(共55张PPT)
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
3.1 指数与指数函数
3.1.1 实数指数幂及其运算
1.理解有理指数幂的含义,会用幂的运算法则进行有关计算.
2.通过具体实例了解实数指数幂的意义.
3.通过本节的学习,进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想,可以利用计算器或计算机实际操作,感受“逼近”的过程.
1
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1.整数指数幂
(2)正整指数幂的运算法则:
①am·an=am+n;
②(am)n=amn;
③am÷an=am-n(m>n,a≠0);
④(ab)n=anbn;
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①am·an=am+n;
②(ab)n=anbn;
③(am)n=amn.
同时,将指数的范围扩大到了整数.
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【做一做1-1】 已知a>0,m,n为整数,则下列各式中正确的有( )
B.an·am=am·n
C.(an)m=am+n
D.1÷an=a0-n
解析:只有选项D是按照幂的运算法则进行运算的.选项A应为
am-n,选项B应为am+n,选项C应为amn.
答案:D
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【做一做1-2】化简:(a2b3)-2·(a5b-2)0÷(a4b3)2的结果为 .?
解析:原式=(a2)-2·(b3)-2·1÷(a4)2(b3)2
=a-4·b-6÷a8b6
=a-12b-12.
答案:a-12b-12
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2.根式
(2)n次方根的定义:如果存在实数x,使得xn=a(a∈R,n>1,n∈N+),则x叫做a的n次方根.
(3)n次方根的性质:
①在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,零的奇次方根是零.设a∈R,n是大于1的奇数,则a的n次方根
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归纳总结正数开方要分清,根指奇偶大不同,
根指为奇根一个,根指为偶双胞生.
负数只有奇次根,算术方根零或正,
正数若求偶次根,符号相反值相同.
负数开方要慎重,根指为奇才可行,
根指为偶无意义,零取方根仍为零.
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答案:-8
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(2)有理指数幂的运算法则:
①aαaβ=aα+β(a>0,α,β∈Q);
②(aα)β=aαβ(a>0,α,β∈Q);
③(ab)α=aαbα(a>0,b>0,α∈Q).
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名师点拨0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义,0的零指数幂也没有意义,有理指数幂的三条运算法则实际上可推广到实数指数幂.
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答案:D
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4.无理指数幂
教材中通过实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义.
一般地,无理指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.
另外,我们要熟记经常要用的公式:
知识拓展在进行幂和根式的化简时,一般是先将根式化成幂的形式,并化小数指数幂为分数指数幂,且尽可能地统一成分数指数幂的形式,再利用幂的性质进行化简、求值、计算,以利于运算,达到化繁为简的目的.
对于根式的计算结果,并不强求统一的表示形式,一般用分数指数幂的形式来表示.如果有特殊要求,那么按要求给出结果,但结果中不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既含有分母又含有负指数,即结果必须化为最简形式.
题型一
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题型五
反思在进行有关幂的运算时,要注意化归思想的运用;另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则.熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键.
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分析:根据根式的性质进行化简.
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反思在化简中需要开偶次方时,最好是先用绝对值表示开方的结果,再去掉绝对值,化简时要结合条件,有时应进行分类讨论.
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反思通过本例题,我们能得到如下结论:
(1)在分数指数幂中,若幂指数小于0,可先将其转化为正指数,再用公式化为根式.
(2)当所化根式含有多重根号时,应先由里向外用分数指数幂的形式写出,然后进行化简.
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分析:此题不宜采用直接求值的方法,要考虑把x+y及xy整体代入求值.
题型一
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反思利用整体代入法求值注意以下几点:
(1)注意对已知条件式的变形;
(2)注意完全平方公式、平方差公式、立方差公式等的应用;
(3)注意开方时对取值符号的讨论.
题型一
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答案:A
1 2 3 4 5 6
2若a8=6(a>0),则a等于( )
答案:C
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答案:A
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答案:44
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
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3.1.2 指数函数
1.理解指数函数的概念和意义,能画出具体指数函数的图象.
2.探索并理解指数函数的单调性与特殊点等性质.
3.利用计算工具,比较指数函数增长的差异.
1
2
1.指数函数的定义
函数y=ax(a>0,a≠1,x∈R)叫做指数函数,其中x是自变量.
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(2)指数函数解析式y=ax(a>0,且a≠1)的特征:
①底数a为大于0且不等于1的常数,不含有自变量x;
②指数位置是自变量x,且x的系数是1;
③ax的系数是1.
一个函数解析式只有完全满足上述条件时才是指数函数.
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2.指数函数的图象和性质
1
2
名师点拨1.在指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)中,不论a取何值,总有f(0)=a0=1,所以其图象经过定点(0,1).在指数型函数y=k·af(x)+b中,令f(x)=0,若得x=x0,则其图象经过定点(x0,k+b).
2.函数y=a|x|(a>0,且a≠1)不是指数函数,但它与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)有一定的联系,它的图象和性质如下表:
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1
2
【做一做2-1】 函数y=2-x的图象是( )
答案:B
【做一做2-2】 在函数y=ax-1+2 016(a>0,且a≠1)中,无论a取何值恒经过一个定点,则这个定点的坐标为 .?
解析:函数y=ax的图象经过一个定点(0,1),在函数y=ax-1+2 015中,令x-1=0,即x=1,得y=2 017,则定点坐标为(1,2 017).
答案:(1,2 017)
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【做一做2-3】 (1)已知3x≥9,求实数x的取值范围;
(2)已知0.2x+1<5,求实数x的取值范围.
解:(1)因为3>1,所以指数函数y=3x在R上为增函数.
由3x≥9=32,可得x≥2,即x的取值范围是[2,+∞).
(2)因为0<0.2<1,所以指数函数y=0.2x在R上为减函数.
所以0.2x+1<0.2-1,所以x+1>-1.
所以x>-2,即x的取值范围是(-2,+∞).
一、指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的函数值的变化规律
剖析:先从具体函数入手:
列表:
从上表中很容易发现:①当x<0时,总有2x>3x;②当x>0时,总有2x<3x;③当x从1增加到3,y=2x的函数值从2增加到8,y=3x的函数值从3增加到27,说明当x>0时,函数y=3x的函数值比y=2x的函数值增长得快.
对于指数函数y=ax(a>0,且a≠1),将底数a由2变为3,发现它们的图象发生了显著变化,在第一象限内,底数a越小,函数的图象越接近x轴.
归纳总结指数幂ax和1的比较:
当x<0,a<1或x>0,a>1时,ax>1,即指数x和0比较,底数a和1比较,当不等号的方向相同时,ax大于1,简称为“同大”;
当x<0,a>1或x>0,a<1时,ax<1,即指数x和0比较,底数a和1比较,当不等号的方向相反(异)时,ax小于1,简称为“异小”.
