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第二章 函数
2.1 函数
2.1.1 函数
1.会用集合与对应语言来刻画函数,了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域.
2.掌握用换元法和代入法求函数解析式这一常用方法,并能正确地使用区间表示数集.
3.了解映射的概念,能判定一些简单的对应是不是映射,并用映射概念加深对函数概念的理解.
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1.函数的概念
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(1)在近代定义中,x叫做自变量,自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.
如果自变量取值a,则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值,记作y=f(a)或y|x=a.
所有函数值构成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做这个函数的值域.
(2)确定一个函数只需两个要素:定义域和对应法则.
要检验给定两个变量之间是否具有函数关系,只要检验:
①定义域和对应法则是否给出;
②根据给出的对应法则,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都能确定唯一的函数值y.
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【做一做1-1】 下列四组函数中,f(x),g(x)表示同一函数的是( )
解析:若两个函数表示同一函数,则需其定义域、对应法则都相同,缺一不可.
选项A中对应法则不同,选项B中定义域不同,选项C中定义域不同,仅有选项D表示同一函数.
答案:D
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即x≥1,且x≠2,
故函数定义域为{x|x≥1,且x≠2}.
答案:{x|x≥1,且x≠2}
【做一做1-3】 函数f(x)=2|x|+1的值域为 .?
解析:因为当x∈R时,|x|≥0,所以2|x|+1≥1.故此函数的值域为{y|y≥1}.
答案:{y|y≥1}
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2.区间
(1)在数轴上,区间可以用一条以a,b为端点的线来表示(如下表).用实心点表示端点属于这个区间,用空心点表示端点不属于这个区间.
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(2)无穷区间的概念:-∞或+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间.
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名师点拨1.区间是数轴上某一线段或射线或直线上的所有点所对应的实数的取值集合.这是一种符号语言,即用端点对应的实数、+∞、-∞、方括号、圆括号等数或符号来表示数集;
2.区间符号内的两个字母(或数)之间要用“,”隔开;
3.“∞”是一个符号,不是一个数,它表示数的变化趋势;
4.区间中必须是前面的数小,后面的数大.例如,(3,2)就不是区间,(2,2)也不是区间,并不是所有数集都能用区间表示,如自然数集N,整数集Z等;
5.在平面直角坐标系中,(2,3)可表示点,也可表示区间,应用时注意区分,不能混淆;
6.如果一个实数集合不能用一个区间完全表示,那么可以用两个或两个以上的区间的并(∪)来表示.
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【做一做2】 用区间表示下列数集:
(1){x|x≤-2};
(2){x|3
(3){x|x=4或6≤x<9};
(4){x|-3≤x≤3,且x≠0}.
解:(1)(-∞,-2];(2)(3,8);(3){4}∪[6,9);(4)[-3,0)∪(0,3].
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3.映射的概念
设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,则称f是集合A到集合B的映射.
这时,称y是x在映射f的作用下的象,记作f(x).于是y=f(x),x称作y的原象.映射f也可记为f:A→B,x→f(x).
其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广),由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域,通常记作f(A).
如果映射f是集合A到集合B的映射,并且对于集合B中的任意一个元素,在集合A中都有且只有一个原象,这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系,并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.
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知识拓展理解映射的概念必须注意如下几点:
(1)方向性,“集合A到集合B的映射”与“集合B到集合A的映射”不是同一个映射;
(2)非空性,集合A,B必须是非空集合;
(3)唯一性,对于集合A中的任何一个元素,集合B中都有唯一确定的元素与之对应,这是映射的唯一性;
(4)存在性,对集合A中任何一个元素,集合B中都有元素和它对应,这是映射的存在性,也可以说A中任一元素的象必在集合 B中;
(5)映射可以看成函数概念的推广,而函数是一种特殊的映射,在对应方面只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应,而不允许存在“一对多”的对应.
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【做一做3-1】 有下列各图中表示的对应:
其中能构成映射的个数为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
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解析:所谓映射,是指“多对一”或“一对一”的对应,且A中每一个元素都必须参与对应.
只有图(3)所表示的对应符合映射的定义,即A中的每一个元素在对应法则下,B中都有唯一的元素与之对应.
图(1)不是映射,因A中的元素c没有参与对应,即违背A中的任一元素都必须参与对应的原则.
图(2)、图(4)不是映射,这两个图中都存在“一对多”的对应,不满足集合A中的任一元素在集合B中有且仅有唯一元素与之对应的原则.
综上可知,能构成映射的个数为1.
答案:D
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【做一做3-2】 已知(x,y)在映射f下的象是(x+y,x-y),则(4,6)在f下的原象是( )
A.(5,-1) B.(-1,5)
C.(10,-2) D.(-2,10)
解析:由题意,根据对应关系,
答案:A
一、函数符号“y=f(x),x∈A”中的“f”及f(x)与f(a)的区别与联系
剖析:(1)符号“y=f(x)”中的“f”表示对应法则,在不同的具体函数中,“f”的含义不一样,可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”.例如,y=f(x)=x2,可以将其看作输入x,输出x2,于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用,则显然应该有f(a)=a2,f(m+1)=(m+1)2,f(x+1)=(x+1)2.
(2)符号y=f(x)是“y是x的函数”的符号表示,应理解为x是自变量,它是法则所施加的对象;f是对应法则,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述;y是自变量x的函数,当x允许取某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时,除用符号f(x)外,还常用g(x),F(x),G(x)等来表示函数.
(3)f(x)与f(a)的区别与联系:f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值.例如,一次函数f(x)=3x+4,当x=8时,f(8)=3×8+4=28是一个常数.
二、同一函数的判定
剖析:一般地,判断几个函数是否相同,离不开函数的三要素,但值域由定义域和对应法则所确定,因此在实际的解题过程中,往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可.
两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时,才是同一函数,注意以下四点:
(1)定义域不同,两个函数也就不同.例如,y=x2(x∈R)与y=x2(x>0)不是同一函数;
(2)对应法则不同,两个函数也是不同的.例如,y=x与y=x2不是同一函数;
(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.例如,函数f(x)=x2与f(x)=2x2虽定义域和值域均相同,但它们不是同一函数;
(4)因为函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的.例如,f(x)=2 016x+2 017,f(t)=2 016t+2 017,g(x)=2 016x+2 017都表示同一函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
分析:只给出函数的解析式,而没有指明它的定义域,那么函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:(1)函数为整式函数,x取任意实数时,f(x)都有意义,故函数的定义域为R;
(2)要使函数有意义,应满足x-2≠0,即x≠2,故函数的定义域为{x|x≠2};
(3)要使函数有意义,应满足x2-4≠0,即x2≠4,所以x≠2,且x≠-2,故函数定义域为{x|x≠2,且x≠-2};
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思1.已知函数的解析式,求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,即:
(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;
(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;
(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合;
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分定义域的交集);
(5)对于由实际问题确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
2.本例中的(4)容易出现错解:化简函数的解析式为
{x|x≤1}.错解的原因是违背了讨论函数问题要遵循定义域优先的原则.化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化,因此求函数的定义域之前,不要化简函数的解析式.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
分析:先确定各个函数的定义域,再用相应的方法求值域.(1)和(2)可用观察法;(3)用配方法;(4)用分离常数法;(5)用换元法.
题型一
题型二
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题型一
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题型二
题型三
题型四
题型五
反思在求函数的值域时,常用的方法有:
(1)观察法.通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数图象的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域,这就是观察法.
(2)配方法.对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量取值范围的情况下,利用求二次函数的值域的方法求函数的值域,这就是配方法.
(3)换元法.通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化归为简单的函数,从而求出函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式,要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累.除了上述常用的方法外,还有最值法、数形结合法等,应注意选择最优的解法.总之,求函数的值域关键是要重视对应法则的作用,还要特别注意定义域对值域的制约.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例3】 已知f(x-1)=x2-2x+7,
(1)求f(2)的值;
(2)求f(x)和f(x+1)的解析式.
分析:对(1)可令x=3求得;对(2)可用“x+1”去替换f(x-1)中的“x”即得f(x),用“x+2”去替换f(x-1)中的“x”即得f(x+1).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:(1)f(2)=f(3-1)=9-2×3+7=10.
(2)方法一(配凑法):f(x)=f[(x+1)-1]
=(x+1)2-2(x+1)+7=x2+6,
f(x+1)=f[(x+2)-1]
=(x+2)2-2(x+2)+7=x2+2x+7.
方法二:f(x-1)=x2-2x+7=(x-1)2+6,
所以f(x)=x2+6,
f(x+1)=(x+1)2+6=x2+2x+7.
方法三(换元法):设t=x-1,则x=t+1,
所以f(t)=(t+1)2-2(t+1)+7=t2+6.
故f(x)=x2+6,
f(x+1)=(x+1)2+6=x2+2x+7.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思已知类型为f[g(x)]=h(x)的函数,求f(x)的解析式时,常常使用配凑法和换元法.在解答过程中,一定要把对应法则读懂,分清对应法则f到底作用的变量是谁,然后利用化归的思想,把待求问题转向已知问题,从而使问题得以解决.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例4】 判断下列对应法则是否是从A到B的映射和一一映射.
(1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|.
(3)A={x|x≥2,x∈Z},B={y|y≥0,y∈N},f:x→y=x2-2x+2.
分析:判断某个对应是否是从A到B的映射,只需看在该对应法则下,A中的任一元素是否都有B中唯一的元素与之对应.判断某一映射是否是一一映射,应抓住两点:①原象不同,象不同;②每个象都必须有原象.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:(1)因为0∈A,在f作用下0→|0|=0?B,
所以不是映射,更不是一一映射.
又因为对B中任一元素,在A中有且仅有一个原象,所以为一一映射.
(3)对任意的x∈A,根据对应法则f有x→y=x2-2x+2=(x-1)2+1.
因为x≥2,x∈Z,所以y≥2,y∈N,即y∈B,所以是映射.
因为0∈B,且(x-1)2+1=0无解,所以集合B中的元素0在A中无原象,所以不是一一映射.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思1.按照映射的定义可知,映射应满足:(1)存在性:集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素;(2)唯一性:集合A中的每一个元素在集合B中只有唯一的对应元素.
2.一一映射的两个特点:(1)对于集合A中不同的元素,在集合B中有不同的象;(2)集合B中的每一个元素都有原象,即对应形式为“一对一”,集合A,B中均没有剩余元素.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练4】 给出下列对应:
其中,是映射的为 ,是一一映射的为 .(填序号)?
解析:①②③中的对应符合映射的定义,是映射,其中①又符合一一映射的定义,是一一映射.
答案:①②③ ①
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思解答此类问题,关键是:(1)分清原象和象;(2)搞清楚由原象到象的对应法则.一般已知原象求象时,常采用代入法.已知象求原象时,通常列方程组求解.求解过程中要注意象与原象的区别和联系.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
答案:1
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
即x≠0,且x≠-1,
故函数f(x)的定义域为{x|x≠0,且x≠-1}.
反思因为不等价化简函数解析式容易导致函数定义域发生变化,所以在求函数的定义域时,不要盲目对其解析式进行化简.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
答案:(0,+∞)
1 2 3 4 5 6
答案:C
1 2 3 4 5 6
2下列四组函数中,表示同一函数的是( )
解析:根据同一函数的判断标准,即定义域相同,对应法则也相同来判断.
答案:B
1 2 3 4 5 6
答案:-3
1 2 3 4 5 6
4已知集合A={a,b},B={-1,1},则A到B的一一映射有 个.?
解析:根据映射及一一映射的定义可建立如下一一映射,共2个.
答案:2
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
6已知函数f(x+1)=x2-1,x∈[-1,3],求f(x)的解析式.
分析:本题可用“配凑法”或“换元法”求f(x)的解析式.
解:方法一(配凑法):因为f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),所以f(x)=x2-2x.
又因为x∈[-1,3]时,x+1∈[0,4],
所以f(x)=x2-2x,x∈[0,4].
方法二(换元法):令x+1=t,则x=t-1.
由x∈[-1,3],知t∈[0,4].
由f(x+1)=x2-1,得f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,t∈[0,4],故f(x)=x2-2x,x∈[0,4].
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2.1.2 函数的表示方法
1.会选择恰当的方法表示函数,并注意体会三种表示方法的区别与联系.
2.掌握求函数解析式的一般方法.
3.了解简单的分段函数,并能简单应用.
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1.函数的表示方法
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【做一做1-1】 如图所示,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是( )
解析:借助函数的定义可知,函数的图象应保证任意一个x都有唯一的y与之对应,故选D.
答案:D
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【做一做1-2】 某教师将其一周中每天的课时数列表如下:
在这个函数中,定义域为 ,值域为 .?
答案:{1,2,3,4,5} {1,2,3,4,5}
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2.用集合语言对函数的图象进行描述
对于函数y=f(x)(x∈A)定义域内的每一个x值,都有唯一的y值与它对应.把这两个对应的数构成的有序实数对(x,y)作为点P的坐标,即P(x,y),则所有这些点的集合F叫做函数y=f(x)的图象,即F={P(x,y)|y=f(x),x∈A}.
这就是说,如果F是函数y=f(x)的图象,则图象上的任一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x);反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在图象F上.
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3.分段函数
在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.
答案:A
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【做一做3-2】 已知f(x)=[2 014-x],[x]表示不超过x的最大整数,则f(2 016.5)的值为( )
A.-2.5 B.2.5 C.-2 D.-3
解析:根据题意,可知f(2 016.5)=[2 014-2 016.5]=[-2.5]=-3.
