北师大版初中数学七年级上册第6讲 有理数的乘除(基础)(知识讲解+巩固练习)

有理数的乘除（基础）
【学习目标】
1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；
2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；
4. 培养观察、分析、归纳及运算能力.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．
2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．
3. 有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．
要点诠释：
（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
要点二、有理数的除法
1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．
要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是/，-2和/是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
2. 有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即/.
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
要点三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
要点四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．
【典型例题】
类型一、有理数的乘法运算
/1．算式（﹣1/）×（﹣3/）×/之值为何？（　　）
　 A．/ B． / C． / D． /
【思路点拨】根据有理数的乘法法则，先确定符号，然后把绝对值相乘即可
【答案】D．
【解析】
解：原式=/×/×/=/ .
【总结升华】本题考查的是有理数的乘法，掌握乘法法则是解题的关键，计算时，先确定符号，然后把绝对值相乘．
/2． (1)/；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．
【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．
(1)//；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)/；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．
【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．
/3.运用简便方法计算：
(1)/
(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4
(3)/
【思路点拨】 (1)根据题目特点，可以把/折成/，再运用乘法分配律进行计算．(2)运用乘法结合律，把第1、4个因式结合在一起．(3)逆用乘法分配律：ab+ac＝a(b+c)．
【答案与解析】
解：(1)//
/（分配律）
/
(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4
＝（-4×0.25）×[0.5×(-100)] （交换律）
＝-1×(-50)＝50（结合律）
(3)/
/ （逆用乘法的分配律）
/
【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合．
举一反三：
【变式1】（2018?玄武区一模）计算16.8×/+7.6×/的结果是　　．
【答案】7．
解：原式=8.4×/
=（8.4+7.6）×/
=16×/
=7．
【变式2】/； /
【答案】（/
/
类型二、有理数的除法运算
/4．计算：(1)(-32)÷(-8) （2）/
【答案与解析】 (1)(-32)÷(-8)＝+(32÷8)= 4 ……用法则二进行计算．
(2)/ ……用法则一进行计算．
【总结升华】(1)乘法、除法的符号法则是一致的，两数相乘除，同号得正，异号得负；(2)除法的两个法则是一致的，应学会灵活选择．
举一反三：
【变式】 计算：（1）/
【答案】原式/
类型三：有理数的乘除混合运算
/5.（2018秋?德惠市校级期中）计算：（﹣2）×/．
【思路点拨】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【答案与解析】解：原式=2×/×3×3
=9．
【总结升华】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】计算：(-9)÷(-4)÷(-2)
【答案】 (-9)÷(-4)÷(-2)＝-9÷4÷2＝/
【变式2】计算：(1)/ (2)/
【答案】 (1)//
(2)/
/
/
类型四、有理数的加减乘除混合运算
/6. 计算（1）/； （2）/
【答案与解析】（1）//
/=6-2+9-5=8
（2）法1：原式=/
法2：由（1）知：/，所以/
【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决．
举一反三：
【变式】/
【答案】 原式/
//
类型五：利用有理数的加减乘除，解决实际问题
/7.气象统计资料表明，高度每增加1000米，气温就降低6℃．如果现在地面的气温是27℃，那么8000米的高空的气温大约是多少?
【思路点拨】解决此题的关键是明确高度变化与气温变化的关系．由于“高度每增加1000米，气温就降低6℃”，8000米的高空比地面高度增加8000米，因此气温降低6×8＝48℃，由此便可求出高空的气温．
【答案与解析】
解：/(℃)
因此8000米的高空的气温大约是-21℃．
【总结升华】本题是生活实际中的问题，关键是读懂题意，弄清各数量之间的关系，再列出正确的算式．
【巩固练习】
一、选择题
1．（2018?佛山）﹣3的倒数为（　　）
　 A．﹣/ B． / C． 3 D． ﹣3
2.（2019春?新泰市校级月考）下列计算①（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）=6；②（﹣36）÷（﹣9）=﹣4；③/×（﹣/）÷（﹣1）=/；④（﹣4）÷/×（﹣2）=16．其中正确的个数（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3. 下列说法错误的是（ ）
A.一个数与1相乘仍得这个数. B.互为相反数（除0外）的两个数的商为-1.
C．一个数与-1相乘得这个数的相反数. D.互为倒数的两个数的商为1.