因此简称为“同大异小”.
知识拓展1.当底数a的大小不确定时,必须分“a>1”和“0
2.当01时,x→-∞,y→0.当a>1时,a的值越大,图象随x增大递增的速度越快;当0三、教材中的“?”
指数函数y=ax(a>0,且a≠1),当a>1时,x取何值,y>1?x取何值,0剖析:当a>1时,若x>0,则y>1;若x<0,则0当01;若x>0,则0题型一
题型二
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分析:求指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域主要分析f(x)的定义域和值域.
题型一
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题型四
题型五
反思1.对于指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1),其定义域就是函数f(x)的定义域,可按照求函数定义域的一般方法进行求解;
2.求指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的值域时,通常采用逐步递推的方法,先确定f(x)的取值范围,再结合指数函数的单调性求得原函数的值域.
题型一
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解:(1)①指数函数y=3.3x在R上为增函数.因为0.1<0.2,所以3.30.1<3.30.2.
②因为1.70.3>1,0.93.1<1,
所以1.70.3>0.93.1.
③当a>1时,函数y=ax在R上是增函数,此时a1.3当0a2.5.
综上,当a>1时,a1.3当0a2.5.
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反思1.在进行幂值的大小比较时,若底数相同,则可根据指数函数的单调性得出结果;若底数不相同,则首先考虑能否化为同底数,然后根据指数函数的单调性得出结果;不能化成同底数的,要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较,从而得出结果.总之,比较时要尽量转化成同底的形式,根据指数函数的单调性进行判断.
2.函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性可按如下规则确定:
(1)当a>1时,函数y=af(x)的单调性与f(x)的单调性相同;
(2)当0(3)当底数a不确定时,要分a>1和0题型一
题型二
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【例3】 先作出函数y=2x的图象,再通过图象变换作出下列函数的图象.
(1)y=2x-2,y=2x+1;
(2)y=2x+1,y=2x-2;
(3)y=-2x,y=2-x,y=-2-x.
分析:先作出y=2x的图象,再向左(右)、上(下)平移分别得到第(1)(2)题中函数的图象;由y=2x的图象作关于x轴,y轴,原点的对称变换便得第(3)题中函数的图象.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:列表:
根据上表中x,y的对应值在平面直角坐标系中描点作图,函数y=2x的图象如图①所示.
①
(1)函数y=2x-2的图象可以由y=2x的图象向右平移2个单位得到,函数y=2x+1的图象可以由y=2x的图象向左平移1个单位得到.图象如图①所示.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(2)函数y=2x+1的图象可以由y=2x的图象向上平移1个单位得到,函数y=2x-2的图象可以由y=2x的图象向下平移2个单位得到.图象如图②所示.
②
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(3)函数y=2-x的图象由y=2x的图象关于y轴对称后得到;函数y=-2x的图象由y=2x的图象关于x轴对称后得到;函数y=-2-x的图象由y=2x的图象关于原点对称后得到.图象如图③所示.
③
题型一
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(1)确定a的值;
(2)求函数的定义域;
(3)求函数的值域;
(4)讨论函数的单调性.
分析:可通过奇函数的定义,得f(-x)+f(x)=0,推导出a的值;而求函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围;值域求解通常可利用单调性逐步求解.
题型一
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反思把握函数的定义域、值域、奇偶性及单调性的定义是解决本题的关键.
题型一
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题型一
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题型四
题型五
易错点:忽视变量的取值范围致误
【例5】 求函数y=4x-2x+1+3,x∈(-∞,1]的值域.
错解:(换元法)因为y=(2x)2-2·2x+3,
所以令2x=t,
则原函数化为y=t2-2t+3=(t-1)2+2.
所以当t=1时,ymin=2,即y≥2,
即函数y=4x-2x+1+3,x∈(-∞,1]的值域为[2,+∞).
错因分析:忽视了新的自变量t的取值范围,而使y的取值范围扩大.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
正解:∵原函数可化为y=22x-2·2x+3,令t=2x,x∈(-∞,1],
∴t∈(0,2].
∴y=t2-2t+3=(t-1)2+2.
当t=1时,ymin=2;
当t=2时,ymax=22-2×2+3=3.
故函数的值域为[2,3].
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练5】 已知函数f(x)=9x-2×3x+4,x∈[-1,2],求f(x)的最大值与最小值.
又因为y=t2-2t+4=(t-1)2+3,
所以当t=1时,此时x=0,f(x)取最小值3;
当t=9时,此时x=2,f(x)取最大值67.
1 2 3 4 5 6
1下列函数中是指数函数的是( )
A.y=(-4)x B.y=-4x
C.y=42x D.y=4x+2
解析:因为y=42x=16x,所以y=42x是指数函数.
答案:C
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2已知集合A={y|y=31-x,x∈R},B={x|1≤x≤4},则 ( )
A.A∩B=? B.A∩B=[1,3]
C.A∪B=(0,+∞) D.A∩B=(0,4]
解析:由题意知,A=(0,+∞).因为B=[1,4],
所以A∩B=[1,4],A∪B=(0,+∞).
答案:C
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答案:C
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答案:A
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5若函数f(x)=(3a-2)x在R上单调递减,则实数a的取值范围是 .?
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6已知函数y=ax+b(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,试确定a,b的取值范围.
分析:函数y=ax+b的图象是由y=ax的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位得到的,其形状与y=ax的图象相同.
解:如图所示,由图象经过第一、三、四象限,可知a>1.当x=0时,y<0,
即a0+b<0,故b<-1.
故a,b的取值范围分别是(1,+∞),(-∞,-1).
(共41张PPT)
3.2 对数与对数函数
3.2.1 对数及其运算
1.理解对数的概念及其运算性质,掌握积、商、幂的对数的运算法则.
2.知道换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
3.了解对数的发现历史及对简化运算的作用.
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1.对数的概念
(1)如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作b=logaN(a>0,且a≠1),其中a叫做对数的底数,N叫做真数;
(2)以10为底的对数叫做常用对数,即log10N,记作lg N;?
(3)以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数,即logeN,记作ln N.?
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名师点拨指数式和对数式的关系如图所示:
对数式logaN(a>0,且a≠1)可看作一记号,表示关于x的方程ax=N(a>0,且a≠1)的解;也可以看作一种运算,即已知底为a(a>0,且a≠1)的幂为N,求幂指数的运算,因此对数式logaN又可看作幂运算的逆运算.
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2.对数的性质
(1)0和负数没有对数.
(2)loga1=0(a>0,且a≠1).
(3)logaa=1(a>0,且a≠1).
名师点拨在对数logaN=b中,规定真数N>0.这是由于在实数范围内,正数的任何次幂都是正数,因而ab=N>0,故要求对数的真数必须大于0.