答案:D
一、不是所有的图形都是函数的图象
剖析:(1)函数的图象有的是连续的,有的是不连续的,还有的函数是画不出图象的.一般来说,如果自变量的取值是一些离散的实数值,那么它的图象就是一些孤立点.例如,y=3x(x∈{1,2,3,4,5}).
(2)判断一个图形是否为某个函数的图象,只要用一条垂直于x轴的直线沿x轴方向左右平移,观察图形与该直线交点的个数,当有两个或两个以上的交点时,该图形一定不是函数图象.这是因为直线x=a(a∈R)与图形有两个或两个以上的交点时,表示自变量x取实数a时对应两个或两个以上的y值,这与函数定义中只有唯一的y值与x对应矛盾,故不是函数图象.
如图所示,
在图①中,当自变量x在(-1,1)内取任意一个值时,y有两个值与之相对应,不符合函数的定义;而图②和图③中,当自变量x分别在R上和[-1,1]上取一个值时,都有唯一的y值与之对应,故图②和图③中的y与x具备函数关系.
二、对分段函数的理解
剖析:(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数,其表示法是解析法的一种形式.
(2)分段函数的“段”可以是等长的,也可以是不等长的.例如,
(3)画分段函数的图象时,一定要考虑区间端点是否包含在内,若端点包含在内,则用实心点表示,若端点不包含在内,则用空心点表示.
(4)写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏.
(5)处理分段函数问题时,要首先确定自变量的取值属于哪一个范围,然后选取相应的对应关系.
(6)分段函数的定义域是各段定义域的并集;分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集;分段函数的最大(小)值则是分别在每段上求出最大(小)值,然后取各段最大(小)值中的最大(小)值.
(7)有些函数形式上虽不是分段写的,但实质上是可以化归为分段函数来处理.例如,y=|x+1|可等价化为
三、分段函数图象的画法
步骤:(1)画二次函数y=(x+1)2的图象,再取其在区间(-∞,0]上的图象,其他部分删去;
(2)画一次函数y=-x的图象,再取其在区间(0,+∞)内的图象,其他部分删去;
(3)这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象,如图所示.
由此可得,画分段函数
的图象的步骤是:
(1)画函数y=f1(x)的图象,再取其在区间D1上的图象,其他部分删去;
(2)画函数y=f2(x)的图象,再取其在区间D2上的图象,其他部分删去;
(3)依次画下去;
(4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.
四、教材中的“思考与讨论”
如何检验一个图形是不是一个函数的图象?写出你的检验法则.如图所示的各图形都是函数的图象吗?哪些是,哪些不是,为什么?
剖析:由函数的定义可知,对于定义域中的每一个x,都有唯一的y值与之相对应.因此,要检验一个图形是否是一个函数的图象,可以作x轴的垂线,在定义域范围内,若垂线与图形有一个交点,则该图形就表示函数的图象,否则,该图形不是函数的图象.
由以上知,所给图形中是函数的图象的有(1)(3)(4),而(2)不符合函数的定义,故(2)不是函数的图象.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例1】 作出下列各函数的图象:
(1)y=-x+1,x∈Z;
(2)y=2x2-4x-3,0≤x<3;
(3)y=|1-x|;
分析:作函数图象,要明确函数的定义域,体会定义域对图象的影响.处理好端点,如第(4)小题x=0时的情况.作图时,可先不受定义域限制作出完整的抛物线,然后再根据定义域截取.如第(2)小题.函数图象的形状可以是一条或几条无限长的平滑曲线,也可以是一些点、一些线段、一段曲线等.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)因为定义域为Z,所以图象为离散的点.图象如图①所示.
(2)y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5,0≤x<3,定义域不是R,因此图象不是完整的抛物线,而是抛物线的一部分.图象如图②所示.
(3)先根据绝对值的定义去掉绝对值号,再写成分段函数
(4)这个函数的图象由两部分组成.当0≤x≤1时,为抛物线y=x2的一段;当-1≤x<0时,为直线y=x+1的一段.图象如图④所示.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.函数图象的画法主要有两种:描点法、变换作图法.
(1)描点法的一般步骤是求函数的定义域、化简解析式、列表、描点、连线等;
(2)变换作图法常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换.例如,例1中的(3)小题可先画出y=1-x的图象,再把x轴下方的图象翻折到x轴上方即可.还有对称变换等.
2.作函数图象时,要注意标出一些关键点的坐标,例如,图象与两坐标轴的交点、顶点、端点等,还要分清这些点是实心点还是空心点.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 作出下列各函数的图象:
(1)y=x(-2≤x≤2,x∈Z,且x≠0);
(3)y=|x-5|+|x+3|.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)因为函数定义域为{x|-2≤x≤2,x∈Z,且x≠0},
所以函数图象为图①中直线y=x上孤立的点.
①
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【例2】 已知f(x)为一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x).
分析:先设出f(x)=ax+b(a≠0),再根据条件列出方程组,进而求得a,b的值,最后写出解析式即可.
解:设f(x)=ax+b(a≠0),
则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.
故f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2.
反思本题以f(x)为一次函数作为切入点,运用待定系数法,建立所设参数的方程组解决问题.已知函数的类型求函数解析式时,待定系数法是一种常用的解题方法.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 若函数g(x)是一次函数,且满足g(2x)+4g(x-2)=18x-29,则g(x)= .?
解析:依题意,设g(x)=ax+b(a≠0),
则有2ax+b+4[a(x-2)+b]=18x-29,
即6ax+5b-8a=18x-29,
答案:3x-1
题型一
题型二
题型三
题型四
反思上述用解方程组求函数解析式的方法常用于给出函数的一个方程式这种类型,但要注意自变量x需满足一定的对称性,常见的替换有用“-x”替换“x”,
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
(1)求f(f(-2));
(2)若f(m)=18,求m的值.
分析:对于(1),应先求f(-2),再求f(f(-2));对于(2),要对m与2的大小进行讨论.
解:(1)因为f(-2)=(-2)2+2=6,
所以f(f(-2))=f(6)=2×6=12.
(2)当m≤2时,f(m)=m2+2=18,即m2=16.
又因为m≤2,所以m=-4;
当m>2时,f(m)=2m=18,解得m=9.
综上可知,m的值为-4或9.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.求分段函数的函数值时,一定要注意自变量的值所在的区间或范围,根据这一范围选择相应的解析式代入求得,含有多层“f”符号时,应由内向外依次求解;
2.已知分段函数的函数值求相应自变量的值时,要注意分类讨论求解,同时应对得到的自变量的值进行检验,看其是否满足相应的条件.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例5】 如图所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P从点B开始沿着折线BC,CD,DA前进至点A,若点P运动的路程为x,△PAB的面积为y.
(1)写出y=f(x)的解析式,并指出函数的定义域;
(2)画出函数的图象,并求出函数的值域.
题型一
题型二
题型三
题型四
分析:通过画草图可以发现点P运动到不同的位置,y的求法是不同的(如图阴影部分所示).
可以看出上述三个阴影三角形的底AB是相同的,它们的面积由AB边上的高来决定,故只要由运动路程x求出AB边上的高即可.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.求实际问题中函数的解析式,其关键是充分利用条件建立关于变量x,y的等式,即目标函数.确定函数的定义域时,除了考虑函数解析式自身的限制条件外,还要考虑到它的实际意义;
2.在分段函数的转折点上易出现取舍不当的错误.比如本题若把区间分成0≤x≤4,4≤x≤10,10≤x≤14,则是不对的.避免出现此类错误的方法是对端点进行验证.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思对于分段函数,无论是求函数值,还是求自变量,都要看清每一段解析式所对应的自变量的取值范围,不能张冠李戴,也不能忘记检验.
题型一
题型二
题型三
题型四
1 2 3 4 5 6
1已知函数f(x)由下表给出:
则f(f(0))的值为( )
A.4 B.2 C.0 D.1
解析:因为f(0)=2,
所以f(f(0))=f(2)=1.
答案:D
1 2 3 4 5 6
答案:D
1 2 3 4 5 6
答案:C
1 2 3 4 5 6
4下表列出了一项实验的统计数据,表示将皮球从高h处落下时,弹跳高度d与下落高度h的关系,则下面的式子能表示这种关系的是( )
答案:D
1 2 3 4 5 6
5已知函数f(x)在[-1,2]上的图象如图所示,则f(x)的解析式为 .?
解析:观察图象,知此函数是分段函数,并且在每段上均是一次函数,利用待定系数法求出函数解析式.当-1≤x≤0时,f(x)=x+1;当0
1 2 3 4 5 6
6某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100 km,票价是每千米0.5元;如果超过100 km,超过部分按每千米0.4元定价,那么客运票价y(单位:元)与行程数x(单位:km)之间的函数关系式是 .?
解析:根据行程是否大于100 km来求解析式.由题意,得当0≤x≤100时,y=0.5x;当x>100时,y=100×0.5+(x-100)×0.4=10+0.4x.
(共49张PPT)
2.1.3 函数的单调性
1.理解函数的单调性的定义,学会运用单调性的定义来判断或证明函数的单调性.
2.会结合函数单调性的定义和图象,求函数的单调区间.
3.会应用函数单调性求函数的值域(或最值)等问题,并注意体会函数单调性是函数的“局部”性质.
1
2
1.函数单调性的概念
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间M?A.
如果取区间M中的任意两个值x1,x2,改变量Δx=x2-x1>0,则当Δy=f(x2)-f(x1)>0时,就称函数y=f(x)在区间M上是增函数,如图①所示.
①
1
2
当Δy=f(x2)-f(x1)<0时,就称函数y=f(x)在区间M上是减函数,如图②所示.
②
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间).
1
2
名师点拨1.单调性是函数的一个局部性质,即函数的单调性是该函数在其定义域内的某个子区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的某个非空真子集.
2.函数单调区间的写法
(1)如果一个函数有多个单调增(或减)区间,这些增(或减)区间应该用逗号隔开(即“局部”),而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体”);
(2)因为函数的单调性反映函数图象的变化趋势,所以在某一点处无法讨论函数的单调性.因此,书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定.习惯上,若函数在区间端点处有定义,则写成闭区间,当然写成开区间也可以;若函数在区间端点处没有定义,则必须写成开区间.
1
2
3.函数单调性定义的逆用
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则对于[a,b]上的任意两个值x1,x2,当f(x1)>f(x2)时必有x1>x2,当f(x1)(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,则对于[a,b]上的任意两个值x1,x2,当f(x1)>f(x2)时必有x1x2.
解析:对于反比例函数 (k≠0),当k>0时,在区间(-∞,0)内是减函数,在区间(0,+∞)内也是减函数,这种函数的单调区间只能分开写;当k<0时,在区间(-∞,0)内是增函数,在区间(0,+∞)内也是增函数.
答案:D
1
2
A.在(-∞,0)内是增函数,在(0,+∞)内是减函数
B.在(-∞,0)∪(0,+∞)内是减函数
C.在[0,+∞)内是减函数
D.在(-∞,0)和(0,+∞)内都是减函数
1
2
【做一做1-2】 函数f(x)在R上是减函数,则有( )
A.f(3)f(5) D.f(3)≥f(5)
解析:因为函数f(x)在R上是减函数,3<5,
所以f(3)>f(5).
答案:C
【做一做1-3】 若函数f(x)的定义域是(-4,4],其图象如图所示,则其单调递增区间是 ,单调递减区间是 .?
答案:[-3,1] (-4,-3)和(1,4]
1
2
2.判断函数单调性的步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间M上的单调性的一般步骤:
(1)任取x1,x2∈M,且Δx=x2-x1>0;
(2)作差:Δy=f(x2)-f(x1);
(3)变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);
(4)定号(即判断Δy的正、负);
(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间M上的单调性).
1
2
一、正确理解单调性的定义
剖析:(1)第一关键——“定义域内”.
研究函数的性质,我们应有这样一个习惯:定义域优先原则.函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的,即单调区间是定义域的子集.函数y=x2的定义域为R,但函数y=x2在区间(-∞,0]上是减函数,在区间[0,+∞)内是增函数.
(2)第二关键——“某个区间”.
增函数和减函数都是对相应的区间而言的,离开相应的区间就谈不上函数的单调性.我们不能说一个函数在x=5时递增或递减,因为这时没有一种可比性,没突出变化,所以我们不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数.
这里说的区间可以是整个定义域,例如y=2x在整个定义域(-∞,+∞)内是增函数,y=-2x在整个定义域(-∞,+∞)内是减函数;也可以是定义域的真子集,例如y=x2+1在定义域(-∞,+∞)内不具有单调性,但在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)内是增函数;还有一些函数不具有单调性,
例如函数
(3)别忽视“任意”和“都有”.
在定义中,“任意”两个字很重要,它是指不能通过取特定的值来判断函数的单调性;而“都有”的意思是:只要x1对“任意”二字不能忽视,我们可以构造一个反例,在区间[-2,2]上考察函数y=x2,如果取两个特定的值x1=-2,x2=1,显然x1f(x2),若由此判定y=x2在[-2,2]上是减函数,那就错了.
同样地,理解“都有”,我们也可以举例说明,y=x2在[-2,2]上,当x1=-2,x2=-1时,有f(x1)>f(x2);当x1=1,x2=2时,有f(x1)对函数单调性的定义,为了方便也可改为如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1≠x2时,
二、关于函数单调性的判断
剖析:(1)常见函数的单调性
①一次函数y=kx+b,当k>0时,在(-∞,+∞)内是增函数;当k<0时,在(-∞,+∞)内是减函数;
②反比例函数 k>0时,在(-∞,0)和(0,+∞)内都是减函数;当k<0时,在(-∞,0)和(0,+∞)内都是增函数.
