北师大版初中数学七年级上册第8讲有理数及其运算全章复习与巩固(基础)(知识讲解+巩固练习）

《有理数及其运算》全章复习与巩固（基础）

【学习目标】
1．理解有理数及其运算的意义，提高运算能力．2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值．3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题．
4．会用科学记数法表示数．
【知识网络】
/
【要点梳理】
要点一、有理数的相关概念
1．有理数的分类：
（1）按定义分类： （2）按性质分类：
/
要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；
（2）有理数“0”的作用：
作用
举例
表示数的性质
0是自然数、是有理数
表示没有
3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态
/表示冰点
表示正数与负数的界点
0非正非负，是一个中性数
2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如/．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．
要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“/”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“/”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．
4．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作/．
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．
要点二、有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·/(b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： /， /．
2．运算律：
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
要点三、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
要点四、科学记数法
把一个大于10的数表示成/的形式（其中1≤/，/是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=/．
【典型例题】
类型一、有理数相关概念
/1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．
【答案】（1）0； (2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1
【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全．
【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念．
举一反三：
【变式】(1)/的倒数是　 ；/的相反数是　 　；/的绝对值是　 　．
-（-8）的相反数是 ；/的相反数的倒数是_____.
(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5．8元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 ．
(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m／min．
(4) 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则/____ ．
【答案】（1）/； /； /；-8；2 （2）降价5．8元，70．2 元；（3）/；（4）3；
/2．（2018?杭州模拟）已知|x|=|﹣3|，则x的值为　 　．
【思路点拨】根据题意可知|x|=3，由绝对值的性质，即可推出x=±3．
【答案】±3．
【解析】
解：∵|﹣3|=3，
∴|x|=3，
∵|±3|=3，
∴x=±3．
【总结升华】本题主要考查绝对值的性质，关键在于求出3和﹣3的绝对值都为3．
/3．在下列两数之间填上适当的不等号：
/________/．
【思路点拨】根据“a-b＞0，a-b＝0，a-b＜0分别得到a＞b，a＝b，a＜b”来比较两数的大小．
【答案】 ＜
【解析】
解法一：作差法
由于/，所以/
解法二：倒数比较法：因为/
所以/
【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．
举一反三：
【变式】（2018?宁德）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（　　）
/
　 A．a+b＜0 B． a﹣b＜0 C． a?b＞0 D． /＞0
【答案】B．
类型二、有理数的运算
/4．（2019?厦门）计算：/．
【思路点拨】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
【答案与解析】
解：原式=10+8×/﹣2×5
=10+2﹣10
=2．
【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．
举一反三：【变式】计算：（1）/
（2）/
【答案】解：（1）/
（2）/
=-16+4-3×1
=-15
类型三、数学思想在本章中的应用
　/5．（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系．
A．-a＜a＜1 B．1＜-a＜a C．1＜-a＜a D．a＜1＜-a
　 　 （2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．
　 　 （3）转化思想：计算：/
【答案与解析】
解：（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a．
所以正确选项为：D．
（2）因为| x|＝5，所以x为-5或5
因为|y|＝3，所以y为3或-3．
当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2
当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8
当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8
当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2
故（x-y）的值为±2或±8
（3）原式=/
【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．