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答案:D
【做一做2-2】 若log3(log2x)=0,则x= .?
解析:由已知得log2x=1,故x=2.
答案:2
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3.积、商、幂的对数的运算法则
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名师点拨1.应用公式时需要注意法则的适用范围,并且公式可以正用、逆用和变形用.
2.当心记忆错误:loga(MN)≠logaM·logaN,loga(M±N)≠logaM±logaN.
3.虽然loga(M+N)≠logaM+logaN,但并不是说loga(M+N)与logaM+logaN一定不相等,对于某些M,N的取值,loga(M+N)=logaM+logaN是成立的.例如,当M=2,N=2时,loga(2+2)=loga2+loga2=loga4.
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【做一做3-1】 对于a>0,a≠1,下列说法中正确的是 ( )
①若M=N,则logaM=logaN;
②若logaM=logaN,则M=N;
③若logaM2=logaN2,则M=N;
④若M=N,则logaM2=logaN2.
A.①③ B.②④
C.② D.①②③④
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解析:在①中,当M=N≤0时,logaM与logaN无意义,故①不成立;
在②中,当logaM=logaN时,必有M=N>0成立,故②成立;
在③中,当logaM2=logaN2时,有M≠0,N≠0,且M2=N2,即|M|=|N|,但未必有M=N.例如,当M=2,N=-2时,有logaM2=logaN2,但M≠N,故③不成立;
在④中,当M=N=0时,logaM2与logaN2均无意义,故④不成立.
答案:C
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名师点拨1.在换底公式中,所换的新底数可以是大于0且不等于1的任意实数;
2.如果不做特殊要求,那么一般换底都换成常用对数.
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3
一、解读对数的定义
剖析:(1)对数式x=logay是指数式y=ax的另一种表达形式,
其本质相同.对数式中的真数y就是指数式中的函数值y,而对数x是指数式中的指数x,对数式与指数式的关系如图所示.
(2)对数x=logay中,规定a>0,且a≠1的原因.
①若a<0,则y为某些数值时,x不存在,如(-2)x=3没有实数解,即log(-2)3不存在,为此,规定a不能小于0;
②若a=0,则当y≠0时,logay不存在;当y=0时,loga0有无数个值,不能确定,为此,规定a≠0;
③若a=1,则y不为1时,x不存在,如log12不存在;而当a=1,y=1时,x可以为任何实数,不能确定,为此,规定a≠1.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
分析:本题可以通过已知条件得到x,y,将x,y代入目标式子求值;或将目标式子化为指数式,再取对数,利用对数的运算性质解决.其中指数式与对数式的转化是解题的关键.
题型一
题型二
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题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思1.把指数式改写成对数式时,指数式的底数在对数式中仍然位于底数位置,指数式的指数变为对数式中的对数,指数式中的幂值变为对数式中的真数.
2.在进行指数式与对数式的互化时,一定要保证对数式中的真数大于0.
3.注意常用对数与自然对数的表示方法.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解析:由log39=2应得32=9,故C项中两式的互化不正确.
答案:C
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
分析:通过对数运算性质的正用和逆用,转化底数或真数,进行化简计算.
解:(1)(lg 2)2+lg 5·lg 2+lg 5
=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5
=lg 2·lg 10+lg 5
=lg 2+lg 5=lg 10=1.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思利用对数运算性质化简或计算时,注意以下几点:
(1)“收”,将同底的两对数的和(差)“收”成积(商)的对数;
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差);
(3)对真数中含有多重根号的对数式的化简,应从内到外逐层化简;
(4)对于常用对数的化简,要充分利用“lg 2+lg 5=1”,“lg 2=1-lg 5”,“lg 5=1-lg 2”来解题.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例4】 已知log23=a,3b=7,用含a,b的式子表示log1256.
分析:可以先把56和12分别用以2为底的指数表示出来,也可以先用换底公式把log1256换成以3为底的对数,或先把log23和log1256换成以10为底的对数,然后根据已知条件用a,b表示log1256.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数,从而把已知对数和所求对数都换成新的对数,再代入求值即可.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
易错点:忽视对数的底数与真数的条件致错
【例5】 已知log(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值.
错解:由对数logaN的性质可得x2+3x=x+3.解得x=1或x=-3.
错因分析:错解中忽视了“对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1”这一隐含条件,没有进行检验,导致出错.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思由对数的定义可知,对数logaN的底数a>0,且a≠1,真数N>0,因此我们在解题时一定要注意这些限制条件,若忽视了这些条件,则很容易出错.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:因为lg x+lg y=2lg(x-2y),
所以xy=(x-2y)2,
即x2-5xy+4y2=0.
所以(x-y)(x-4y)=0,
解得x=y或x=4y.
因为x>0,y>0,x-2y>0,
所以x=y应舍去.
所以x=4y,
1有下列说法:
①零和负数没有对数;
②任何一个指数式都可以化成对数式;
③以a(a>0,且a≠1)为底1的对数等于0;
④以3为底9的对数等于±2;
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①③正确,②错误,
如(-2)2=4,(-1)2=1等不能写成对数式;
因为log39=log332=2,所以④错误;
因为log3(-5)无意义,所以⑤错误.
答案:B
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2若a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子中正确的个数是( )
①logax·logay=loga(x+y)
②logax-logay=loga(x-y)
④logaxy=logax·logay
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:A
1 2 3 4 5
答案:2
1 2 3 4 5
4计算2log210+log20.04= .?
解析:原式=log2102+log20.04=log24=2.
答案:2
1 2 3 4 5
(共47张PPT)
3.2.2 对数函数
1.理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型.
2.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象.
3.通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系.
4.熟练掌握对数函数的图象和性质.
1
2
1.对数函数的定义
函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)称为对数函数,其中x是自变量.
名师点拨1.对数函数也采取形式化的定义方式,即形如y=logax(a>0,a≠1,x>0)的函数叫做对数函数.对数函数的解析式具有以下特征:对数符号前面的系数等于1;对数的底数必须是大于0且不等于1的实数;对数的真数仅为自变量x.
2.对数函数的解析式中其底数与指数函数解析式中的底数在范围上是一样的,即a>0,且a≠1.
3.由对数函数的定义可知,对数函数与指数函数的定义域和值域恰好互换.
1
2
答案:②
1
2
2.对数函数的图象与性质
1
2
归纳总结1.对数函数的图象都经过定点(1,0)是因为不论a取何值,总有loga1=0.对于函数y=logaf(x)+b(a>0,a≠1),若令f(x)=1,解得x=x0,则该函数图象一定经过定点(x0,b).
3.设y1=logax,y2=logbx,其中a>1,b>1(或0当x>1时,“底大图低”,即若a>b,则y1当0b,则y1>y2.