(2)判断函数单调性的常用方法
①定义法:根据增函数、减函数的定义,按照“取值——作差——变形——判断符号——下结论”的步骤进行;
②图象法:画出函数的图象,根据图象的上升、下降的情况判断函数的单调性.
(3)关于函数单调性的常用结论
①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;
②函数y=f(x)+c(c为常数)与y=f(x)的单调性相同;
③函数y=cf(x),当c>0时,与y=f(x)的单调性相同;当c<0时,与函数y=f(x)的单调性相反;
④若f(x)在区间D上恒为正数或恒为负数,且具有单调性,
⑥在公共定义域内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数,增函数-减函数=增函数,减函数-增函数=减函数.
(4)复合函数单调性的判断
对于复合函数y=f(g(x)),如果t=g(x)在(a,b)内单调递增(减),并且y=f(t)在(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))内是单调函数,那么y=f(g(x))在(a,b)内的单调性如下表所示,简记为“同增异减”.
题型一
题型二
题型三
题型四
分析:本题主要考查证明函数的单调性.解题的关键是对Δy进行合理的变形,尽量变为几个最简单因式的乘积形式.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
2.在本例(2)的证明中,使用了“分子有理化”这种证明技巧,一定要注意观察这类题目的结构特点;
3.对Δy的变形技巧常用的有因式分解、通分、分子或分母有理化、配方法等.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 证明函数f(x)=-x2-4x+2在(-∞,-2]上是增函数.
证明:设x1,x2是(-∞,-2]上的任意两个不相等的实数,
且x10.
=(x1-x2)(x1+x2+4).
因为x1<-2,x2<-2,
所以x1+x2<-4,x1+x2+4<0.
又因为x1-x2<0,
所以Δy=(x1-x2)(x1+x2+4)>0.
故函数f(x)=-x2-4x+2在(-∞,-2]上是增函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例2】 (1)画出函数f(x)=2-|x-1|的图象,并根据图象求出函数的单调区间;
(2)已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.
分析:首先分类讨论,去掉绝对值号,将函数化为分段函数,然后画出图象求解即可.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思画出函数的图象得到单调区间是常用的一种方法,但一定要注意画图的准确性及端点处的处理.若函数的定义域内不含端点,则要写成开区间;若端点在其定义域内,则最好加上区间端点,写成闭区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=|3x-1|;
(2)f(x)=-x2+2|x|+3.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【例3】 (1)已知函数f(x)在(-∞,0)内是减函数,试比较f(-a2+4a-6)与f(-2)的大小;
(2)若函数f(x)在R上是增函数,且f(3x-1)分析:对于(1),关键是比较-a2+4a-6与-2的大小,再根据单调性得出函数值的大小;对于(2),由单调性得出3x-1与4-2x的大小关系,从而求得x的取值范围.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)因为f(x)在(-∞,0)内是减函数,
且-a2+4a-6=-(a-2)2-2≤-2<0,
所以f(-a2+4a-6)≥f(-2).
(2)因为f(x)在R上是增函数,且f(3x-1)所以3x-1<4-2x,解得x<1,
即x的取值范围是(-∞,1).
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.根据函数的单调性可以比较函数值的大小,这时首先应明确函数的单调性及单调区间,然后分析欲比较大小的函数值相对应的自变量的所属区间及其大小关系,最后根据单调性确定函数值的大小;
2.由函数值的大小关系可以确定变量的取值范围,这时解题的关键是根据函数的单调性,将函数值的大小关系转换为相应自变量的大小关系,从而建立不等式求出参数的取值范围,但务必注意函数定义域对参数取值的限制,不可忽视定义域.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
易错点1:忽视函数的定义域致错
【例4】 已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
错解:因为g(x)是增函数,且g(t)>g(1-3t),
所以根据单调性的定义,得t>1-3t.
错因分析:只考虑利用单调性化简,而忽略了函数的定义域对参数t的限制.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思关于抽象函数单调性问题,要注意自变量的取值范围以及自变量是否在函数的单调区间内.若在同一单调区间内,则直接转化;若不在同一单调区间内,则需要讨论或化归到函数的同一单调区间内再求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练4】 若将[例4]中的条件改为“g(x)是定义在[0,2]上的减函数”,再求t的取值范围.
题型一
题型二
题型三
题型四
易错点2:混淆“函数在I上单调”与“函数的单调区间是I”的区别致错
【例5】若函数y=|x-a|在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是 .?
错解:函数y=|x-a|的图象如图所示,由于函数在区间(-∞,4]上是单调递减的,因此a=4.
答案:a=4
题型一
题型二
题型三
题型四
错因分析:错解中把“函数在区间(-∞,4]上是减函数”误认为“函数的单调减区间是(-∞,4]”,二者的含义是不同的,函数的单调递减区间是(-∞,4],说明函数在(-∞,4]及其子区间以外的其他区间上不再是单调递减的;而函数在(-∞,4]上是减函数,说明函数至少在(-∞,4]上是单调递减的,也可能在另一个包含该区间的区间上是单调递减的.
正解:因为函数y=|x-a|的图象如图所示,所以只要a≥4,就能保证函数y=|x-a|在区间(-∞,4]上是单调递减的.因此,a≥4.
答案:[4,+∞)
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练5】 若函数f(x)=4x2+bx-1的单调递减区间是(-∞,-1],则b= .?
答案:8
1 2 3 4 5 6
1若f(x)=(2-a)x+1在R上是增函数,则实数a的取值范围是( )
A.a<2 B.a≤2
C.a>2 D.a≥2
解析:由已知,得2-a>0,故a<2.
答案:A
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2已知f(x)为R上的减函数,则满足f(-4x+5)>f(1)的实数x的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)
解析:由已知,得-4x+5<1,解得x>1.
答案:B
1 2 3 4 5 6
3设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1A.f(x1)B.f(x1)>f(x2)
C.f(x1)=f(x2)
D.不能确定
解析:因为在函数的定义中特别强调了x1,x2两个值必须属于同一个单调区间,不是同一单调区间时不能比较函数值的大小,所以f(x1)与f(x2)的大小关系无法确定.故选D.
答案:D
1 2 3 4 5 6
答案:B
1 2 3 4 5 6
5已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数的单调递减区间为 .?
1 2 3 4 5 6
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求证:函数f(x)在定义域上是增函数;
(3)求函数f(x)的最小值.
分析:(1)求函数的定义域转化为解不等式;(2)根据判断函数单调性的步骤证明;(3)利用函数f(x)的单调性求最小值.
1 2 3 4 5 6
(共46张PPT)
2.1.4 函数的奇偶性
2.1.5 用计算机作函数的图象(选学)
1.结合具体函数,了解函数的奇偶性的含义.
2.会根据奇偶性的定义判断和证明函数的奇偶性.
3.会利用奇偶性来研究函数的定义域、值域、解析式、单调性及函数的图象等.
1
2
3
1.奇、偶函数的概念
名师点拨在奇函数和偶函数的定义中,都要求x∈D,-x∈D,这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域一定关于坐标原点对称.名师点拨在奇函数和偶函数的定义中,都要求x∈D,-x∈D,这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域一定关于坐标原点对称.
1
2
3
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
答案:C
【做一做1-2】 下列条件可以说明函数y=f(x)是偶函数的是( )
A.在定义域内存在x,使得f(-x)=f(x)
B.在定义域内存在x,使得f(-x)=-f(x)
C.对定义域内任意x,都有f(-x)=-f(x)
D.对定义域内任意x,都有f(-x)=f(x)
答案:D
1
2
3
解析:①③满足奇函数的定义,②满足偶函数的定义.
答案:①③ ②
1
2
3
2.奇函数、偶函数的图象特征
(1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
(2)如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数.
1
2
3
答案:C
【做一做2-2】 函数f(x)是偶函数,则其图象( )
A.关于原点对称 B.关于x轴对称
C.关于y轴对称 D.关于直线y=x对称
答案:C
1
2
3
3.(选学)用计算机图形技术作函数图象的指令步骤
(1)给自变量x赋值;
(2)给出计算法则,求对应的y值;
(3)由x和对应的y值组成有序数对集合;
(4)建立直角坐标系,并根据有序数对,在直角坐标系中作出对应的点集;
(5)通过这些点集描出函数的图象.
注意:只要函数的表达式已知,就能画出函数的图象.
一、解读函数的奇偶性
剖析:(1)函数的奇偶性与单调性的差异.奇偶性是函数在定义域上的对称性,单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势.奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同,从这个意义上来讲,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对定义域中的每一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说f(x)是奇(偶)函数.
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.由函数奇偶性的定义知,若x是定义域中的一个数值,则-x必然在定义域中,因此,函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称.换言之,若所给函数的定义域不关于原点对称,则函数一定不具有奇偶性.如函数y=2x在(-∞,+∞)内是奇函数,但在[-2,3]上不具有奇偶性.
(3)根据函数奇偶性的定义,函数可分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数.当函数f(x)的定义域不关于原点对称,或虽然定义域关于原点对称,但f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时,f(x)是非奇非偶函数.尤其要注意f(x)=0,x∈A,若定义域A关于原点对称,则它既是奇函数又是偶函数.
(4)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有意义,则一定有f(0)=0.但要注意,反之结论是不一定成立的.
(5)若函数f(x)是偶函数,则有f(x)=f(-x)=f(|x|).
知识拓展奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间[a,b](0二、判断函数奇偶性的几种方法
剖析:判断函数的奇偶性,常用的有定义法、图象法、性质法.
(1)根据函数奇偶性的定义判断,其基本步骤为:
①求函数的定义域并考察定义域是否关于原点对称.若函数没有标明定义域,应先找到使函数有意义的x的集合,因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据.如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称,那么这个函数既不是奇函数,也不是偶函数.例如,函数f(x)=x4+1,x∈[-1,2],因为它的定义域不关于原点对称,当1②若定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.这是因为定义域关于原点对称的函数也不一定是奇(偶)函数.例如,f(x)=x2+x,g(x)=x3+1,它们的定义域都是R,因为f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x≠f(x)(或-f(x)),所以它是非奇非偶函数.同理可证g(x)=x3+1也是非奇非偶函数.
③得出结论.
名师点拨1.定义域关于原点对称,且满足f(-x)=-f(x)=f(x)的函数既是奇函数又是偶函数.例如,f(x)=0,x∈R;f(x)=0,x∈[-2,2];f(x)=0,x∈(-1,1)等.注意:既是奇函数又是偶函数的函数有无数个.
2.分段函数奇偶性的判断关键是搞清x与-x的所在范围及其对应的函数关系式,并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断,而不能以其中一个区间来代替整个定义域.
3.判断函数的奇偶性有时可用定义的等价形式f(-x)±f(x)=0
(2)借助函数的图象判断奇偶性.例如,奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称等,从而直观地判断函数的奇偶性.
(3)根据性质来判断函数的奇偶性,偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论要注意各函数的定义域)
特别地,F1(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,F2(x)=f(x)-f(-x)为奇函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例1】 判断下列函数是奇函数还是偶函数,并说明理由.
(1)f(x)=x3+2x;
(2)f(x)=x2-|x|+1;
(3)f(x)=(x+4)2;
(4)f(x)=|x-3|-|x+3|;
分析:用定义判断函数的奇偶性时,先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系,从而判断函数的奇偶性.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.
又因为f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x),即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.
(2)函数的定义域为R,关于原点对称.
又因为f(-x)=(-x)2-|-x|+1=x2-|x|+1,
即f(-x)=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
(3)函数定义域为R,关于原点对称.
又因为f(-x)=(-x+4)2=(x-4)2≠f(x),
且f(-x)≠-f(x),
所以函数f(x)是非奇非偶函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(4)函数定义域为R,关于原点对称.
又因为f(-x)=|-x-3|-|-x+3|=|x+3|-|x-3|=-(|x-3|-|x+3|)=-f(x).
所以函数f(x)是奇函数.
(5)因为函数的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,
所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
于是x2=16,
即x=±4.
故函数定义域为{4,-4},关于原点对称.
又因为当x∈{4,-4}时,f(x)=0,
所以f(-x)=f(x)=-f(x).
所以函数f(x)既是奇函数,也是偶函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思判断函数奇偶性的主要依据就是奇偶性的定义.若一个函数是非奇非偶函数,有时只要说明它的定义域不关于原点对称即可.例如,本例中的(5)小题,在x≠1时,虽有
.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例2】 (1)如图给出偶函数y=f(x)的局部图象,则f(1)+f(-2)的值是 .?
(2)若奇函数f(x)的定义域为[-5,5],其y轴右侧的图象如图所示,则f(x)<0的x的取值集合为 .?
分析:根据奇函数、偶函数图象的对称性解题.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(2)奇函数f(x)在[-5,5]上的图象如图所示,由图象可知,当x∈(2,5)时,f(x)<0;当x∈(0,2)时,f(x)>0;当x∈(-5,-2)时,f(x)>0;当x∈(-2,0)时,f(x)<0;因此,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2
答案:(1)2 (2){x|-2
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思函数奇偶性反映到图象上是图象的对称性,因而当问题涉及奇函数或偶函数的有关问题时,不妨利用图象的对称性来解决,或者研究关于原点对称的区间上的函数值的有关规律即可.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练2】 若f(x)是奇函数,且点(1,-4)在其图象上,则下列各点中在f(x)图象上的是( )
A.(1,4) B.(-4,1)
C.(-1,-4) D.(-1,4)
解析:点(1,-4)关于原点对称的点是(-1,4)也在函数图象上.
