和圆的位置关系”作了铺垫和引导，几何条件和代数条件的转换也是平面几何的能力之一。
【教学目标】
1.知识与技能：
（1）使学生掌握圆的标准方程，能够根据圆心的坐标、圆的半径熟练地写出圆的标准方程，能够从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；
（2）能够根据构成圆的几何条件判断出点和圆的位置关系，并能转化成代数条件。
（3）能够根据圆的性质，求解圆的标准方程。
2.过程与方法：
（1）使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。
（2）体会数形结合思想，能够熟练的实现几何条件和代数条件的相互转化，养成代数方法处理几何问题能力，。
（3）培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
3.情感、态度与价值观：
通过求解圆的标准方程，培养学生自主解决问题的能力，激发学生自主探究问题的兴趣，培养学生积极向上的良好学习品质。
【教学重点】
圆的标准方程的理解和掌握。
【教学难点】
圆的标准方程的应用。
【教学方法】
利用探究式、启发式教学。
【教学手段】
借助于多媒体，通过《几何画板》的演示让学生直观形象地观察理解、解决问题，并能够归纳出结论。
【教学过程】
一．复习引入
1.提出问题:在平面直角坐标系中，确定直线的几何条件有哪两种？
设计意图:复习旧知，引入新课程。
问题答案:第一种：已知一个点和倾斜角（斜率）；
第二种：已知两个点。
师生活动:教师提问，学生回答问题。
2.问题思考:在平面直角坐标系中，确定圆的几何条件是什么？
设计意图:通过问题思考，从几何方面探究确定圆的条件。在《几何画板》中，通过动态演示和数据的变化，使学生体会到确定圆的两个条件。
问题答案:圆心的位置和圆半径的大小。
操作过程:1.在《几何画板》中，选中点A并进行移动，整个圆的位置发生了变化。
2.选中点B并拖动点B，圆的大小发生了变化。
师生活动:教师在《几何画板》中进行演示的时候，要提醒学生观察点A的坐标的变化和线段AB的长度的变化；
学生观察图象的变化及数据的变化，回答问题。
二．新知探究
1.在直角坐标系中,推导出圆的标准方程。
设计意图:实现几何条件向代数条件的转化，推导出圆的标准方程。
师生活动：教师引导学生观察图象，找出圆上任意一点M满足的几何条件，并转化成代数条件，在黑板上板书；
学生观察图象，回答问题。
2.圆的标准方程有哪些特点？
设计意图:使学生从代数的角度认识圆的标准方程是关于x,y的二元二次方程；确定了圆心的坐标和半径就能写出圆的标准方程。
问题答案:（1）关于 x，y 的二元二次方程（不含xy项）；
（2）方程明确给出了圆心的坐标和半径的大小；即给出了三个a、b、r三个量。
师生活动:教师采用启发式教学，引导学生回答问题。
三．问题探究
如何判断点和圆的位置关系？
设计意图：从几何和代数两个角度思考问题，完成几何条件和代数条件的相互转化，提高学生数形结合思想的应用。
师生活动：教师给出表格，学生分别从几何和代数两方面给出答案。
四．例题讲解
1.给出例题1:写出圆心A(2,-3),半径为5的圆的方程,并判断点M(5，-7),N(3,0)是否在这个圆上。
设计意图:考察学生对圆的标准方程的掌握，以及点和圆位置关系的判断。
问题答案:圆的方程： ；
点M在圆上，点N不在圆上。
师生活动：学生回答问题；
教师加以总结，指出根据圆心的坐标和圆的半径写出圆的方程，是求圆的方程的一种方法：“直接法”。
配套练习1:圆心在(-3,4),半径为 2的圆的方程。
配套练习2:圆心在(-1,2),过(0,1)的圆的方程。
设计意图:加强学生利用“直接法”求圆的方程的训练。
师生活动:学生口答；
教师判断正误。
2.给出例题2:已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心C在直线L:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程。
设计意图:从不同的角度,思考问题,一题多解,培养学生思考问题、探究问题的能力。
师生活动:教师分析问题，学生给出自己的思考方式。
一般情况下，大多数学生给出的是方法一：“待定系数法”，可让学生到黑板上写出解答过程。
再问学生是否有另外的解答方法，若有：给出自己的解答方法，师生共同探究本题的解法，这种方法为：“数形结合法”；若没有，教师给于适当的启发和引导，分析解决问题。借助于《几何画板》进行演示。
配套练习:三角形ABC的三个顶点坐标分别是A(5,1),B(7,-3),
C(2,-8),求它的外接圆的方程。
设计意图:加强求圆的标准方程的两种方法：待定系数法和数形结合法的训练。
师生活动：学生练习；教师在《几何画板》中进行演示。
五．课堂小结
1.确定圆的几何条件:圆心的位置和圆半径的大小；
2.圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程是：
3.判断点和圆的位置关系的几何条件和代数条件；
4.求圆的标准方程的方法:1)直接法；2)待定系数法；3)数形结合法。
设计意图:提炼本节课的主要内容，利于学生对本节所学知识的掌握和提高，起到纲领性的作用。
六．课后作业
1.圆心是(1,2),半径长是3的圆的方程为（ ）.
2.若圆的标准方程为 ,则此圆的圆心坐标和半径分别为( ) .
3.已知圆 ,则点M(1,1)在______(填“圆上”“圆内”“圆外”).
4.求圆心为C(1,1)且与直线L:3x+4y-2=0相切的圆的方程。
5.求以A(-2,0),B(6,8)为一条直径的两个端点的圆的方程。
6.已知圆C的圆心在X轴上,并且经过点A(-1,1)和B(1,3),求圆C的标准方程。
设计意图：让学生通过课后练习,巩固提高本节课堂所学习的内容；
七．教学反思
圆的标准方程推导过程中将几何问题转化成代数问题的思想是解析几何的重要思想方法，要注重加强培养学生的转化思想意识和用代数的方法解决几何问题的能力；求圆的标准方程时，要注重加强学生“数形结合法”的应用能力。