4.对于对数函数y=logax,当y=1时,x=a,而a恰好又是对数函数的底数,这就启发我们,不妨作直线y=1,它与对数函数的图象相交,交点的横坐标恰好就是对数函数的底数,用这种办法可以快速地比较出多个对数函数的底数的大小.
1
2
【做一做2-1】 下列函数中,在区间(0,+∞)上不是增函数的是( )
A.y=5x B.y=lg x+2
答案:D
1
2
【做一做2-2】 函数f(x)=|log2x|的图象是( )
答案:A
1
2
【做一做2-3】 若a>0,且a≠1,则函数y=loga(x-1)-1的图象恒过点 .?
解析:由函数y=logax的图象恒过点(1,0)可知,
当x-1=1,即x=2时,y=-1.
答案:(2,-1)
一、底数对对数函数图象的影响
剖析:在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=log2x及y=log3x的图象,如图所示,可以看出,底数越大,图象越靠近x轴.同理,当0类似地,在同一平面直角坐标系中分别作出y=logax(a>1)及y=logax(0二、比较对数值大小的方法总结
剖析:利用对数函数的性质可以比较两个对数的大小,常用的方法是:当底数相同真数不相同时,直接利用对数函数的单调性进行比较,即当a>1时,在(0,+∞)上是增函数,当0对于多个对数的大小比较,通常先找出(-∞,0),(0,1),(1,+∞)中的各数,然后把位于同一区间中的数进行比较.
三、函数y=|logax|(a>0,a≠1)与y=loga|x|(a>0,a≠1)的图象与性质
剖析:(1)函数y=|logax|(a>0,a≠1)的图象与性质
(2)函数y=loga|x|(a>0,a≠1)的图象与性质
四、教材中的“?”
对数函数y=logax(a>0,且a≠1),当a>1,x取何值时,y>0?x取何值时,y<0?0剖析:结合对数函数的图象可知,
当a>1时,若x>1,则y>0;若0当01,则y<0;若00.
实际上,观察对数函数的图象不难发现,对数函数中的值y=logmn有以下规律:
(1)当(m-1)(n-1)>0,即m,n的取值范围相同(相对于“1”而言)时,logmn>0;
(2)当(m-1)(n-1)<0,即m,n的取值范围相反(相对于“1”而言)时,logmn<0.有了以上规律,我们再判断对数值的正负就很简单了.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
分析:按照求函数定义域的基本要求以及对数式中“真数大于0”这一限制条件,列不等式组求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思根据解析式,求与对数有关的函数的定义域,除了我们以前知道的限制条件外,还要注意对数的底数大于0不等于1,真数大于0.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例2】 求函数y=log2(x2+2x+5)的值域.
分析:先对真数配方,再利用对数函数的单调性求解.
解:因为函数的定义域为R,
且x2+2x+5=(x+1)2+4≥4>0,
所以log2(x2+2x+5)≥log24=2,
即函数的值域为[2,+∞).
反思求与对数函数相关的函数的值域时,首先应确定其定义域,然后求出真数上的代数式的取值范围,再结合对数函数的单调性求出其值域.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练2】 求下列函数的值域:
(1)f(x)=log3(2x-1),x∈[2,14];
解:(1)当2≤x≤14时,3≤2x-1≤27,
故1≤log3(2x-1)≤3,
即函数的值域为[1,3].
(2)因为3+2x-x2=-x2+2x-1+4=-(x-1)2+4≤4,
故函数的值域为[-2,+∞).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例3】 比较大小:
(1)log0.27与log0.29;
(2)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1);
(3)log85与lg 4.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:(1)log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x,当x=7和x=9时对应的两个函数值,由y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减,得log0.27>log0.29.
(2)把lg m看作指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数,要比较两数的大小,关键是比较底数lg m与1的关系.
若lg m>1,即m>10,则y=(lg m)x在R上单调递增,故(lg m)1.9<(lg m)2.1;若0(lg m)2.1;若lg m=1,即m=10,则(lg m)1.9=(lg m)2.1.
(3)因为底数8,10均大于1,且10>8,
所以log85>lg 5>lg 4,即log85>lg 4.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思本例中(1)小题是直接利用对数函数的单调性;(2)小题是指数函数单调性及对数函数性质的综合运用;(3)小题是中间量的运用.当两个对数的底数和真数都不相同时,需要找出中间量来“搭桥”,再利用对数函数的单调性求解.常用的中间量有0,1,2等,可通过估算加以选择.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例4】 画出函数y=log2x2的图象,并根据图象指出它的单调区间.
分析:先对函数的定义域及奇偶性进行探索,再画图象研究函数的单调区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:由题意知,函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
因为f(-x)=log2(-x)2=log2x2=f(x),
所以y=log2x2是偶函数,它的图象关于y轴对称.
当x>0时,y=log2x2=2log2x,因此先画出
y=2log2x(x>0)的图象为C1,再作出C1关于y轴对
称的图象C2,C1与C2构成函数y=log2x2的图象,如图所示.
由图象可以知道函数y=log2x2的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞).
反思作图象时一定要考虑函数的定义域,否则会求出错误的单调区间.同时在确定单调区间时,要注意单调区间的分界点,特别要注意区间的开与闭.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例5】 画出函数y=|log2(x+1)|+2的图象.
分析:可先画出它的基本函数的图象,再做适当的变换,然后分步骤完成.
解:第一步:作y=log2x的图象,如图①所示.
第二步:将y=log2x的图象沿x轴向左平移1个单位,得y=log2(x+1)的图象,如图②所示.
第三步:将y=log2(x+1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换,得y=|log2(x+1)|的图象,如图③所示.
第四步:将y=|log2(x+1)|的图象沿y轴方向向上平移2个单位,便得到所求函数y=|log2(x+1)|+2的图象,如图④所示.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思含有绝对值的函数的图象可通过对称变换得到,一般地,y=f(|x-a|)的图象是关于直线x=a对称的轴对称图形;函数y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象,在f(x)≥0时相同,而在f(x)<0时,关于x轴对称.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例6】 已知函数f(x)=log2(3x2-2x-1),试确定f(x)的单调递增区间.
