北师大版初中数学七年级上册第7讲 有理数的乘方、混合运算及科学记数法(基础)(知识讲解+巩固练习)

有理数的乘方、混合运算及科学记数法（基础）
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
3. 进一步掌握有理数的混合运算.
4. 会用科学记数法表示大数.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：.在中，叫做底数， n叫做指数．
要点诠释：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 ≥0．
要点诠释：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
要点四、科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||<10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.
要点诠释：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；
（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
【典型例题】
类型一、有理数乘方

/1．计算：
（1） （2）/ （3）/ 　 （4）/
（5）　 （6） （7） （8）
【答案与解析】
（1）；
（2）/；
（3）/；
（4）/；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
【总结升华】与不同，，而表示的n次幂的相反数．
举一反三：
【变式】（2018?长沙模拟）比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（　　）
　 A． 它们底数相同，指数也相同
　 B． 它们底数相同，但指数不相同
　 C． 它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
　 D． 虽然它们底数不同，但运算结果相同
【答案】D．
解：比较（﹣4）3=（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）=﹣64，﹣43=﹣4×4×4=﹣64，
底数不相同，表示的意义不同，但是结果相同.
类型二、乘方的符号法则
/2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．
(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，，-(-2)2010
【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则．
【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．
【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．
类型三、有理数的混合运算
/3. （2019春?滨海县校级月考）计算：
（1）4×（﹣/）×3﹣|﹣6|；
（2）（﹣1）3×（﹣12）÷[（﹣4）2+2×（﹣5）]．
【思路点拨】（1）原式先计算乘法及绝对值运算，再计算加减运算即可得到结果；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
【答案与解析】
解：（1）原式=12×（﹣/）﹣6
=﹣6﹣9+30﹣6
=9；
（2）原式=﹣1×（－12）÷（16－10）
=12÷6
=2．
【总结升华】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
举一反三：
【变式】计算：（1）
（2）
【答案】原式
原式
类型四、科学记数法
/4. 用科学记数法表示：
(1)；（2）亿；（3）.
【答案与解析】（1）把写成时，，它是将原数的小数点向左移动9位得到的，即把原数缩小到，所以；
（2）亿=300 000 000 000，把亿写成时，，的值应比 300 000 000 000的整数位少1，因此 ，所以3000亿=；
（3）写成时，“-”照写，其它和正数一样，所以.
【总结升华】带有文字单位的数先变为原数，再写成形式，的确定：n比这个数的整数位数少1.
举一反三：
【变式】据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760.57万人，其中760.57万人用科学记数法表示为 （ ）
A．7.605 7×人 B．7.605 7×人
C．7.605 7×人 D． 0.760 57×人
【答案】B
/5. （2018?福州）计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（　　）
　 A．0.1×107 B． 0.1×106 C． 1×107 D． 1×106
【答案】D．
解：3.8×107﹣3.7×107
=（3.8﹣3.7）×107
=0.1×107
=1×106．
【总结升华】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．注意灵活运用运算定律简便计算．
类型五、探索规律
/6.你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到 根面条，第5次捏合抻拉得到 根面条，第次捏合抻拉得到 根面条，要想得到64根细面条，需 次捏合抻拉.
第1次 第2次 第3次
【思路点拨】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是找出每一次拉出来面条的根数的规律．
第1次：；第2次：；第3次：；…；第次：.
【答案】8；32；； 6
【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到：
第1次：；第2次：；第3次：；…；第次：.
第3次捏合抻拉得到面条根数：，即8根；第5次得到：，即32根；第次捏合抻拉得到；因为，所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.
【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．
举一反三：
【变式】已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，观察上面的规律，试猜想22008的末位数字是________．
【答案】6
【巩固练习】
一、选择题
1．（2018?南昌）2018年初，一列CRH5型高速车组进行了“300000公里正线运营考核”标志着中国高速快车从“中国制造”到“中国创造”的飞跃，将300000用科学记数法表示为（　　）
　 A．3×106 B． 3×105 C． 0.3×106 D． 30×104
2．下列说法中，正确的是（ ）．
A．一个数的平方一定大于这个数 B．一个数的平方一定是正数
C．一个数的平方一定小于这个数 D．一个数的平方不可能是负数
3．式子/的意义是（ ）．
A． 4与5商的立方的相反数 B．4的立方与5的商的相反数
C．4的立方的相反数除5 D．/的立方
4．（2019?宝应县一模）（﹣1）2019的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2019 D．﹣2019
5．计算(-1)2+(-1)3＝( )
　 A．-2 B．- 1 C．0 D．2
6．观察下列等式：71=7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649…由此可判断7100的个位数字是( ) ．
A．7 B．9 C．3 D．1
7．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为( ) ．
A．/米 B．/米 C．/米 D．/米
二、填空题
8．在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在/中底数是________，指数是________．
9.（2018?郸城县校级模拟）计算：﹣（﹣3）2=　 　．
10．/ ；/ ；/= ；/ ．
11． /,/
12．6008000= （用科学记数法表示），/= （把用科学记数法表示的数还原）.
13． / ， /，/ ，……，从而猜想：/……/．
三、解答题
14．（2019春?浦东新区期中）（﹣3）2﹣（1/）3×/﹣6÷|﹣/|3．
15.（2018秋?蓬溪县校级月考）某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（由1个分裂成2个）．若经过4小时，100个这样的细菌可分裂成多少个？
16．探索规律：观察下面三行数，　　2， -4， 8， -16， 32， -64，… ①　　-2， -8， 4， -20， 28， -68，…　　 ②　　-1， 2， -4， 8， -16， 32，…　　 ③　　(1) 第①行第10个数是多少？　　(2) 第②③行数与第①行数分别有什么关系？　　(3) 取每行第10个数，计算这三个数的和．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B．
2．【答案】D
【解析】一个数的平方与这个数的大小不定，例如：/；而/；/，从而A，C均错；一个数的平方是正数或0，即非负数，所以B错，只有D对．
3．【答案】B
【解析】/表示4的立方与5的商的相反数
4．【答案】A
【解析】解：∵（﹣1）2019=1，
∴（﹣1）2019的值是1，
故选A．
5．【答案】C
【解析】 (-1)2＝1，(-1)3＝-1
6．【答案】D
【解析】个位上的数字每4个一循环，100是4的倍数，所以/的个位数字应为1．
7．【答案】C
二、填空题
8．【答案】4 ， -2 ， 3 ， 2， 2， 2
【解析】依据乘方的定义解答
9. 【答案】﹣9．
10．【答案】3， -32， /
11．【答案】-27，72
12．【答案】6.008×106 ； 300 800；
13．【答案】/
【解析】/ ， /，/， ……
从而猜想：每组数中，右边的幂的底数/与左边的最后一个数/的关系是：/．
所以/……/．
三、解答题
14．【解析】
解：原式=9﹣/×/﹣6÷/
=9﹣/﹣6×/
=9﹣/﹣/
=9﹣21
=﹣12．
15.【解析】
解：根据题意得：100×28=25600（个），
则经过4小时，100个这样的细菌可分裂成25600个．
16．【解析】
（1）2, -4， 8， -16， 32， -64，… ①　　第①行可以改写为：2， /，//，……,/,……　　由-2的指数规律，可以知道n=10时，即 /=-1024为第 ①行第10个数．（2）第②行数是第①行相应的数减4；第③行数是第①行相应的数的-0.5倍；（3）第②行第10个数为-1024-4=-1028　　 第③行第10个数为（-0.5）/（-1024）=512　　所以第①行、第②行、第③行第10个数字之和为-1024+（-1028）+512=-1540．