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
分析:因为f(x)是奇函数,所以f(-1)=-f(1),故只需求f(1)即可.
反思充分利用奇函数的性质,无需求出当x∈[-5,0]时f(x)的解析式,通过转化只需求f(1)的值即可.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
答案:-6
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(2)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,其定义域为[a-1,2a],求a,b的值.
分析:对于(1),可根据奇函数的定义列出关于m的方程求解,也可采用特殊值法f(0)=0求解;对于(2),先由定义域的对称性求出a的值,再根据偶函数的定义求b的值.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思已知函数f(x)是奇函数或偶函数,求f(x)解析式中的参数值问题,通常有两种解法,一是直接根据奇函数或偶函数定义的等价形式,建立关于参数的等式求值;二是采用取特殊值的方法求出参数值,然后再代入验证.特别地,当f(x)是在原点有定义的奇函数时,可利用f(0)=0求得参数值.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练4】 若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a= .?
解析:依题意,f(-x)=f(x)恒成立,
即x2-|-x+a|=x2-|x+a|恒成立,
即|x-a|=|x+a|恒成立.
故a=0.
答案:0
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例5】 若f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x(1-x),求当x≥0时,函数f(x)的解析式.
分析:利用奇函数满足f(-x)=-f(x),将x<0时f(x)的解析式转化到x>0上.
解:当x>0时,-x<0,因为f(x)是奇函数,
所以f(x)=-f(-x)
=-{(-x)[1-(-x)]}=x(1+x),
当x=0时,f(0)=-f(0),即f(0)=0.
所以当x≥0时,f(x)=x(1+x).
反思注意求哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x,然后把x转化为-x,则-x为另一已知解析式的区间上的变量,通过互化,求得所求区间上的解析式.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.
(2)利用函数单调性的定义证明;
(3)先将f(t-1)+f(t)<0等价化归为f(t-1)<-f(t)=f(-t),再利用单调性将抽象不等式化为具体不等式.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(3)解:由f(t-1)+f(t)<0,且f(x)为奇函数,得f(t-1)<-f(t)=f(-t).
又f(x)在(-1,1)上是增函数,
反思函数的单调性、奇偶性是函数的重要性质,这两部分内容与函数的其他性质经常结合在一起,出现一些难度较大的综合题.解题的关键是化归思想及数形结合思想的充分利用.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练6】 已知函数f(x)在R上是偶函数,且在(-∞,0]上是单调递减的,试比较f(3)与f(π)的大小.
解:方法一:∵f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上是单调递减的,∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的.
又3<π,∴f(3)方法二:∵f(x)是偶函数,
∴f(3)=f(-3),f(π)=f(-π).
又f(x)在(-∞,0]上是单调递减的,且-3>-π,
∴f(-3)
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
正解:要使函数f(x)有意义,应满足x-2≠0,即x≠2,
即函数f(x)的定义域为{x|x≠2},显然定义域不关于原点对称,
故f(x)是非奇非偶函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:显然f(-3)=0,但f(3)无意义,
即函数定义域不关于原点对称,
故f(x)是非奇非偶函数.
1 2 3 4 5 6
1下列函数中,是偶函数的是( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=x
C.f(xf(x)=x+x3
答案:A
1 2 3 4 5 6
答案:A
1 2 3 4 5 6
3有下列说法:
①偶函数的图象一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
④若一个图形关于y轴成轴对称,则该图形一定是偶函数的图象.
其中不正确的是( )
A.①② B.①④
C.①②④ D.①②③④
解析:①中可举反例f(x)=x2+2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞);②中f(x)在x=0处可能无定义;③中也可以是f(x)=0,x∈A(A为关于原点对称的数集);④中该图形可能不是函数的图象.故①②③④均错误.
答案:D
1 2 3 4 5 6
4设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )
A.f(x)+|g(x)|是偶函数
B.f(x)-|g(x)|是奇函数
C.|f(x)|+g(x)是偶函数
D.|f(x)|-g(x)是奇函数
1 2 3 4 5 6
解析:因为函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).
令F(x)=f(x)+|g(x)|,
F(-x)=f(-x)+|g(-x)|
=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|=F(x).
故F(x)为偶函数,
即f(x)+|g(x)|是偶函数.
答案:A
1 2 3 4 5 6
5若f(x)是奇函数,当x≤0时,f(x)=3x2-4x,则f(1)= .
解析:f(1)=-f(-1)=-[3×(-1)2-4×(-1)]=-7.
答案:-7
1 2 3 4 5 6
6如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值是5,那么f(x)在区间[-7,-3]上的最 (填“大”或“小”)值为 .?
解析:根据奇函数在对称区间上的单调性一致,且函数图象关于原点对称,可得f(x)在[-7,-3]上为增函数,且在-3处取得最大值为f(-3)=-f(3)=-5.
答案:大 -5
(共35张PPT)
2.2 一次函数和二次函数
2.2.1 一次函数的性质与图象
1.理解一次函数的概念,掌握一次函数的性质与图象.
2.学会运用一次函数的图象理解和研究函数的性质及解决一些简单的应用题.
1
2
1.一次函数的定义
函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数,又叫做线性函数;它的定义域为R,值域为R.
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是直线,以后简写为直线y=kx+b,其中k叫做该直线的斜率,b叫做该直线在y轴上的截距.
【做一做1-1】 下列函数中,是一次函数的是( )
A.y=x2+1 B.y=|x|
C.y=kx+3 D.y=2x+6
答案:D
【做一做1-2】 直线y=-3x+5的斜率等于( )
A.3 B.-3
C.5 D.-5
答案:B
1
2
2.一次函数的性质
(1)函数值的改变量Δy=y2-y1与自变量的改变量Δx=x2-x1的比值等于常数k.k的大小表示直线与x轴的倾斜程度.
(2)当k>0时,一次函数是增函数;当k<0时,一次函数是减函数.
(3)当b=0时,一次函数为正比例函数,是奇函数;当b≠0时,一次函数既不是奇函数也不是偶函数.
1
2
【做一做2-1】 一次函数y=kx-k,若y随x的增大而增大,则它的图象过( )
A.第一、第二、第三象限
B.第一、第三、第四象限
C.第一、第二、第四象限
D.第二、第三、第四象限
解析:由题意知k>0,所以-k<0,故y=kx-k的图象过第一、第三、第四象限.
答案:B
1
2
1
2
答案:A
一、解读y=kx+b(k≠0)与y=b的区别与联系
剖析:y=kx+b(k≠0)是一次函数,y=b是常数函数,其图象都是一条直线.下面从解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性五个方面来分析二者的区别与联系.
(1)解析式:常数函数y=b可以看作y=kx+b当k=0时的情况,y=b的解析式的特点是没出现自变量x.
(2)定义域:y=kx+b(k≠0)的定义域为R;对于y=b,解析式中没有出现x,说明解析式对x没有要求,x可以取任意实数,即定义域也为R.
(3)值域:y=kx+b(k≠0)的值域为R;对于y=b,常数函数只有一个函数值b,就是说不论自变量怎么取值,都对应同一个函数值b,因此,值域为{b}.
(4)单调性:对于y=kx+b(k≠0),当k>0时为增函数,当k<0时为减函数;对于y=b,因为函数值是固定的常数b,没有增减变化,函数图象是一条水平的直线,所以常数函数在定义域上不是单调函数.
(5)奇偶性:对于y=kx+b(k≠0),当b=0时为奇函数,当b≠0时为非奇非偶函数;而对于y=b,当b≠0时为偶函数,当b=0时既是奇函数又是偶函数.
名师点拨通过上面的分析,可知y=b是函数,而式子x=a(a是一个固定的常数)虽然含有x,但不能称其为函数,原因在于一个x对应无穷多个y,不符合函数的定义,应将其与y=b区别开来.
二、教材中的“探索与研究”
设一次函数y=5x-3,取一系列的x值,使得每一个x值总是比前一个大2,然后计算对应的y值,这一系列的函数值之间有什么关系?对任意一个一次函数都有类似的性质吗?
剖析:根据函数y=5x-3的解析式列表如下:
由上表可以看出,函数值后一个比前一个大10.
事实上,取x1=a,则y1=5a-3,取x2=a+2,
则y2=5(a+2)-3,
所以Δy=y2-y1=10.
一般地,设一次函数y=kx+b(k≠0),若取x1=a,则y1=ka+b;若取x2=a+2,则y2=k(a+2)+b=ka+b+2k,
故Δy=y2-y1=2k(常数).
题型一
题型二
题型三
题型四
【例1】 已知函数y=(2m-1)x+1-3m,当m为何值时,
(1)这个函数为正比例函数;
(2)这个函数为一次函数;
(3)函数值y随x的增大而减小;
(4)这个函数图象与直线y=x+1的交点在x轴上.
分析:根据正比例函数和一次函数的定义可知第(1)(2)小题容易求解;第(3)小题函数值y随着x的增大而减小,即直线的斜率小于0;第(4)小题根据两条直线与x轴交于同一点,可求出m的值.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
(4)直线y=x+1与x轴的交点为(-1,0).
∵函数y=(2m-1)x+1-3m与直线y=x+1交x轴于同一点,
∴点(-1,0)在函数y=(2m-1)x+1-3m的图象上,
即(2m-1)×(-1)+1-3m=0.
反思解此类型的题目,要正确理解正比例函数、一次函数的概念及一次函数的性质.从概念和性质入手,问题便可迎刃而解.
题型一
题型二
题型三
题型四
A.是增函数
B.是减函数
C.没有单调性
D.无法判断单调性
解析:因为f(x)是一次函数,
解得t=-1或t=2(舍去).
故f(x)=-3x+10.
因为-3<0,所以f(x)是减函数.
答案:B
题型一
题型二
题型三
题型四
【例2】 (1)若函数y=(2m-3)x+(3n+1)的图象经过第一、第二、第三象限,求m,n的取值范围;
(2)若一次函数f(x)=(3-2m)x+(m-4)的图象如图所示,求m的取值范围.
分析:根据函数的单调性及截距列关系式求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,因此k的取值确定了直线的方向,b的取值确定了直线在y轴上的截距;同时,直线的特征也确定了k,b的取值,总之要达到“数”与“形”的统一,做到“数中含形,形中蕴数”.在一次函数中,k与b的取值与相应直线的位置见下表:
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 如果ab>0,bc<0,那么一次函数ax+by+c=0的图象的大致形状是( )
答案:A
题型一
题型二
题型三
题型四
【例3】 小东从A地出发以某一速度向B地走去,同时小明从B地出发以另一速度向A地而行.如图所示,图中的两条线段分别表示小东、小明离B地的距离y(单位:km)与所用时间x(单位:h)的关系.
(1)试用文字说明交点P所表示的实际意义;
(2)试求出A,B两地之间的距离.
分析:(1)交点P是两条直线的交点,结合实际可知,小东与小明经过2.5 h后在距离B地7.5 km处相遇;
(2)求出小东离B地的距离与所用时间的关系,令x=0即可得解.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)交点P所表示的实际意义:经过2.5 h后,小东与小明在距离B地7.5 km处相遇.
(2)设小东离B地的距离y1与所用时间x之间的关系式为y1=kx+b(k≠0),又y1经过点P(2.5,7.5),点(4,0),
即y1=-5x+20.当x=0时,y1=20.
故A,B两地之间的距离为20 km.
反思本题综合考查了一次函数的知识,结合图象是解决问题的关键,同时应注意函数的实际含义.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 弹簧的长度y(单位:cm)与所挂物体的质量x(单位:kg)的关系为一次函数,由图可知不挂物体时弹簧的长度为( )
A.7 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
题型一
题型二
题型三
题型四
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型四
易错点:对一次函数的概念理解不深致错
【例4】 已知一次函数y=(m-2)x+m2-3m-2,它的图象在y轴上的截距为-4,则m的值为( )
A.-4 B.2 C.1 D.2或1
错解:因为函数在y轴上的截距为-4,
所以m2-3m-2=-4,即m2-3m+2=0.
解得m=2或m=1,故选D.
错因分析:错解中只考虑了图象在y轴上的截距,没有注意到函数是一次函数,还必须满足m-2≠0.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
A.增函数
B.减函数
C.在(-∞,0]为增函数,在[0,+∞)为减函数
D.以上都不对
答案:B
1 2 3 4 5 6
1若函数y=(m2-1)x+4m是一次函数,则m的取值范围是( )
A.m≠1 B.m≠-1
C.m≠±1 D.m≠0
解析:由已知得m2-1≠0,即m≠±1.
答案:C
1 2 3 4 5 6
2若一次函数f(x)=(m+2)x+3m-1的斜率为1,则其在y轴上的截距等于( )
A.3 B.-1 C.4 D.-4
解析:由已知得m+2=1,故m=-1,
故其在y轴上的截距为3m-1=-4.
答案:D
1 2 3 4 5 6
3点A(a+b,ab)在第一象限内,则直线bx+ay-ab=0不经过的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为点(a+b,ab)在第一象限内,
所以a+b>0,ab>0.
所以a>0,b>0.
所以直线经过第一、二、四象限.