分析:根据复合函数单调性的知识可知,要使f(x)为增函数,则内、外层函数的单调性一致.因为2>1,所以y=log2x为增函数,故只需求函数y=3x2-2x-1的单调递增区间即可,但不能忽略函数的定义域.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思求复合函数的单调区间的步骤:(1)求出函数的定义域;(2)将复合函数分解为初等函数;(3)分别确定各个初等函数的单调性;(4)根据复合函数原理求出复合函数的单调区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
错因分析:错解一中没考虑真数的取值范围,也没有对a进行分类讨论;错解二中没有对a进行分类讨论;错解三中出现逻辑性错误,运算变形的顺序出现了问题,即开始默认了a>1对原不等式进行了转化是不正确的,虽然后来对a又进行了讨论,看起来结果正确.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思平时同学们做题难免出错,但要查找原因,从错误中汲取经验,才能对知识的理解更加完善.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
1 2 3 4 5 6
答案:B
1 2 3 4 5 6
2设a=log3π,b=log76,c=log20.8,则( )
A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a
解析:a=log3π>log33=1;b=log76b>c.
答案:A
1 2 3 4 5 6
3设0A.0C.0答案:B
1 2 3 4 5 6
解析:当a>1时,图象上升;01时,a越大,图象向右越靠近于x轴;当0答案:A
1 2 3 4 5 6
5函数f(x)=loga(4x-7)-3(a>0,a≠1)的图象一定经过定点 .?
解析:不论a取何值,总有f(2)=loga1-3=-3,即图象一定经过点(2,-3).
答案:(2,-3)
1 2 3 4 5 6
(共27张PPT)
3.2.3 指数函数与对数函数的关系
1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们图象间的对称关系.
2.利用计算工具,比较指数函数、对数函数增长的差异.
3.能综合利用指数函数、对数函数的性质与图象解决一些问题.
反函数
当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.
一般地,如果函数y=f(x)存在反函数,那么它的反函数记作y=f-1(x),反函数也是函数,它具有函数的一切特性.反函数是相对于原函数而言的,函数与它的反函数互为反函数.
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)和对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域相互对换,单调性相同,图象关于直线y=x对称.
名师点拨反函数的定义不只局限于函数y=logax(a>0,a≠1)与函数y=ax(a>0,a≠1)之间,对于其他的函数之间也可能存在互为反函数的关系,特别注意的是一个函数要存在反函数,它必须是一个一一对应的函数.
【做一做1-2】 函数f(x)=log3x与g(x)=3x的图象( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于直线y=x对称 D.关于原点对称
解析:根据互为反函数的图象特征可知,两函数的图象关于直线y=x对称.
答案:C
(2)反函数也是函数,它具有函数的一切特性;反函数是相对于原函数而言的,函数与它的反函数互为反函数.
(3)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换,对应法则互逆.
(4)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称,利用图象间的这一关系,可以简化作图过程,也可借助图象来分析函数的一些性质.
(5)若函数f(x)的图象经过点(a,b),则其反函数的图象必过点(b,a).
二、指数函数、对数函数的图象与性质的区别与联系
剖析:用表格表示如下:
题型一
题型二
分析:深刻理解对数函数与指数函数的关系,是求指数函数(或对数函数)的反函数的前提.
题型一
题型二
反思求函数的反函数的主要步骤:(1)从y=f(x)中解出x=φ(y);(2)将x,y互换;(3)标明反函数的定义域(即原函数的值域),简记为“一解、二换、三写”.本题主要依据指数函数与对数函数互为反函数来解.
题型一
题型二
题型一
题型二
【例2】 已知x1是方程x+lg x=3的一个根,x2是方程x+10x=3的一个根,那么x1+x2的值是( )
A.6 B.3 C.2 D.1
题型一
题型二
解析:将两个方程的根看作是两个互为反函数的函数图象与同一条直线的交点的横坐标,借助图象及对称性求解.
将已知的两个方程变形后得lg x=3-x,10x=3-x,令f(x)=lg x,g(x)=10x,h(x)=3-x,在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象,如图所示.
因为f(x)=lg x与g(x)=10x互为反函数,图象
关于直线y=x对称,因此,A,B两点也关于y=x
对称,函数h(x)=3-x与y=x图象交点的横坐标
即为A,B两点横坐标的中点.
答案:B
题型一
题型二
反思本题是关于方程根的问题,如果采用纯代数的方法,从解方程或解方程组的方法入手,将很困难,于是我们可以想到构造函数,利用函数图象,借助数形结合的思想来解决,充分利用互为反函数的图象关于直线y=x对称这一特征.
题型一
题型二
【变式训练2】 设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图象过点(2,8),则a+b= ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
解析:∵由题意,知f(x)图象过点(2,1),(8,2),
∴f(8)=loga(8+b)=2,f(2)=loga(2+b)=1.
∴a+b=4.
答案:C
题型一
题型二
A.aC.c题型一
题型二
题型一
题型二
答案:A
反思比较数的大小问题,方法灵活,就本题而言,把方程的解看作两函数图象交点的横坐标,利用数形结合的方法解题比较简单,若几个数在不同的范围内,也可通过求这些数的范围来比较大小.
题型一
题型二
【变式训练3】 已知函数f(x)=3x-1,则它的反函数y=f-1(x)的图象大致是( )
题型一
题型二
解析:函数f(x)=3x-1的图象如图所示:
而其反函数的图象关于直线y=x对称,
故反函数f-1(x)的图象应为C项.
答案:C
1 2 3 4 5 6
答案:B
1 2 3 4 5 6
2函数y=x+2,x∈R的反函数为( )
A.x=2-y B.x=y-2
C.y=2-x,x∈R D.y=x-2,x∈R
解析:由y=x+2,得x=y-2.互换x,y,得y=x-2.
答案:D
1 2 3 4 5 6
答案:C
1 2 3 4 5 6
4若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(2,-1),则a= .?
1 2 3 4 5 6
答案:-1
1 2 3 4 5 6
6已知函数f(x)=ax-k(a>0,且a≠1)的图象过点(1,3),其反函数的图象过点(2,0),则f(x)的表达式为 .?
答案:f(x)=2x+1
(共38张PPT)
3.3 幂函数
1
2
1.幂函数的定义
一般地,我们把形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x为自变量,α为常数.
关于定义的理解:
①幂的底数是自变量;
②幂的指数是一个常数,它可以取任意实数;
③幂值前面的系数是1,否则不是幂函数;
④幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合,因α的不同,定义域也不同.
名师点拨判断函数是否为幂函数时要根据定义,即xα的系数为1,指数位置的α为一个常数,且常数项为0,或者经过变形后满足条件的均可.
1
2
【做一做1-1】 下列函数是幂函数的是( )
解析:幂函数必须符合y=xα(α为常数)的形式.
答案:D
【做一做1-2】 若函数y=(k2-k+1)x3是幂函数,则实数k的值是( )
A.0 B.1
C.0或1 D.k≠0,且k≠1
解析:由幂函数的定义可知k2-k+1=1,解得k=0或k=1.
答案:C
1
2
1
2
已知幂函数的图象特征或性质求解析式时,常用待定系数法.判断幂函数y=xα的单调性时,通常借助其指数α的符号来分析.