举一反三：【变式】若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么?
【答案】解： 当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0；
　 　 当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0；
　 　 当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0．
　 　所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数．
类型四、规律探索
/6．将1，/，/，/，/，/，…，按一定规律排列如下：
/
请你写出第20行从左至右第10个数是________．
【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．
【答案】/
【解析】 认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是/；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是/，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是/．
【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．
【巩固练习】
一、选择题1．（2019?益阳）/的相反数是（　　）
A．2019 B．﹣2019 C．/ D．/
2.（2018?菏泽）如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（　　）
/
　 A．点M B． 点N C． 点P D． 点Q
3． 在-(-2)，-|-7|，-|+1|，|-中，负数的个数是 ( )
　 　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
４．据有关资料显示，2011年遵义市全年财政总收入202亿元，将202亿用科学记数法可表示（　 　）
A．2.02×人 　 B．202×人 　 C．2.02×人 D．2.02×人
5．若-1 A．a26．在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是( )
A．6 B．-6 C．-1 D．-1或6
7．a,b两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ）
/
A． a+b>0 B． ab>0 C．>0 D．a-b>0
8．已知有理数，在数轴上对应的两点分别是A，B．请你将具体数值代入，，充分实验验证：对于任意有理数，，计算A， B两点之间的距离正确的公式一定是（ ）
A． B． C． D．
二、 填空题
9.（2018?湖州）计算：23×（/）2=　 　．
10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为：(规定向上为正，向下为负，单位：厘米)+3，0，-1，+5，-4，+2，-3，-2，那么这里0的含义是___________.
11．德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102 000 000 000 000千米，用科学记数法表示出暗星到地球的距离为___ _____千米．
12．，则； ，则.
13．已知实数a , 在数轴上如下图所示，则= .
/
14．若|a-2|+|b+3|=0，则3a+2b= ．
15．＝ ．
16．（2019春?江苏校级期末）观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…你从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：32019的个位数字是　 　．
三、 解答题
17．计算：
（1）
（2）
（3）21-49.5+10.2-2-3.5+19
（4）
18．已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，且x的绝对值为3，求2x2-(ab-c-d)+|ab+3|的值．
19.（2018?顺义区一模）居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行阶梯电价，即：一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为0.48元/度；全年用电量在2880度到4800度之间（含4800），超过2880度的部分，执行第二档电价标准为0.53元/度；全年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为0.78元/度．小敏家2018年用电量为3000度，则2018年小敏家电费为多少元？
20．先观察下列各式：
；；；…；，根据以上观察，计算：…的值．
【答案与解析】
一、选择题1．【答案】C
【解析】解：∵﹣/与/只有符号不同，
∴﹣/的相反数是/．
故选：C．
2.【答案】C.
【解析】∵点M，N表示的有理数互为相反数. ∴原点的位置大约在O点，/
∴绝对值最小的数的点是P点，故选C．
3．【答案】 C
【解析】负数有三个，分别是：-|-7|，-|+1|，
4．【答案】D
5．【答案】C
【解析】由-16．【答案】D
【解析】2.5+3.5=6, 2.5-3.5=-1
7．【答案】D
【解析】由图可知，a、b异号，且b的绝对值较大．
8.【答案】D
【解析】按正负对，分类讨论．
二、填空题9.【答案】2.
【解析】23×（/）2=8×/=2.
10．【答案】水位无变化
11．【答案】1.02×1014
12．【答案】　　
13．【答案】1-a
　 【解析】由图可知：a-1＜0，所以 │a-1│=-（a-1）=1- a
14．【答案】0
【解析】∵|a-2|+|b+3|=0，∴a-2=0，b+3=0，即a=2，b=-3．∴3a+2b=6-6=0；
15．【答案】-5
　 【解析】
16．【答案】1
【解析】解：31=3，32=9，33=27，34=81，
35=243，36=729，37=2187，……，
∵2019÷4=504，
∴32019的个位数字与第4个数的个数数相同，是1．
故答案为：1．
三、解答题17．【解析】
解： (1) 原式
(2) 原式
（3）原式＝[(21+19)+10.2]+[(-49.5-3.5)-2]＝50.2-55＝-4.8
(4) 原式＝

18．【解析】解：将ab＝1，c+d＝0，|x|＝3代入所给式子中得： 2×32-1+|1+3|＝21．
所以2x2-(ab-c-d)+|ab+3|=21
19.【解析】
解：根据题意得：2880×0.48+（3000﹣2880）×0.53=1446（元），
则2018年小敏家电费为1446元．
20．【解析】
解：原式