答案:C
1 2 3 4 5 6
4甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的关系如图所示,小王根据图象得到如下四条信息,其中错误的是 ( )
A.这是一次1 500 m长的赛跑
B.甲、乙两人中先到达终点的是乙
C.甲、乙同时起跑
D.甲在这次赛跑中的平均速度为5 m/s
答案:C
1 2 3 4 5 6
5一次函数的图象过点(2,0)和点(-2,1),则此函数的解析式为 .?
1 2 3 4 5 6
6已知直线y=kx+12(k≠0)和两坐标轴所围成的三角形的面积为24,求k的值.
(共41张PPT)
2.2.2 二次函数的性质与图象
1.掌握二次函数的图象和性质,学会用配方法研究二次函数的性质.
2.掌握作二次函数图象的一般方法,学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
3.学会用从特殊到一般的思想方法来研究二次函数,并注意与初中所学知识的类比和联系.
1
2
1.二次函数的定义
函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它的定义域为R.
【做一做1-1】 下列函数中是二次函数的是( )
A.y=x-2 B.y=1-x2
答案:B
【做一做1-2】 若函数f(x)=(m2-2m-3)x2-(m+1)x+5是一次函数,则m的取值范围为 ;若f(x)是二次函数,则m的取值范围为 .?
答案:m=3 m≠-1,且m≠3
1
2
1
2
知识拓展1.当二次函数图象的对称轴与y轴重合,即b=0时,二次函数为偶函数,否则既不是奇函数也不是偶函数.
2.在y=ax2(a≠0)中,当a>0时,a越大,抛物线的开口越小,a越小,抛物线的开口越大;当a<0时,a越大,抛物线的开口越大,a越小,抛物线的开口越小.总之,y=ax2(a≠0)中,|a|越大,抛物线的开口越小,|a|越小,抛物线的开口越大.
3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)与关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系:二次函数f(x)的图象与x轴交点的个数等于方程f(x)=0的实数根的个数,并且当二次函数f(x)的图象与x轴有交点时,其交点的横坐标是方程f(x)=0的实数根.
1
2
【做一做2-1】 下列关于二次函数y=x2+x+1的开口方向和顶点的说法正确的是( )
A.开口向下,顶点是(1,1)
B.开口向上,顶点是(1,1)
答案:D
1
2
【做一做2-2】 若一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象只可能是( )
答案:C
一、二次函数图象的对称轴
剖析:(1)二次函数图象的对称轴通常有以下三种求法:
①利用配方法求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为
②若二次函数f(x)对任意x1,x2∈R都有f(x1)=f(x2),则对称轴为
③若二次函数y=f(x)对定义域内所有x都有f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x),则对称轴为x=a(a为常数).
(2)利用对称性,结合开口方向,可以比较二次函数函数值的大小.
①若抛物线开口向上,则离对称轴越近,函数值越小;
②若抛物线开口向下,则离对称轴越近,函数值越大.
二、二次函数在闭区间上的最值问题
剖析:对于二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的最值问题,应采用配方法,化为y=a(x-h)2+k的形式.其解法是:抓住“三点一轴”数形结合,该讨论时要讨论.这里的“三点”指的是区间的两个端点和区间中点,“一轴”指的是对称轴.
对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[p,q]上的最值问题可作如下讨论:
名师点拨1.当a<0时区间的最值情况可类比a>0时的情况得到;
2.二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值,它们只能在区间的端点或二次函数的对称轴上取到.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例1】 将函数y=-3x2-6x+1配方,确定其对称轴和顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或最小值,并画出它的图象.
分析:本题考查配方法和二次函数的性质与图象.解题的关键是配方,完成配方后再结合图象研究其性质.
题型一
题型二
题型三
题型四
因为x2项的系数为负数,
所以函数图象开口向下;顶点坐标为(-1,4);对称轴为x=-1;
函数在区间(-∞,-1]上单调递增,在区间[-1,+∞)上单调递减;
函数有最大值,没有最小值,函数的最大值为4.
采用描点画图,选顶点A(-1,4),与x轴的交点
与y轴的交点D(0,1),再任取一点E(-2,1),过这五个点画出图象,如图所示.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思从这个例子可以看出,根据配方法得到的性质画函数的图象,可以直接选取关键点.这样做可减少选点的盲目性,使画图操作更简便,使图象更精确.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【例2】 已知二次函数f(x)=-x2+kx+k在区间[2,4]上是单调函数,求实数k的取值范围.
分析:首先求出f(x)的单调区间,要使f(x)在[2,4]上具有单调性,需使区间[2,4]为f(x)单调区间的子集,从而建立不等式求解k的取值范围.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思利用二次函数的单调性可以求解函数解析式中参数的取值范围,这是函数单调性的逆向性问题.解答此类问题的关键在于借助二次函数的对称轴,通过对称轴的位置建立变量之间的关系,进而求解参数的取值范围.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 若函数f(x)=2x2+kx-1在[-3,-2]上不是单调函数,求实数k的取值范围.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例3】 函数f(x)=x2的图象经过怎样的平移,能得到函数f(x)=x2-2x-1的图象?
分析:一般地,二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0),a决定了二次函数图象的开口大小和方向;h决定了二次函数图象的左右平移,而且“h正左移,h负右移”;k决定了二次函数图象的上下平移,而且“k正上移,k负下移”.解决本题的突破口是将函数f(x)=x2-2x-1的解析式配方成y=(x-h)2+k的形式.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2.
平移的步骤是:
①将函数y=x2的图象向右平移1个单位长度得到函数y=(x-1)2的图象;
②将函数y=(x-1)2的图象向下平移2个单位长度得到y=(x-1)2-2的图象,即得到函数f(x)=x2-2x-1的图象.
反思所有二次项系数为1的二次函数的图象均可以由函数y=x2的图象经过平移得到.平移前,应先将二次函数的解析式化为顶点式,再确定平移的步骤.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【例4】 (1)函数y=3x2-6x+1,x∈[0,3]的最大值是 ,最小值是 ;?
(2)求函数f(x)=x2+2ax+2在[-5,5]上的最小值;
(3)求函数f(x)=x2-4x-4在[t,t+1](t∈R)上的最小值g(t).
分析:(1)小题可根据函数在区间[0,3]上的单调性求出最值;(2)和(3)小题需按照对称轴与给定区间的关系讨论求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
(1)解析:由于y=3x2-6x+1=3(x-1)2-2,该函数的图象如图所示.
从图象易知,f(x)max=f(3)=10,f(x)min=f(1)=-2.
答案:10 -2
(2)解:f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2,x∈[-5,5],
①当-a≤-5,即a≥5时,函数f(x)在区间[-5,5]上
单调递增,故f(x)min=f(-5)=27-10a.
②当-5<-a<5,即-5故f(x)min=f(-a)=2-a2.
③当-a≥5,即a≤-5时,函数f(x)在区间[-5,5]上
单调递减,故f(x)min=f(5)=27+10a.
题型一
题型二
题型三
题型四
(3)解:由f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8,x∈[t,t+1],知对称轴为直线x=2.当t≤2≤t+1,
即1≤t≤2时,g(t)=f(2)=-8;
当t+1<2,
即t<1时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,
g(t)=f(t+1)=t2-2t-7.
当t>2时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,
g(t)=f(t)=t2-4t-4.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思本例给出了二次函数在闭区间上最值的三种常见题型,其中的(2)(3)小题都需要进行分类讨论.特别地,在(3)小题中,求f(x)最小值,字母t应视作常量,f(x)的最小值应该用t表达,而不可再求g(t)的最小值.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练4】 求函数f(x)=2x2-4x-3在下列各个区间上的最值:
(1)[-2,0];(2)[0,3];(3)[2,4].
解:f(x)=2x2-4x-3=2(x-1)2-5,函数图象开口向上,对称轴为x=1.
(1)当x∈[-2,0]时,f(x)在[-2,0]上单调递减,故ymax=f(-2)=13,ymin=f(0)=-3;
(2)当x∈[0,3]时,f(x)在[0,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增,
故ymax=f(3)=3,ymin=f(1)=-5;
(3)当x∈[2,4]时,f(x)在[2,4]上单调递增,
故ymax=f(4)=13,ymin=f(2)=-3.
题型一
题型二
题型三
题型四
易错点:对问题进行非等价转化致误
【例5】 已知f(x)=x2+ax+3-a,若x∈[-2,2],f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
错解:结合二次函数f(x)=x2+ax+3-a的图象可知,要使f(x)>0在x∈[-2,2]上恒成立,则只需Δ=a2-4(3-a)<0,解得-6错因分析:原题中的信息是f(x)>0对任意x∈[-2,2]恒成立,而错解中误认为f(x)>0对任意x∈R恒成立,因此使所求范围缩小了.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
即a<-4时,g(a)=f(2)=7+a>0,解得a>-7.
又因为a<-4,所以-7综上所述,a的取值范围是(-7,2).
反思解答时不能凭空想象,一定要充分利用题干中的信息,并且在化简或化归时要做到等价转化.例如,错解中就不是等价转化.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练5】 在例5中,将条件改为“若x∈[-3,-1]时,f(x)<0恒成立”,再求a的取值范围.
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1将函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的函数的解析式是( )
A.y=2(x+1)2+3 B.y=2(x-1)2-3
C.y=2(x+1)2-3 D.y=2(x-1)2+3
答案:A
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2已知二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是x=1,并且通过点A(-1,7),则a,b的值分别是( )
A.2,4 B.2,-4
C.-2,4 D.-2,-4
答案:B
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3已知函数y=-x2-4x+1,当x∈[-3,3]时的值域是 ( )
A.(-∞,5] B.[5,+∞)
C.[-20,5] D.[4,5]
解析:因为y=-x2-4x+1=-(x+2)2+5,
所以f(x)图象的对称轴为x=-2,开口向下.
因此ymax=f(-2)=5,ymin=f(3)=-20,
故函数的值域为[-20,5].
答案:C
1 2 3 4 5 6
4若f(x)=(k-2)x2-(k-1)x-3是偶函数,则f(x)的单调递增区间是 .?
解析:因为函数f(x)是偶函数,
所以一次项系数-(k-1)=0,即k=1.
此时f(x)=-x2-3.
故f(x)的递增区间是(-∞,0].
答案:(-∞,0]
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5若函数f(x)=ax2+2x-4的图象全部位于x轴下方,则a的取值范围是 .?
1 2 3 4 5 6
6已知函数f(x)=ax2+4(a+1)x-3在[2,+∞)上单调递减,求a的取值范围.
(共27张PPT)
2.2.3 待定系数法
1.了解待定系数法的概念.
2.掌握用待定系数法求函数的解析式.
3.理解待定系数法的适用范围及注意事项.
1
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1.待定系数法的概念
一般地,在求一个函数时,如果知道这个函数的一般形式,可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定,然后再根据题设条件求出这些待定系数,这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.
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归纳总结利用待定系数法解题的关键是依据已知条件,正确列出含有未知系数的等式.运用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决.要判断一个问题是否能用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解,其基本步骤如下:
(1)设出含有待定系数的解析式;
(2)根据恒等条件,列出含待定系数的方程或方程组;
(3)解方程或方程组求出待定系数,从而使问题得到解决.
1
2
【做一做1-1】 若正比例函数f(x)的图象经过点(-2,6),则f(x)的解析式为 .?
解析:依题意设f(x)=kx(k≠0),
则6=k×(-2),解得k=-3,
故f(x)=-3x.
答案:f(x)=-3x
【做一做1-2】 已知6x2-x-1=(2x-1)(ax+b),则a= ,b= .?
解析:因为(2x-1)(ax+b)=2ax2+(2b-a)x-b,
所以6x2-x-1=2ax2+(2b-a)x-b,
答案:3 1
1
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2.二次函数的三种表示形式
(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中a决定开口方向与大小,c是在y轴上的截距,而x=.
(2)顶点式(配方式):f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)是抛物线的顶点坐标,x=h是对称轴.
(3)两根式(因式分解):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标.
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【做一做2-1】 已知抛物线经过点(-3,2),顶点是(-2,3),则抛物线的解析式为( )
A.y=-x2-4x-1 B.y=x2-4x-1
C.y=x2+4x-1 D.y=-x2-4x+1
解析:设所求解析式为y=a(x+2)2+3(a≠0).
因为抛物线过点(-3,2),所以2=a+3,
解得a=-1.所以y=-(x+2)2+3=-x2-4x-1.
答案:A
1
2
【做一做2-2】 已知二次函数的图象过(0,1),(2,4),(3,10)三点,则这个二次函数的解析式为 .?
解析:根据题意设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),然后将图象所经过的三个点的坐标分别代入方程,
确定二次函数解析式所需要的条件
剖析:二次函数解析式的求法有以下几种情况:
(1)已知三点坐标,求解析式.可将函数解析式设为y=ax2+bx+c(a≠0).将点的坐标分别代入所设解析式,列出关于a,b,c的三元一次方程组,解出a,b,c即可;
(2)已知顶点坐标为(m,n),可设y=a(x-m)2+n,再借助其他条件求a;
(3)已知对称轴方程为x=m,可设y=a(x-m)2+k,再借助其他条件求a与k;
(4)已知最大值或最小值为n,可设y=a(x-h)2+n,再借助其他条件求a和h;
(5)已知二次函数的图象与x轴只有一个交点,可设y=a(x-h)2,再借助其他条件求a和h;
(6)已知二次函数图象与x轴有两个交点x1,x2,可设y=a(x-x1)(x-x2),再借助其他条件求a.
题型一
题型二
【例1】 求下列函数的解析式:
(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x).