1
2
答案:B
1
2
答案:C
1
2
答案:二、四
一、详述幂函数的定义和定义域
剖析:(1)幂函数具有严格的形式,形如y=mxα,y=(mx)α,y=xα+m,y=(x+m)α(以上m均为不等于零的常数)的函数都不是幂函数,二次函数中只有y=x2是幂函数,其他的二次函数都不是幂函数,尤其要区分开y=x0与y=1,要知道y=1是函数,但不是幂函数;y=x0是幂函数.
(2)不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数为常数,而指数函数恰好相反,底数为常数,指数为自变量.
二、幂函数的图象与性质
剖析:(1)幂函数的图象
幂函数的图象与其他函数相比,在理解和记忆上都比较困难.主要因为幂函数图象的位置和形状变化复杂,只要指数稍有不同,图象的位置和形状就可能发生很大的变化,所以有必要对幂函数的图象分布进行一番考查.
考查或作幂函数图象须考虑以下几个方面:
①定义域:有x∈R,x≠0,x≥0,x>0四种情况.
②奇偶性.
③单调性:侧重点在第一象限.当指数α>0时,尤其要注意以(0,0)和(1,1)两点为对角顶点的正方形内部的情况.
④曲线类型:分直线型、抛物线型、双曲线型和拐线型等情况.
(2)幂函数的性质
①所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1);
②若α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数;
③若α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴;当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴.
三、教材中的“思考与讨论”
(1)在幂函数y=xα中,如果α是正偶数(α=2n,n为非零自然数),如α=2,4,6,…,这一类函数具有哪些重要性质?
(2)在幂函数y=xα中,如果α是正奇数(α=2n-1,n为非零自然数),如α=1,3,5,…,这一类函数具有哪些重要性质?
(3)幂函数y=xα,x∈[0,+∞),α>1与0<α<1的图象有何不同?
剖析:(1)重要性质:①定义域为R,图象都经过(-1,1),(0,0),(1,1)三点;②函数的图象关于y轴对称,即函数为偶函数;③函数在(-∞,0]上为减函数,在[0,+∞)上为增函数.
(2)重要性质:①定义域、值域为R,图象都经过(-1,-1),(0,0),(1,1)三点;②函数的图象关于原点对称,即函数为奇函数;③函数在R上单调递增.
(3)两者图象的区别和联系:无论α>1还是0<α<1,函数y=xα在[0,+∞)上的图象都是单调递增的,但在[0,1]上前者比后者增长得慢,在(1,+∞)上前者比后者增长得快.
题型一
题型二
题型三
题型四
答案:(1)①⑤ (2)2
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【例2】 幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限内的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是( )
A.bB.bC.aD.a题型一
题型二
题型三
题型四
解析:方法一(性质法):
由幂函数的性质可知,当自变量x>1时,幂指数大的函数的函数值较大,故有b>c>d>a.
方法二(类比法):
当x趋于正无穷时,函数y=xa图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴,类似于典型幂函数y=x-1,故a<0.
函数y=xb在区间[0,+∞)上是增函数,图象下凸,类似于函数y=x2,故b>1.
故0题型一
题型二
题型三
题型四
方法三(特殊值法):
作直线x=2,由图象可知2a<2d<2c<2b,由指数函数的性质可知a答案:D
反思幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1右侧,按“逆时针”方向,图象所对应的幂指数依次增大,即“指大图高”.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
答案:⑥ ④ ③ ② ⑦ ① ⑤
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思解以上例题的关键在于适当选取某一个函数.函数选得恰当,解决问题就简单.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思通过本题,我们必须牢记常见幂函数的主要性质和图象,并且还说明了函数的单调性是针对某一确定区间而言的,不能随便取并集.
题型一
题型二
题型三
题型四
1 2 3 4 5 6
1下列函数是奇函数,且是幂函数的是( )
A.y=x-1 B.y=x+x3
C.y.y=x2
答案:C
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2若幂函数的图象过点(2,4),则它的单调递增区间是 ( )
A.(2,+∞) B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞) D.(-∞,0)
解析:设f(x)=xα,由2α=4,得α=2,
故f(x)=x2,其单调递增区间为[0,+∞).
答案:B
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3下列命题中正确的是( )
A.当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)
C.若幂函数y=xα是奇函数,则y=xα是定义域上的增函数
D.幂函数的图象不可能出现在第四象限
答案:D
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4如图给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是( )
答案:B
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答案:(1)> (2)<
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(共33张PPT)
3.4 函数的应用(Ⅱ)
1.能够运用指数函数、对数函数、幂函数的性质来解决某些简单的实际问题.
2.了解和体会函数模型在社会生活及科研中的广泛应用.
3.培养学生应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力.
1
2
3
1.指数型函数增长的函数模型
指数函数y=ax(a>1)经复合可得到的指数型函数,指数型函数变化较快.例如,生活中经常接触的储蓄问题,也就是增长率问题,就是指数型函数.
指数型函数增长的快慢随底数的不同而不同.
知识拓展复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算做本金,再计算下一期的利息.我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄.
在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题,如果基础量为a,平均增长率为r,那么对于时间x的总量y=a(1+r)x,解决平均增长率的问题,可用此公式建立函数式.
1
2
3
【做一做1】 在我国西北部,某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为( )
解析:依题意,知y=(1+10.4%)x,因此是指数函数.
答案:D
1
2
3
2.对数型函数增长的函数模型
对数函数y=logax(a>1)经复合可得到对数型函数,对数型函数增长的特点是先快后慢.
【做一做2】 以下是三个函数y1,y2,y3随x变化的函数值列表:
其中,关于x有可能成对数型函数变化的函数是 .?
解析:根据表中数据,可判断y3增长得比较平缓,符合对数型函数的增长情况.
答案:y3
1
2
3
3.幂函数型增长的函数模型
幂函数y=xn(n>0)经过复合可以得到幂函数型函数,其增长变化率也较快.
随着x的增大,y=xn(n>0)与y=ax(a>1)的增长速度比较,y=ax(a>1)增长得快.
1
2
3
【做一做3】 今有一组实验数据如下:
现准备用下列函数中的一个表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( )
A.v=log2t
D.v=2t-2
答案:C
一、幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况比较
剖析:一般地,对于指数函数 y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),通过探索可以发现,在区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xn.
同样地,对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间(0,+∞)上,随着x的增长,logax增长得越来越慢,尽管在x的一定变化范围内,logax可能会大于xn,但是由于logax的增长慢于xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有logax综上所述,在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢,因此,总会存在一个x0,当x>x0时,就会有logax二、常见的数学模型
剖析:利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的.具体函数的运用在生活中有很多体现,在学习完函数这部分内容以后,重点运用一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数和幂函数来解决问题.下面是几种常见的数学模型:
(1)平均增长率问题:若原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的产值或产量y=N(1+p)x.
