人教版高中数学必修二教案 3.1.2 两直线平行与垂直的判定3
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学必修二教案 3.1.2 两直线平行与垂直的判定3 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 76.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-18 17:57:16 | ||
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文档简介
第二章点、直线、平面之间的位置关系
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情态与价值
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教学重点、难点
直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知
1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。
L
p
α
图2-3-1
2、老师提出问题，让学生思考：
（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？
A
B D C
图2.3-2
（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
（三）实际应用,巩固深化
（1）例1已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC
思维导引：①要想证明线面垂直应该有两条线线垂直，现在
有没有一条？
②看来只要证明就行了，怎么证明线线垂直？是不
是又需要线面垂直？
③平面吗？是不是又需要两条线线垂直？有没有？
看来找线线垂直是关键。
规范解答：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC
而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC
又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE
∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，
∴AE⊥平面PBC
变式训练：如图，在三棱锥中，已知平面，
是直角三角形，是斜边，求证：
规范解答：因为平面，平面，
所以，又因为是直角三角形，是斜边，
所以，又因为平面且，
所以平面，又因为平面，
所以
（2）例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
思维导引： ① 探讨直线A1B是不是平面A1B1CD的斜线？它是斜线的话，谁是垂线？
②找到垂线就能找到线面角，因此找垂线是关键，若已经找到垂线的话，它可能有什么性质？是不是会垂直于和？
③和平面是什么关系？是不是平面内的直线都和垂直？这样我们只需在平面内找一条直线和垂直即可，会是谁？
④找到垂线之后，哪个角就是线面角？如何求？是什么三角形？
规范解答：连接BC1交B1C于点O，连接A1O.
设正方体的棱长为a，
因为A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以A1B1⊥平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，所以BC1⊥平面A1B1CD.
所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中,A1B=,BO=,所以BO=,∠BA1O=30°.
因此,直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.
变式训练：如图，在直角三角形中，，，，且，，求与平面所成角的正弦值.（注意一作二证三计算）
规范解答：因为，，，所以，所以
又因为，平面，且，所以平面，
所以即为与平面所成的角，
又因为，所以，
所以
（四）归纳小结，课后思考
小结：采用师生对话形式，完成下列问题：
①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的判定
定理，体现的教学思想方法是什么？
课后作业:
①课本练习2
②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。
思考题：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这个平面垂直，这个结论对吗？为什么？
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情态与价值
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教学重点、难点
直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知
1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。
L
p
α
图2-3-1
2、老师提出问题，让学生思考：
（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？
A
B D C
图2.3-2
（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
（三）实际应用,巩固深化
（1）例1已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC
思维导引：①要想证明线面垂直应该有两条线线垂直，现在
有没有一条？
②看来只要证明就行了，怎么证明线线垂直？是不
是又需要线面垂直？
③平面吗？是不是又需要两条线线垂直？有没有？
看来找线线垂直是关键。
规范解答：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC
而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC
又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE
∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，
∴AE⊥平面PBC
变式训练：如图，在三棱锥中，已知平面，
是直角三角形，是斜边，求证：
规范解答：因为平面，平面，
所以，又因为是直角三角形，是斜边，
所以，又因为平面且，
所以平面，又因为平面，
所以
（2）例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
思维导引： ① 探讨直线A1B是不是平面A1B1CD的斜线？它是斜线的话，谁是垂线？
②找到垂线就能找到线面角，因此找垂线是关键，若已经找到垂线的话，它可能有什么性质？是不是会垂直于和？
③和平面是什么关系？是不是平面内的直线都和垂直？这样我们只需在平面内找一条直线和垂直即可，会是谁？
④找到垂线之后，哪个角就是线面角？如何求？是什么三角形？
规范解答：连接BC1交B1C于点O，连接A1O.
设正方体的棱长为a，
因为A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以A1B1⊥平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，所以BC1⊥平面A1B1CD.
所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中,A1B=,BO=,所以BO=,∠BA1O=30°.
因此,直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.
变式训练：如图，在直角三角形中，，，，且，，求与平面所成角的正弦值.（注意一作二证三计算）
规范解答：因为，，，所以，所以
又因为，平面，且，所以平面，
所以即为与平面所成的角，
又因为，所以，
所以
（四）归纳小结，课后思考
小结：采用师生对话形式，完成下列问题：
①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的判定
定理，体现的教学思想方法是什么？
课后作业:
①课本练习2
②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。
思考题：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这个平面垂直，这个结论对吗？为什么？