(3)已知二次函数y=f(x)的图象过A(0,-5),B(5,0)两点,它的对称轴为直线x=2,求这个二次函数的解析式.
分析:对于(1)小题,可设 对于(2)小题,可设出一次函数f(x)=ax+b(a≠0);对于(3)小题,可设出二次函数的顶点式或一般式,利用待定系数法求出解析式.
题型一
题型二
题型一
题型二
题型一
题型二
反思利用待定系数法求函数的解析式的具体做法是先根据题目中给出的函数类型设出解析式的一般形式,再由已知条件列方程或方程组,然后求出待定系数即可.
当已知函数的类型,如二次函数、一次函数、反比例函数等,可以设出所求函数的一般形式.例如,y=ax2+bx+c(a≠0),y=kx+b(k≠0),
等.设待定系数本着“宁少勿多”的原则进行,注意简化解题过程.
题型一
题型二
【变式训练1】 (1)若一次函数f(x)的图象经过P(3,-2)和Q(-1,2)两点,求其解析式;
(2)二次函数f(x)的图象与x轴相交于点(-2,0)和(4,0),且其最小值为-18,求f(x)的解析式.
题型一
题型二
题型一
题型二
【例2】 如图所示,函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成,求函数的解析式.
分析:由图象可知:
①函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成;
②当x≤1或x≥3时,函数解析式可设为y=kx+b(k≠0);
③当1≤x≤3时,函数解析式可设为y=a(x-2)2+2(a<0)或y=ax2+bx+c(a<0).
题型一
题型二
解:设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0,x≤1).
解得k=-1,b=2.
所以左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).
同理可求x≥3时,函数的解析式为y=x-2(x≥3).
当1≤x≤3时,抛物线对应的函数为二次函数.
方法一:设函数解析式为y=a(x-2)2+2(1≤x≤3,a<0).
由点(1,1)在抛物线上可知a+2=1,
即a=-1.
故抛物线对应的函数解析式为y=-x2+4x-2(1≤x≤3).
题型一
题型二
题型一
题型二
反思由函数图象求函数的解析式,关键是观察函数图象的形状,分析函数是由哪几种函数组成的分段函数,然后针对不同区间上的函数,利用待定系数法求出相应的解析式.
题型一
题型二
【变式训练2】 在体育测试时,一名高个子男同学推铅球,已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如图所示,如果这个男同学的出手处点A的坐标为(0,2),铅球路线的最高处点B的坐标为(6,5),求这个二次函数的解析式.
题型一
题型二
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1过点(-1,1)的正比例函数是( )
A.y=x B.y=-x
C.y=2x+3 D.y=-2x-1
解析:依题意,设y=kx,
则1=k×(-1),k=-1,故y=-x.
答案:B
1 2 3 4 5 6
答案:A
1 2 3 4 5 6
3已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为2,函数图象的顶点在直线y=x+1上,并且图象过点(3,-6),则a,b,c的值为( )
A.-2,4,0 B.4,-2,0
C.-4,-2,0 D.-2,-4,0
解析:由已知,设二次函数为y=a(x-h)2+2(a≠0).
因为图象顶点在直线y=x+1上,
所以2=h+1,得h=1.
又因为图象过点(3,-6),所以-6=a(3-1)2+2.
所以a=-2.所以y=-2(x-1)2+2=-2x2+4x.
所以a=-2,b=4,c=0.
答案:A
1 2 3 4 5 6
4已知f(x)=x2,g(x)是一次函数,且是增函数,若f(g(x))=4x2-20x+25,则g(x)= .?
解析:设g(x)=kx+b(k>0),则f(g(x))=g2(x)=(kx+b)2=k2x2+2kbx+b2=4x2-20x+25,比较系数可得k=2,b=-5.故g(x)=2x-5.
答案:2x-5
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5已知抛物线y=ax2(a≠0)与直线y=kx+1(k≠0)交于两点,其中一个交点为(1,4),则另一个交点为 .?
1 2 3 4 5 6
6已知二次函数f(x)图象的对称轴是直线x=-1,并且经过点(1,13)和(2,28),求二次函数f(x)的解析式.
解:设f(x)=a(x+1)2+k(a≠0).
由题意,得f(1)=13,f(2)=28,
解得a=3,k=1,故f(x)=3(x+1)2+1.
(共41张PPT)
2.3 函数的应用(Ⅰ)
1.会利用一次函数和二次函数及分段函数模型解决简单的实际问题.
2.理解数学建模的过程,并不断地加强数学的应用意识.
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1.直线型的函数模型
我们学过的正比例函数、一次函数等都是直线型的,它们在每个区间的变化率都一样.
解题时常设为:正比例型:y=kx(k≠0),一次函数型:y=kx+b(k≠0).
当k>0时两者都是增长型函数,k的值越大增速越快.
如在市场经济大潮中,普遍存在着最优化问题——最佳投资、最小成本等,常常归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件.如果一个问题中有两个变量,且这两个变量之间存在一次函数关系,那么可以用一次函数模型来解决.
名师点拨在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时,一是要注意自变量的取值范围;二是要检验所得结果,必要时运用估算和近似计算,使结果符合实际问题的要求.
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【做一做1】 据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元.若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式是( )
A.y=0.3x+800(0≤x≤2 000)
B.y=0.3x+1 600(0≤x≤2 000)
C.y=-0.3x+800(0≤x≤2 000)
D.y=-0.3x+1 600(0≤x≤2 000)
解析:由题意可知总收入y(单位:元)关于x(单位:辆次)的函数关系式为y=0.5x+(2 000-x)×0.8=-0.3x+1 600,0≤x≤2 000.
答案:D
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现在人们注重对普遍存在的诸如造价成本最低而产出利润最大、风险决策、最优化等问题的研究,透过实际问题的背景,抓住本质,挖掘隐含的数量关系,可抽象成二次函数的最值模型.
投物、射击、喷泉灌溉等物体运动的轨迹有某种规律,或者变量的变化具有二次函数关系时,可以通过直角坐标系由实际问题建立抛物线的数学模型,利用图象的性质解答.
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知识拓展在解决应用题时,列出函数的解析式常用的有待定系数法、归纳法及方程法.
(1)待定系数法:已知条件中已给出了含参数的函数关系式,或可确定函数类型,此种情形下应用待定系数法求出函数表达式中的相关参数(未知系数)的值,就可以得到确定的函数解析式;
(2)归纳法:先让自变量x取一些特殊值,计算出相应的函数值,从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数解析式;
(3)方程法:用x表示自变量及其他相关的量,根据问题的实际意义,运用掌握的数学、物理等方面的知识,列出函数关系式,此种方法形式上和列方程解应用题类似,故称为方程法,实际上函数关系式就是含x,y的二元方程.
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【做一做2】 如图所示,某单位计划建造一排连续三个相同的矩形饲养场,现有总长为1的围墙材料,则当每个矩形的长宽之比为 时,能使围成的饲养场的总面积最大.?
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3.分段函数模型
有些实际问题,在事物的某个阶段对应的变化规律不相同,此时我们可以利用分段函数模型来进行刻画.由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际问题中,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.
名师点拨1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏;
2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集;
3.分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.
1
2
3
【做一做3】 已知A,B两地相距150 km.某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地,在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地.把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数表达式是( )
1
2
3
答案:D
一、数学建模的一般步骤
剖析:数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤.
识模就是把应用问题的外部信息与自己已有的内部经验相对照,初步判断问题解决的方向;
析模就是精读问题,做到“咬文嚼字”,抓住关键词,化简、转换问题,注意已知量,发现未知量,挖掘隐含量;
建模是通过数学符号化,把问题转化为数学模型的过程;
解模时我们可以借助计算机等数学工具对所建模型求解;由于应用问题本身的繁杂性、开放性,根据自己理解所建立的模型也有局限性,最后要对模型的解检验,或取或舍,或重新修正模型,直到满意为止.
归纳总结实际问题的解决步骤还可以用下面的口诀表述:
(1)收集数据,画图提出假设;
(2)依托图表,理顺数量关系;
(3)抓住关键,建立函数模型;
(4)精确计算,求解数学问题;
(5)回到实际,检验问题结果.
二、教材中的“思考与讨论”
对例2中的“客房问题”你有什么体会?在现实问题中,有没有与它类似的问题?如果有,请举例说明.
剖析:“客房问题”反映的规律性在实际中有很多典例,实际归结到最后,“客房问题”是一个二次函数模型的具体应用,在现实生活中的“调价问题”与其类似,其模型为:
当某类商品在销售价格为b元时,可售出a件,现欲提价,若单价每提高m元,则销售量减少n件,求提高多少元时销售的总收入最高?
设将商品售价提高x个m元,则总收入为y=(b+xm)·(a-xn)=-mnx2+(am-bn)x+ab.
它是一个自变量为自然数的二次函数,且其二次项系数小于零,根据二次函数的知识知它有最大值.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例1】 某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司,甲分公司现有某型号电脑6台,乙分公司有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台,B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台.已知甲地运往A,B两地每台电脑的运费分别是40元和30元,乙地运往A,B两地每台电脑的运费分别是80元和50元,设甲地调运x台至B地,该公司运往A地和B地的总运费为y元.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)若总运费不超过1 000元,则有几种调运方案?
(3)求总运费最低的调运方案及最低运费.
分析:解答本题首先表示出从甲、乙两地分别运至A,B两地的电脑台数,求得函数的解析式,再利用函数的单调性求出最低运费.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)设甲地调运x台到B地,则剩下(6-x)台电脑调运到A地;乙地应调运(8-x)台电脑至B地,运往A地12-(8-x)=(x+4)台电脑(0≤x≤6,x∈N),
则总运费y=30x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20x+960,
故y=20x+960(x∈N,且0≤x≤6).
(2)若使y≤1 000,即20x+960≤1 000,得x≤2.
因为0≤x≤6,x∈N,所以0≤x≤2,x∈N.
所以x=0,1,2,即有3种调运方案.
(3)因为y=20x+960是R上的增函数,
且0≤x≤6,x∈N,
所以当x=0时,y有最小值,为960.
所以总运费最低的调运方案为从甲地运6台到A地,从乙地运8台到B地、运4台到A地,运费最低为960元.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思通过对本题的求解,我们可得到以下启发:
(1)读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质.本题涉及电脑台数与运费的关系,解答的关键在于表示出运往A,B两地的电脑台数;
(2)根据已知条件建立函数关系式,将实际问题数学化,注意标注自变量的取值范围,如本题中0≤x≤6,且x∈N;
(3)本题通过一次函数的解析式,利用单调性,讨论了最值问题.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 某服装厂现有甲种布料42米,乙种布料30米,现计划用这两种布料生产M,L两种型号的校服共40件.已知做一件M型号的校服需用甲种布料0.8米,乙种布料1.1米,可获利45元;做一件L型号的校服需用甲种布料1.2米,乙种布料0.5米,可获利30元.设生产M型号的校服件数为x,用这批布料生产这两种型号的校服所获的利润为y(单位:元).
(1)写出y(单位:元)关于x(单位:件)的函数解析式,并求出自变量x的取值范围;
(2)该厂在生产这批校服时,当M型号的校服为多少件时,能使该厂所获的利润最大?最大利润为多少?
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)生产M型号的校服为x件时,生产L型号的校服为40-x件,因此生产两种型号的校服所获利润y=45x+30(40-x),
即y=15x+1 200.
所以自变量x的取值为15或16.
(2)因为y=15x+1 200,y随x的增大而增大,所以当x=16时,y取最大值15×16+1 200=1 440,即工厂安排生产M型号的校服16件时,工厂能获最大利润1 440元.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例2】 一位篮球运动员在距篮下4 m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5 m时,达到最大高度为3.5 m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的解析式;
(2)该篮球运动员身高1.9 m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25 m处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?
分析:解决此类问题需以顶点坐标、对称轴、特殊点为突破口.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)由于抛物线的顶点是(0,3.5),故可设其解析式为y=ax2+3.5(a≠0).
因为抛物线过点(1.5,3.05),
所以a·1.52+3.5=3.05,
解得a=-0.2.
所以抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5.
(2)当x=-2.5时,y=2.25.
故球出手时,他跳离地面的高度是2.25-1.9-0.25=0.10(m).
题型一
题型二
题型三
题型四
反思解这类问题一般分为以下四个步骤:
(1)建立适当的平面直角坐标系(若题目中给出,不用重建).
(2)根据给定的条件,找出抛物线上已知的点,并写出坐标.
(3)利用已知点的坐标,求出抛物线的解析式.①当已知三个点的坐标时,可用一般式y=ax2+bx+c(a≠0)求其解析式;②当已知顶点坐标为(h,k)和另外一点的坐标时,可用顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)求其解析式;③当已知抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为(x1,0),(x2,0)时,可设y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)求其解析式.
(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标,从而使问题得到解决.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 某商场购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件,若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y(单位:件)是价格x(单位:元/件)的一次函数.
(1)试求y与x之间的函数关系式;
(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本)
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)依题意设y=kx+b(k≠0),
故y=-30x+960(16≤x≤32).
(2)每月获得利润p=(-30x+960)(x-16)
=30(-x2+48x-512)
=-30(x-24)2+1 920.
故当x=24时,p有最大值,最大值为1 920.
故销售价格定为每件24元时,每月获得的利润最大,最大利润是1 920元.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例3】 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙,并约定在该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中有:①这种消费品的进价为每件14元;②该店月销售量Q(单位:百件)与销售价格P(单位:元)之间的关系如图所示;③每月需各种开支2 000元.