(2)储蓄中的复利问题:若本金为a元,每期利率为r,本利和为y,存期为x,则y=a(1+r)x.
(3)根据几何、物理概念建立的函数关系,如位移、速度、时间的函数关系,灌溉渠的横截面面积A和水深h的函数关系.
(4)通过观察、实验建立的函数关系,如自由落体的距离公式等.
知识拓展数据拟合模型是指根据试题所给出的一组相关数据,根据数据所呈现的特点选择比较适当的函数来近似地模拟所给数据之间的对应关系.这种模拟是粗略的,只能起到估算作用.一般来说,需要根据所给的数据描出其在坐标系中的散点图,从图象上观察并选择适当的函数,最后还需要检验.
三、应用数学模型解决实际问题的步骤
剖析:(1)阅读理解,认真审题.
读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学问题,尤其是理解叙述中的名词、概念,以及题中单位之间的关系.分析出已知是什么,求什么,涉及哪些知识,确定变量之间的关系.
(2)引进数学符号,建立数学模型.
设自变量为x,函数为y,用含x的表达式表示各相关变量,根据问题的已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识以及其他相关知识,结合各变量之间的关系,建立函数关系式,即建立数学模型.
(3)用数学方法将所得到的函数问题予以解答,求得结果.
(4)转化成实际问题,进行检验,作出规范解答.
简言之,可概括为“四步八字”,即审题—建模—求解—还原.
题型一
题型二
题型三
【例1】 某公司预投资100万元,有两种投资方案可供选择:方案一:年利率10%,按单利计算,5年后收回本金和利息;方案二:年利率9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元?(结果精确到0.01万元)
分析:这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题.可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少,再通过比较作答.
解:本金100万元,年利率10%,按单利计算,5年后的本息和是100×(1+10%×5)=150(万元).
本金100万元,年利率9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100×(1+9%)5≈153.86(万元).
由此可见,方案二更有利,5年后多得利息3.86万元.
题型一
题型二
题型三
反思指数型函数模型的应用非常广泛,有关产值增长、人口增长、银行利息、细胞分裂等许多问题都可以建立指数函数模型.建立函数解析式时要注意观察、归纳、列举变量之间的关系.
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
【例2】 我们知道,燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数
其中Q表示燕子的耗氧量.
(1)计算燕子静止时的耗氧量是多少个单位?
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?
分析:(1)在题中所给函数式中令v=0即可;
题型一
题型二
题型三
反思解决本题的关键是要分清所给模型中的参数和变量.对于实际应用问题,搞清字母的含义是至关重要的.
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
【例3】 某工厂今年1,2,3月生产产品分别为1万件,1.2万件,1.3万件,为了估计以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y(单位:万件)与月份数x的关系,模拟函数可以选用二次函数或者函数y=abx+c,如果已知4月份的产量为1.37万件,问用以上哪一个函数模拟比较好?理由是什么?
分析:本题已给定两种供选择的函数模型,处理的关键就是根据已知数据求出模拟函数的具体表达式,然后分别用这两个所求的函数表达式来预测4月份的产量,看哪一个函数表达式的预测值与实际值比较接近.
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4.
∴g(x)=-0.8×0.5x+1.4.
∴g(4)=1.35.
∵|1.3-1.37|=0.07>0.02=|1.35-1.37|,
∴用y=-0.8×0.5x+1.4作模拟函数较好.
反思对于给出一组数据拟合函数模型的题目,应根据数据找出比较合理的函数模型.根据数据特点,可能有多种结果,因此用哪一个还需结合实情选择.
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】 某地区今年1,2,3月患某种传染病的人数分别为52,61,68人.为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型y=ax2+bx+c,乙选择了模型y=pqx+r,其中y为患病人数,x为月份,a,b,c,p,q,r都是常数.结果4,5,6月份的患病人数分别为74,78,83人,你认为谁选择的模型较好?
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
1 2 3 4 5 6
1下列所给函数,增长最快的是( )
A.y=5x B.y=x5 C.y=log5x D.y=5x
解析:在一次函数、幂函数、对数函数和指数函数中,增长最快的是指数函数y=5x,故选D.
答案:D
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2某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂1次(由1个分裂成2个),则这种细菌(在培养过程中不考虑死亡等意外情况)由1个分裂成4 096个需经过( )
A.12小时 B.4小时 C.3小时 D.2小时
解析:设共分裂了x次,则有2x=4 096,因此2x=212,即x=12.因为每15分钟分裂1次,所以分裂12次共需15×12=180分钟,即3小时.
答案:C
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3某人在2012年9月1日到银行存入一年期a元,若每到第二年的这一天取出,再连本带利存入银行(假设银行年利率不变,为r%),则到2017年9月1日他可取出存款 ( )
A.a(1+r%)6(元) B.a(1+r%)5(元)
C.a+6(1+r%)a(元) D.a+5(1+r%)a(元)
解析:2013年9月1日可取存款a+ar%=a(1+r%)元,2014年9月1日可取存款a(1+r%)+a(1+r%)r%=a(1+r%)2元,同理可得,2017年9月1日可取存款a(1+r%)5元.
答案:B
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4某研究小组在一项实验中获得一组关于y,t之间的数据,将其整理后得到的散点图如图所示,下列函数中,最能近似刻画y与t之间的关系的是( )
A.y=2t B.y=2t2
C.y=t3 D.y=log2t
解析:此曲线符合对数函数的变化趋势.
答案:D
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答案:4.9百帕
1 2 3 4 5 6
6已知某工厂生产某种产品的月产量y(单位:万件)与月份x满足关系y=a·0.5x+b,现已知该厂今年1月,2月生产该产品分别为1万件,1.5万件,则此厂3月份该产品的产量为 .?
答案:1.75万件
(共41张PPT)
本章整合
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一 指数与对数的运算问题
指数与对数的运算是指数、对数应用的前提,也是研究指数函数与对数函数的基础,不仅是本章考查的重点,也是高考的重要考点之一.
进行指数式的运算时,要注意运算或化简的先后顺序,一般应将负指数转化为正指数、将根式转化为指数式后再计算或化简,同时注意幂的运算性质的应用;对数运算要注意对数运算性质的正用与逆用,注意对底数的转化,对数恒等式以及换底公式的灵活运用,还要注意对数运算与指数运算之间的关系及其合理地转化.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
(2)原式=lg5·(3lg2+3)+2)2-lg6+l
=3lg5·lg2+3lg5+3(lg2)2-lg6+lg6-2
=3lg2·(lg5+lg2)+3lg5-2
=3lg2+3lg5-2
=3(lg2+lg5)-2
=3-2=1.