4.两个数之和为负，商为负，则这两个数应是 ( )
A．同为负数
B．同为正数
C．一正一负且正数的绝对值较大
D．一正一负且负数的绝对值较大
5.计算：/的结果是（ ）
A．-8 B．8 C．-2 D．2
6. 在算式/中的/所在位置，填入下列哪种运算符号，计算出来的值最小（ ）．
A．+ B．- C．× D．÷
7. 下列计算：①0-(-5)＝-5；②/；③/；④/；⑤若/，则x的倒数是6．其中正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
8．（2018?镇江二模）（﹣6）×（﹣/）=　　．
9.若/，则/ 0，/ 0，/ 0.
10. 若|a|＝5，b＝-2，且a÷b＞0，则a+b＝________．
11.在-2，3，4，-5这四个数中，任取两个数相乘所得积最大的是 ，所得的商最小是
12.如果6个不等于0的数相乘得积为负数，则在这6个乘数中，正的乘数有 个.
13.如果/，那么/ 0.
14. /是一个简单的数值运算程序，当输入-1时，则输出的数值____．
三、解答题
15.计算：
(1)(-0.125)×(-18)×(-8)×0×(-1)
(2)/
(3)(-6)×45+(-6)×55
（4）/
16．（2019?杭州）计算6÷（﹣/），方方同学的计算过程如下，原式=6/+6/=﹣12+18=6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
17.已知：a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的倒数等于它本身，则/ 的结果是多少？
18.受金融危机的影响，华盛公司去年1～3月平均每月亏损15万元，4～6月平均每月盈利20万元，7～10月平均每月盈利17万元，11～12月平均每月亏损23万元这个公司决定：若平均每月盈利在3万元以上，则继续做原来的生产项目，否则要改做其他项目．请你帮助该公司进行决策是否要改做其他项目，并说明你的理由．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】A．
2.【答案】C
【解析】解：①（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）=﹣6，故原题计算错误；
②（﹣36）÷（﹣9）=4，故原题计算错误；
③/×（﹣/）÷（﹣1）=/，故原题计算正确；
④（﹣4）÷/×（﹣2）=16，故原题计算正确，
正确的计算有2个，
故选：C．
3.【答案】D
【解析】D错误，因为互为倒数的两个数的积是1，而不是商.
4.【答案】D
【解析】商为负，说明两数异号；和为负，说明负数的绝对值较大.
5.【答案】A
【解析】/
6.【答案】C
【解析】填入“+”时，算式4-|-3+5|＝4-2＝2；填入“-”时，算式4-|-3-5|＝4-8＝-4；填入“×”时，算式4-|-3×5|＝4-15＝-11；填入“÷”时，4-|-3÷5|＝/．因此，填入“×”时，计算出来的值最小．
7.【答案】B
【解析】②③正确．0-(-5)＝5；(-36)÷(-9)＝4．
二、填空题
8.【答案】2.
【解析】（﹣6）×（﹣/）=2.
9.【答案】＜，＜，＞
【解析】由/可得：/同号，又/，所以/同负，进而可得：这两个数的商应为正数.
10.【答案】-7
【解析】由|a|＝5，知a＝±5．而ab＞0，说明a、b是同号，而b＝-2<0，所以a＝-5，所以a+b＝(-5)+(-2)＝-7．
11.【答案】12；-2
【解析】选择3和4相乘所得的积最大，选择4和-2，并且4除以-2所得的商最小.
12.【答案】1,3,5
【解析】积为负数，说明其中负因子的个数为奇数个，因为共有偶数个因子，所以正因子的个数也为奇数个，所以为：1,3,5
13.【答案】＜
【解析】由/可得：/异号，又/与/同号，所以/而/所以/
14.【答案】4
【解析】(-1)×(-1)+3＝4
三、解答题
15.【解析】
(1)(-0.125)×(-18)×(-8)×0×(-1)＝0
(2)/
(3)(-6)×45+(-6)×55＝(-6)×(45+55)＝-600
（4）原式/= /
16.【解析】解：方方的计算过程不正确，
正确的计算过程是：
原式=6÷（﹣/+/）
=6÷（﹣/）
=6×（﹣6）
=﹣36．
17.【解析】由题意得a+b＝0，cd＝1，m＝1或m＝-1．
当m＝1时，原式/；
当m＝-1时，原式/．
综合可知：/的结果是0或-2．
18.【解析】不需要改做其他项目．
理由：(-15)×3+20×3+17×4+(-23)×2＝-45+60+68-46＝37(万元)．因为
/，所以不需要改做其他项目．