(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润余额最大?并求最大余额.
(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?
题型一
题型二
题型三
题型四
分析:解答本题首先要仔细阅读,读懂题意,明确各种数据之间的关系式,然后建立函数关系式,解答相应问题.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.本题经过了三次建模:(1)根据月销量与销售价格之间的关系图建立Q与P的函数关系;(2)建立利润余额函数;(3)建立脱贫不等式.
2.本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数,在实际问题中,由于在不同的背景下解决的问题发生变化,因此在不同范围中,建立函数模型也不一样,因此分段函数应用很广泛.
3.在构造分段函数时,要力求准确、简捷,做到分段合理,不漏不重.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 某地区的农产品A第x天(1≤x≤20)的销售价格p=50-|x-6|(单位:元/百斤).一农户在第x天(1≤x≤20)农产品A的销售量q=40+|x-8|(单位:百斤).
(1)求该农户在第7天销售农产品A的收入;
(2)问:这20天中该农户在哪一天的销售收入最大?
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)由已知得第7天的销售价格p=49,销售量q=41.
故第7天的销售收入W7=49×41=2 009.
(2)设第x天的销售收入为Wx元,
当1≤x≤6时,Wx=(44+x)(48-x)=-x2+4x+2 112=-(x-2)2+2 116,
故当x=2时,Wx取最大值W2=2 116;
当8≤x≤20时,Wx=(56-x)(32+x)=-x2+24x+1 792=-(x-12)2+1 936,
故当x=12时,Wx取最大值W12=1 936.
因为W2>W7>W12,
所以这20天中该农户在第2天的销售收入最大.
题型一
题型二
题型三
题型四
易错点:忽视问题中变量的实际意义致误
【例4】 如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(a>b),在AB,AD,CB,CD上分别截取AE=AH=CF=CG=x(x>0),设四边形EFGH的面积为y.
(1)写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系式;
(2)求当x为何值时,y取得最大值,最大值是多少?
题型一
题型二
题型三
题型四
错因分析:(1)问中没有注意实际问题中x的取值范围;
(2)问中没有讨论对称轴与区间的关系,从根本上是由(1)问中没明确定义域而造成最后的错误.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思对实际问题中的函数解析式一定要注意自变量x要受实际问题的约束,看似一个细节失误,它将会造成严重问题.例如,本题就直接造成了第(2)问的错误解法,因此大家不要因小失大.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练4】 用一根长为12 m的细铁丝围成一个矩形,要求围成的矩形的长边与短边之比最小为2.求围成矩形的最大面积.
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1一段导线,在0 ℃时的电阻为2欧,温度每增加1 ℃,电阻增加0.008欧,那么电阻R(单位:欧)表示为温度t(单位:℃)的函数关系式为( )
A.R=0.008t
B.R=2+0.008t
C.R=2.008t
D.R=2t+0.008
解得a=0.008,b=2,
故R=0.008t+2.
答案:B
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2一等腰三角形的周长是20,则底边长y是关于腰长x的函数,其解析式为( )
A.y=20-2x(x≤10)
B.y=20-2x(x<10)
C.y=20-2x(5≤x≤10)
D.y=20-2x(5解析:因为腰长为x,
所以底边长为y=20-2x.
答案:D
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3某电子产品的利润y(单位:元)关于产量x(单位:件)的函数解析式为y=-3x2+90x,要使利润获得最大值,则产量应为( )
A.15件 B.30件 C.45件 D.90件
解析:因为y=-3x2+90x=-3(x-15)2+675,
所以当x=15时利润最大,这时产量为15件.
答案:A
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4下表是某工厂产品的销售价格表:
某人有现金10 000元,则最多可购买这种产品 件.?
答案:400
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5已知直角梯形ABCD,如图①所示,动点P从点B出发,由B→C→D→A沿边运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为f(x).如果函数y=f(x)的图象如图②所示,那么△ABC的面积为 .?
解析:由题中图象可知BC=4,CD=5,DA=5,
答案:16
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6某工厂生产某种机器的固定成本为0.5万元,但每生产100台这样的机器需再增加可变成本0.25万元.据市场调研分析,此种机器的年需求量为500台,销售的收入函数为 (单位:万元),其中x是产品售出的数量(单位:百台).
(1)把利润表示为年产量的函数.
(2)年产量为多少时,该工厂所得利润最大?
1 2 3 4 5 6
解:(1)当x≤5时,产品能全部售出;当x>5时,只能售出500台,
故利润y关于年产量x之间的函数关系为y=R(x)-(0.5+0.25x)
(2)当0≤x≤5时,y=-0.5x2+4.75x-0.5,
当x=4.75时,ymax=10.781 25(万元).
当x>5时,y<12-1.25=10.75(万元),
因此当年产量为475台时,该厂所得利润最大.
(共53张PPT)
2.4 函数与方程
2.4.1 函数的零点
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
1.了解函数零点的概念,并会求简单函数的零点.
2.掌握一元二次方程根的存在性定理及会判断一元二次方程根的个数的方法.
3.了解二分法的定义及其原理.
4.了解函数的零点与方程根的联系,能根据具体函数的图象,借助计算器用二分法求相应方程的近似解.
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4
1.函数的零点
(1)概念.
一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即f(α)=0,则α叫做这个函数的零点.
(2)意义.
方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.
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4
名师点拨1.并不是每一个函数都有零点.例如,函数
都没有零点.当函数有零点时,可能不止一个.例如,函数y=x2-9有两个零点.
2.函数零点的求法主要有两种:
(1)代数法:求f(x)的零点,就是求方程f(x)=0的根;
(2)几何法:求f(x)的零点,就是求f(x)图象与x轴交点的横坐标.
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【做一做1-1】 函数f(x)=2x+6的零点是( )
A.(0,6) B.(-3,0)
C.3 D.-3
解析:令f(x)=2x+6=0,解得x=-3,
故所求零点是-3.
答案:D
【做一做1-2】 下列函数中存在零点的是( )
C.f(x)=-x2 D.f(x)=4
解析:在C选项中,令f(x)=-x2=0,解得x=0,
故f(x)=-x2存在零点,其余选项中f(x)=0均无解,不存在零点.
答案:C
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2.二次函数的零点
(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点的个数.
①当Δ>0时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点;
②当Δ=0时,方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根(重根),二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重的零点或说有二阶零点;
③当Δ<0时,方程ax2+bx+c=0没有实数根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数没有零点.
(2)二次函数零点的性质.
①当函数的图象通过零点且穿过x轴时,函数值变号;
②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
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【做一做2-1】 若函数f(x)=x2+ax+b有两个零点2和3,则a-b的值等于 .?
解析:依题意知2和3是方程x2+ax+b=0的两个根,
所以a-b=-11.
答案:-11
【做一做2-2】 已知函数f(x)=ax2+4x+a有二阶零点,则a的值为 .?
解析:由题意可知f(x)是二次函数,且Δ=0,即42-4a2=0,得a=±2.
答案:±2
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3.零点存在性的判断方法
如果函数y=f(x)在一个区间[a,b]上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即f(a)f(b)<0,那么这个函数在这个区间上至少有一个零点,即存在一点x0∈(a,b),使f(x0)=0.
(1)若函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴,则称这样的零点为变号零点;
(2)若函数f(x)的图象通过零点时没有穿过x轴,则称这样的零点为不变号零点.
知识拓展对于任意函数y=f(x),只要它的图象是不间断的,则有
(1)当函数的图象通过零点且穿过x轴时,函数值就变号;
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号.对于y=f(x)的图象是不间断的,有时说成y=f(x)是连续的,都指的是图象在指定区间上是一整条曲线而不是间断的若干段.
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【做一做3】函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间内( )
A.[-2,-1] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[1,2]
解析:因为f(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,所以f(-1)f(0)<0.所以f(x)的零点在区间[-1,0]内.
答案:B
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4.求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
(1)二分法的定义.
对于在区间[a,b]上连续不间断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)“二分法”求函数零点的一般步骤.
已知函数y=f(x)定义在区间D上,求它在D上的一个零点x0的近似值x,使它满足给定的精确度.用二分法求函数零点的一般步骤:
第一步 在D内取一个闭区间[a0,b0]?D,使f(a0)与f(b0)异号,即f(a0)·f(b0)<0.零点位于区间[a0,b0]中.
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第二步 取区间[a0,b0]的中点,则此中点对应的坐标为
计算f(x0)和f(a0),并判断:
(1)如果f(x0)=0,则x0就是f(x)的零点,计算终止;
(2)如果f(a0)·f(x0)<0,则零点位于区间[a0,x0]中,令a1=a0,b1=x0;
(3)如果f(a0)·f(x0)>0,则零点位于区间[x0,b0]中,令a1=x0,b1=b0.
第三步 取区间[a1,b1]的中点,则此中点对应的坐标为
1
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3
计算f(x1)和f(a1),并判断:
(1)如果f(x1)=0,则x1就是f(x)的零点,计算终止;
(2)如果f(a1)·f(x1)<0,则零点位于区间[a1,x1]中,令a2=a1,b2=x1;
(3)如果f(a1)·f(x1)>0,则零点位于区间[x1,b1]中,令a2=x1,b2=b1.
……
继续实施上述步骤,直到区间[an,bn],函数的零点总位于区间[an,bn]中,当区间的长度bn-an不大于给定的精度时,这个区间[an,bn]中的任何一个数都可以作为函数y=f(x)的近似零点,计算终止.
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3
归纳总结1.用二分法求函数的零点的近似值的方法仅适用于函数的变号零点,对函数的不变号零点不适用.
2.利用二分法求得的函数零点可能是近似值,也可能是准确值.用二分法求函数零点时,一次只能求出一个近似值.
记忆口诀函数连续值两端,相乘为负有零点,
区间之内有一数,方程成立很显然.
要求方程近似解,先看零点的区间,
每次区间分为二,分后两端近零点.
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3
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【做一做4-2】 用二分法研究函数f(x)=x2+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈ ,第二次计算 .以上横线应填的内容分别是( )?
A.(0,0.5),f(0.25)
B.(0,1),f(0.25)
C.(0.5,1),f(0.75)
D.(0,0.5),f(0.125)
解析:因为f(0)<0,f(0.5)>0,所以函数f(x)的一个零点x0∈(0,0.5),
答案:A
一、函数的零点是实数值而不是几何中的点
剖析:我们把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点,因此函数的零点不是点,是函数y=f(x)与x轴的交点的横坐标,即零点是一个实数.当函数的自变量取这个实数时,其函数值为零.函数f(x)的零点实际上就是方程f(x)=0的实根,方程f(x)=0有几个实根,函数f(x)就有几个零点.例如,函数f(x)=x+1,当f(x)=x+1=0时仅有一个实根x=-1,所以函数f(x)=x+1有一个零点-1,由此可见函数f(x)=x+1的零点是一个实数-1,而不是一个点.
二、判断函数零点存在性应注意的问题
1.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续曲线,且满足f(a)·f(b)<0,则f(x)的零点不一定只有一个,也可能有多个.例如,图①和②分别是函数f(x)和g(x)的图象,由图知,f(x)与g(x)的图象在[a,b]上连续不间断,且满足f(a)·f(b)<0,图①中函数f(x)在(a,b)内有两个零点,图②中函数g(x)在(a,b)内有三个零点.由此可见,满足题设条件的函数的零点不一定只有一个.
2.当函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续曲线,且在区间(a,b)内至少有一个零点时,不一定就必须有f(a)·f(b)<0.例如,函数f(x)=x2-1在区间(-2,2)内有两个零点,但却有f(-2)·f(2)>0.
3.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象不是连续曲线,则当f(a)·f(b)<0时,f(x)在区间(a,b)内不一定有零点.例如,函数
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
分析:由于函数解析式已给出,因此可通过解方程f(x)=0求得零点.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思本例中的(5)容易得到函数零点是0和4的错解,原因是忽视了函数的定义域.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例2】 对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)在区间(a,b)内( )
A.一定有零点
B.一定没有零点
C.可能有两个零点
D.至多有一个零点
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解析:由于二次函数f(x)=x2+mx+n中的二次项系数大于0,因此该函数的图象大致如图所示.
结合上述图象可知应选C.
答案:C
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练2】 下列图象表示的函数中没有零点的是 ( )
答案:A
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
分析:可以直接解方程f(x)=0进行判断,也可以结合函数图象判断.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思判断函数零点的个数常用以下方法:
(1)解方程f(x)=0,方程根的个数就是函数f(x)的零点的个数;
(2)画出函数f(x)的图象,该图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数;
(3)将方程f(x)=0变形为g(x)=h(x),在同一坐标系中画出函数g(x)和h(x)的图象,两个图象交点的个数就是原函数f(x)零点的个数.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例4】 当a取何值时,关于x的方程ax2-2x+1=0的一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内?
分析:对a分a=0,a>0,a<0三种情况讨论,并利用零点的特征性质来解决.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练4】 已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1图象的零点至少有一个在原点右侧,求实数m的取值范围.
(2)当m≠0时,∵f(0)=1,∴抛物线过点(0,1).
若m<0,f(x)的开口向下,如图①所示.
二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧,一个在原点左侧.
若m>0,f(x)的开口向上,如图②所示.
②
①
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例5】 求方程x5-x3-3x2+3=0的无理根.(精确到0.1)
分析:求方程的无理根问题可以通过因式分解,发现其有理根,然后转化为求另一个方程的无理根问题.方程x5-x3-3x2+3=0的无理根是x3-3=0的根,只需求出g(x)=x3-3的零点即可.