专题一
专题二
专题三
专题四
(3)原式=2log32-5log32+2+3log32-5
=2-5=-3.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的应用
指数函数、对数函数、幂函数是重要的基本初等函数.它们的图象与性质始终是高考考查的重点.由于指数函数y=ax(a>0,a≠1,x∈R),对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)的图象与性质都与a的取值有密切的联系,幂函数y=xα的图象与性质与α的取值有关,因此,在a,α的值不确定时,要对它们进行分类讨论,利用图象可以很快捷、直观地解决比较大小、求根等计算问题.
专题一
专题二
专题三
专题四
应用1函数y=log2(1-x)的图象是( )
解析:由1-x>0得x<1,故函数定义域为(-∞,1),因此排除选项A,B;
又因为t=1-x在(-∞,1)上是单调递减的,
所以y=log2(1-x)在(-∞,1)上是减函数,由此排除D.
答案:C
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
答案:D
专题一
专题二
专题三
专题四
应用3方程log3x+x=3的解所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,+∞)
解析:设y1=log3x,y2=-x+3,在同一平面直角坐标系中画出它们的图象如图所示,观察可排除选项A,D.故交点P的横坐标应在区间(1,3)内.
因为当x=2时,y1=log32<1,y2=-2+3=1,且y1是增函数,y2是减函数,
所以交点P的横坐标应在区间(2,3)内.
答案:C
专题一
专题二
专题三
专题四
应用4若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上单调递减,则a的取值范围为( )
A.[1,2) B.[1,2]
C.[1,+∞) D.[2,+∞)
答案:A
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题三 分类讨论思想的应用
分类讨论思想即对问题中的参数不能一概而论,需要按一定的标准进行分别阐述,在分类讨论中要做到“不重复,不遗漏”.
专题一
专题二
专题三
专题四
提示:将对数不等式统一成同底的形式,再利用分类讨论思想及函数的单调性进行转化求解.
专题一
专题二
专题三
专题四
提示:按零点分类讨论法即把整个实数集R以±1为分界点分成(-∞,-1],(-1,1),[1,+∞)三段讨论.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 函数图象的平移、对称变换
图象变换题因其集数形结合的数学思想、运动变化的观点于一体,又考查了函数图象的画法和相关函数的性质,对于知识的内化、数学能力的提升均起到促进的作用,故在教材乃至高考试题中均占有重要的地位,不容忽视.下面总结一些常见的图象变换规律,供同学们参考.
专题一
专题二
专题三
专题四
1.图象的平移变换
(1)水平平移:函数y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位长度而得到.
例如,将对数函数y=log2x的图象向左平移2个单位长度,便得到函数y=log2(x+2)的图象.
(2)竖直平移:函数y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移b个单位长度而得到.
例如,将指数函数y=x3的图象向下平移1个单位长度,便得到函数y=x3-1的图象.
专题一
专题二
专题三
专题四
2.图象的对称变换
(1)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
(2)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
(3)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称.
(4)y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
例如,对数函数y=log2x的图象与指数函数y=2x的图象关于直线y=x对称.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
应用1画出函数y=log4(x2-2x+1)的图象.
提示:先要找出这个函数所对应的基本初等函数,然后利用图象变换向目标靠拢.
解:先对函数解析式进行化简,可得y=log2|x-1|.可直接利用描点法画出y=log2x的图象,而后画出关于y轴的对称变换得到y=log2|x|,再把其向右平移一个单位长度.过程如下:
专题一
专题二
专题三
专题四
应用2(1)画出函数y=log2(x+2)与y=log2(x-2)的图象,并指出两个图象之间的关系;
(2)画出函数y=f(x)=log2|x|的图象,并根据图象指出它的单调区间.
提示:画函数图象是研究函数变化规律的重要手段,可利用y=log2x的图象进行变换.
专题一
专题二
专题三
专题四
解:(1)函数y=log2x的图象向右平移2个单位长度就得到y=log2(x-2)的图象;向左平移2个单位长度就得到y=log2(x+2)的图象,
故把y=log2(x+2)的图象向右平移4个单位长度得到y=log2(x-2)的图象(如图所示).
专题一
专题二
专题三
专题四
(2)当x≠0时,函数y=log2|x|满足f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x),故y=log2|x|是偶函数,它的图象关于y轴对称.当x>0时,y=log2x.先画出y=log2x(x>0)的图象为C1,再作出C1关于y轴对称的图象C2,C1与C2构成函数y=log2|x|的图象,如图所示.
由图象可知,函数y=log2|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
∴x>2,∴f(x)的定义域为(2,+∞).
答案:C
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2(北京高考)下列函数中,定义域是R且为增函数的是 ( )
A.y=e-x B.y=x3
C.y=ln x D.y=|x|
解析:A项,函数y=e-x为R上的减函数;
B项,函数y=x3为R上的增函数;
C项,函数y=ln x为(0,+∞)上的增函数;
D项,函数y=|x|在(-∞,0]上为减函数,在(0,+∞)上为增函数.故只有B项符合题意,应选B.
答案:B
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的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,4) D.(4,+∞)
答案:C
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4(安徽高考)设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则( )
A.bC.c解析:∵log33∵21.1>21,∴b>2.
∵0<0.83.1<0.80,∴0答案:B
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5(山东高考)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠0)的图象如图,则下列结论成立的是( )
A.a>1,c>1
B.a>1,0C.01
D.0解析:由图象可知y=loga(x+c)的图象是由y=logax的图象向左平移c个单位长度得到的,其中0答案:D
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6(浙江高考)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图象可能是( )
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解析:若a>1,则函数g(x)=logax的图象过点(1,0),且单调递增,但当x∈(0,1)时,y=xa(x>0)的图象应在直线y=x的下方,故C选项错误.
若00)的图象应单调递增,且当x∈(0,1)时图象应在直线y=x的上方,因此A,B均错,只有D项正确.
答案:D
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7(福建高考)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )
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解析:由题中图象可知loga3=1,即a=3.A选项,
,在R上单调递减,故A不正确.B选项,y=x3为幂函数,图象正确.C选项,y=(-x)3=-x3,其图象和B选项中y=x3的图象关于x轴对称,故C不正确.D选项,y=log3(-x),其图象与y=log3x的图象关于y轴对称,故D选项不正确.综上可知选B.
答案:B
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答案:D
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答案:1
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答案:(-∞,8]
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12(天津高考)函数f(x)=lg x2的单调递减区间是 .?
解析:函数f(x)=lg x2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
∵f(x)=lg x在(0,+∞)上为增函数,y=x2在[0,+∞)上为增函数,在(-∞,0]上为减函数,
∴f(x)=lg x2的单调减区间为(-∞,0).
答案:(-∞,0)