解:令f(x)=x5-x3-3x2+3,
则f(x)=(x2-1)(x3-3),显然无理根就是x3-3=0的根.
令g(x)=x3-3,以下用二分法求函数g(x)的零点.
因为g(1)=-2<0,g(2)=5>0,可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间,列表如下:
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
取区间[1.437 5,1.445 312 5]两个端点精确到0.1的近似值1.4,所以原方程的无理根的近似值为1.4.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思利用二分法求方程近似解的步骤:(1)构造函数,转化为求函数的零点;(2)明确精确度ε和函数的零点所在的区间(通常区间的左右端点相差ε);(3)利用二分法求函数的零点;(4)归纳结论.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
用二分法逐次计算,列表如下:
因为1.265625-1.2578125=0.0078125<0.01,所以1.26是函数f(x)的零点的近似值,1.26.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
易错点:混淆函数零点存在的条件致误
【例6】 若函数y=f(x)在区间[-2,2]上的图象是连续的,且方程f(x)=0在[-2,2]上仅有一个实根0,则f(-2)·f(2)的值( )
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法判断
错解:由于函数f(x)在区间[-2,2]上有实根,因此必有f(-2)·f(2)<0,所以选B.
错因分析:若f(x)的图象在[a,b]上是连续的,且f(a)·f(b)<0,则f(x)在[a,b]上至少有一个零点,但当f(x)在[a,b]上有零点时,不一定满足f(a)·f(b)<0,也可能有f(a)·f(b)>0.错解中混淆了函数零点存在的条件.
正解:当f(x)=|x|时,f(x)在[-2,2]上有零点0,但f(-2)·f(2)>0;当f(x)=x时,f(x)在[-2,2]上有零点0,但f(-2)·f(2)<0,所以f(-2)·f(2)的符号不确定.故选D.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练6】函数g(x)=-3(1-x)2在区间[0,2]上零点的个数为 .?
解析:令g(x)=-3(1-x)2=0,得x=1,且1∈[0,2],
故有1个零点.
答案:1
1 2 3 4 5 6 7
1下列函数中存在零点的是( )
A.f(x)=|x|+1
D.f(x)=x2-x+3
令f(x)=0可得x=0,
故该函数有零点.
答案:C
1 2 3 4 5 6 7
答案:C
1 2 3 4 5 6 7
3用二分法求方程x3+3x-7=0在(1,2)内近似解的过程中,设函数f(x)=x3+3x-7,算得f(1)<0,f(1.25)<0,f(1.5)>0,f(1.75)>0,则该方程的根落在区间 ( )
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,1.75) D.(1.75,2)
解析:因为f(1)<0,f(1.5)>0,
所以方程的根在(1,1.5)内.
又因为f(1.25)<0,
所以方程的根在(1.25,1.5)内.
答案:B
1 2 3 4 5 6 7
4函数f(x)=x3+3x-1在以下哪个区间内一定有零点 ( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
解析:f(-1)×f(0)=-5×(-1)=5>0;
f(0)×f(1)=-1×3=-3<0;
f(1)×f(2)=3×13=39>0;
f(2)×f(3)=13×35=455>0.
故f(x)在(0,1)内一定有零点.
答案:B
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5已知函数y=x2+ax+3有一个零点为2,则a的值为 .?
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6下面是连续函数f(x)在[1,2]上一些点的函数值:
由此可判断,方程f(x)=0的一个近似解为 .(精确到0.1)?
解析:由题中表格对应的数值可得,函数零点一定在区间(1.406 5,1.438)上,由精确度可知近似解为1.4.
答案:1.4
7求函数y=x3-4x的零点,并画出它的图象.
解:因为x3-4x=x(x2-4)=x(x-2)(x+2),
所以函数y=x3-4x的零点为0,-2,2,这三个零点把x轴分成4个区间:
(-∞,-2],(-2,0],(0,2],(2,+∞),在这4个区间内,取x的一些值(包括零点).
列出这个函数的对应值表:
1 2 3 4 5 6 7
在平面直角坐标系中描点作图,图象如图所示.
(共43张PPT)
本章整合
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题一 分段函数的相关问题
1.因为分段函数在定义域的不同部分有不同的对应关系,所以分段函数可以将不同函数综合在一起,体现了知识的重组和再生;
2.解决分段函数问题能体现分类讨论的思想方法和函数性质的综合应用,展现了基础知识的横向联系,数学方法上的纵向引申,在考查知识上有一定的弹性,成为历年高考的必考知识点之一.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
提示:应讨论1-a,1+a与1的大小关系,即讨论a与0的大小关系.
解析:(1)当a>0时,1-a<1,1+a>1,
有f(1-a)=2(1-a)+a=2-a,
f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a,
即2-a=-1-3a,
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
提示:f(x)在R上单调递减,应要求f(x)在每一段上都要单调递减,并且还应使左边一段的最小值不小于右边一段的最大值.
答案:(-∞,-2]
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
提示:转化为函数f(x)的图象与平行于x轴的直线至少有2个不同交点的问题进行求解.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题二 函数图象及其应用
函数的图象是变量间的直观反映,能较形象地分析出变量间的变化趋势,也是研究函数性质(最值、单调性)的有力工具,并且函数图象的应用正是体现了数形结合的重要思想.如果能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来,就能促使抽象思维和形象思维的和谐统一,通过对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观为精确,从而使问题得到解决.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用1某地一天内的气温Q(单位:℃)与时刻t(单位:h)之间的关系如图所示,令C(t)表示时间段[0,t]内的温差(即时间段[0,t]内最高温度与最低温度的差).C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则正确的图象大致是( )
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
解析:由题图知Q与t之间的关系的图象过点(0,-2),(4,-4),(8,0),(24,-12),当t=0时,C(t)=0;当t=4时,C(t)=2;当t=8时,C(t)=4;当t=24时,C(t)=16.则C(t)与t的函数关系的图象过点(0,0),(4,2),(8,4),(24,16).可知选项D正确.
答案:D
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用2求函数y=|x+2|-|x-2|的最小值.
提示:思路一:画出函数的图象,利用函数最小值的几何意义,写出函数的最小值;思路二:利用绝对值的几何意义,转化为数轴上的几何问题:数轴上到±2两点的距离差的最小值.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
解:方法一:y=|x+2|-|x-2|
其图象如图所示.
由图象,得函数的最小值是-4.
方法二:函数的解析式y=|x+2|-|x-2|的几何意义是:P是数轴上任意一点,函数y的值是点P到-2,2的对应点A,B的距离的差,即y=|PA|-|PB|,如图所示.
观察数轴可得,-|AB|≤|PA|-|PB|≤|AB|,
故函数的最小值为-4.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题三 函数性质中的含参数问题
研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手,分析函数的图象及其变化趋势.从近几年的高考形式来看,对函数性质的考查,多数情况下都含有参数,这就需要合理地对参数进行分类讨论及界定参数的性质.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用1若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a= .?
答案:-6
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用2判断f(x)=|x+a|-|x-a|(a∈R)的奇偶性.
提示:要注意字母a对函数性质的影响,即对a进行分类讨论.
解:函数的定义域为(-∞,+∞),关于原点对称.
(1)当a≠0时,f(-x)=|-x+a|-|-x-a|
=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x).
(2)当a=0时,函数f(x)=|x+a|-|x-a|变为f(x)=|x|-|x|=0,
有f(-x)=f(x)=0,且f(-x)=-f(x)=0.
综上可知,当a∈R,且a≠0时,函数f(x)为奇函数;
当a=0时,函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用3已知函数f(x)=-x(x-a),x∈[a,1],
(1)若函数f(x)在区间[a,1]上是单调函数,求a的取值范围;
(2)求f(x)在区间[a,1]上的最大值g(a).
提示:(1)对称轴决定着二次函数的单调性;
(2)对对称轴进行讨论,并结合所给的区间求解.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题四 函数与方程的思想在解题中的应用
所谓函数的思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,剔除问题中的非数学因素,抽象其数学特征,用函数的形式把这种数量关系表示出来,并加以研究,运用函数的性质使问题得到解决的思想.
所谓方程的思想,就是在解决问题时,用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的制约关系,列出方程(组),从而求出未知数及各量的值,使问题得到解决.所设的未知数,沟通了变量之间的联系.方程可以看作未知量与已知量相互制约的条件,它架设了由已知探索未知的桥梁.事实上,方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究,方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用2设函数f(x)=ax+2a+1(a≠0),在-1≤x≤1上f(x)存在一个零点,求实数a的取值范围.
提示:先转化为f(-1)f(1)≤0,再结合函数的图象解不等式即可.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题五 有关抽象函数的问题
抽象函数是中学数学中的一个难点,因为抽象,解题时思维常常受阻,思路难以展开.它常以函数或方程的形式出现,常见的题型是求某些特殊值,这类抽象函数问题一般已知条件会给出定义域、某些性质及运算式.其解法常用“赋值法”,即在其定义域内令变量取某特殊值来求解,关键是抽象问题具体化.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用1定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)提示:应用函数的奇偶性,将变量1-m和m转化到同一个单调区间上,利用函数的单调性求解.
解:因为函数f(x)是偶函数,所以f(x)=f(|x|),
即f(1-m)=f(|1-m|),f(m)=f(|m|).
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用2已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的a,b∈R,满足f(ab)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论.
提示:题目中给出的是抽象函数,而要求的是比较特殊的值,可以先考虑用赋值法,给出具体的值,再根据题意进行判断.
解:(1)令a=b=0,代入得f(0)=0·f(0)+0·f(0),则f(0)=0.令a=b=1,代入得f(1)=1·f(1)+1·f(1),则f(1)=0.
(2)f(x)是奇函数.
证明如下:由f(1)=f[(-1)2]=-f(-1)-f(-1),得f(-1)=0.
令a=-1,b=x,则f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x).又因为f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)为奇函数.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用3(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(4-x),且f(2-x)+f(x-2)=0,求f(2 016)的值;
(2)已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在[-2,1]上的值域.
提示:(1)可通过t=x-2进行代换,由f(-t)+f(t)=0,得f(x)为奇函数;
(2)通过当x>0时,f(x)>0,判断函数的单调性,再通过令y=-x进行代换,则f(0)=f(x)+f(-x),进而对x=y=0赋值得f(0)的值,从而判断出f(x)的奇偶性,由此求解.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
解:(1)由f(2-x)+f(x-2)=0,
令t=x-2,有f(-t)+f(t)=0.
又f(x)的定义域为R,关于原点对称,
所以f(x)为奇函数,则有f(0)=0.
又因为f(x+4)=f[4-(x+4)]=f(-x)=-f(x),
所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),
所以f(2 016)=f(2 008)=f(2 000)=…=f(0)=0.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
(2)任取x1,x2∈R,且x10.
由条件当x>0时,f(x)>0,知f(x2-x1)>0.
因为f(x2)=f[(x2-x1)+x1]
=f(x2-x1)+f(x1)>f(x1),
所以f(x)为增函数.
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x).
又令x=y=0,得f(0)=0.故f(-x)=-f(x).
又f(x)的定义域为R,关于原点对称,
所以f(x)为奇函数.
于是f(1)=-f(-1)=2,f(-2)=2f(-1)=-4.
故f(x)在[-2,1]上的值域为[-4,2].
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1(课标全国Ⅰ高考)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
解析:由于f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
于是f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-[f(x)g(x)],
因此f(x)g(x)是奇函数,故A错;
|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),
因此|f(x)|g(x)是偶函数,故B错;
f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-[f(x)|g(x)|],
因此f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;
|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,
因此|f(x)g(x)|是偶函数,故D错.
答案:C
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2(浙江高考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0A.c≤3 B.3C.69
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解析:因为f(-1)=f(-2)=f(-3),
所以-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c.
由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,整理得3a-b=7,
由-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c,
整理得5a-b=19,
故f(-1)=f(-2)=f(-3)=c-6.
又因为0所以0解得6答案:C
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答案:D
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4(北京高考)加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )
A.3.50分钟
B.3.75分钟
C.4.00分钟
D.4.25分钟
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答案:B
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5(湖南高考)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
解析:由f(x)与g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,知f(-1)=f(1),g(-1)=-g(1).
又由f(x)-g(x)=x3+x2+1,
令x=-1,得f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1,
即f(1)+g(1)=1.故选C.
答案:C
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答案:A
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7(湖北高考)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析:根据题意,刚开始距离随时间匀速减小,中间有一段时间距离不再变化,最后随时间变化距离变化增大,故选C.
答案:C
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
8(课标全国Ⅱ高考)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)= .?
解析:∵f(x)为偶函数,
∴f(-1)=f(1).
又f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴f(1)=f(3).
∴f(-1)=3.
答案:3
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9(课标全国Ⅱ高考)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是 .?
解析:∵f(x)是偶函数,
∴f(-x)=f(x)=f(|x|).
∴f(x-1)>0可化为f(|x-1|)>f(2).
又f(x)在[0,+∞)上单调递减,
∴|x-1|<2,
解得-2即-1答案:(-1,3)
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解析:当a≤0时,f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0,
于是f(f(a))=f(a2+2a+2)=-(a2+2a+2)2,
令-(a2+2a+2)2=2,显然无解;
当a>0时,f(a)=-a2<0,于是f(f(a))=f(-a2)=(-a2)2+2(-a2)+2=a4-2a2+2,
令a4-2a2+2=2,
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11(安徽高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)= .?
解析:∵-1≤x≤0,
∴0≤x+1≤1,
