北师大版初中数学七年级上册第9讲 用字母表示数及整式(基础)(知识讲解+巩固练习)

用字母表示数及整式（基础）知识讲解
【学习目标】
1.知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系；
2. 能按要求列出代数式，会求代数式的值；
3.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数；
4.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系．
【要点梳理】
要点一、字母表示数
用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a、b表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba．
要点二、代数式
1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．
要点诠释：
带等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式．
2.列代数式：
在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性．
要点诠释：代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．
3.代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值．
要点三、整式
1.单项式
（1）单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点诠释：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
要点诠释：
①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数．
②圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数．
③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写．
④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．
（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
要点诠释：没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏．
2．多项式
(1)多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．
要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．
(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
要点诠释：
①多项式的每一项包括它前面的符号．
②一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．
(3)多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．
要点诠释：
①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
（4）升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．
如:多项式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为
-5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4．
要点诠释：
①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；
②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．
3.整式：单项式与多项式统称为整式．
要点诠释：
（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式．
【典型例题】
类型一、字母表示数
1．填空：
（1）如果a表示一个有理数，那么它的相反数是 ；
（2）一个正方形的边长是a cm，把这个正方形的边长增加1cm后所得到的正方形的周长是 ；
（3）某城市5年前人均收入为n元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达________元．
【思路点拨】（1）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可；
（2）正方形的周长等于边长的4倍；（3）注意“多”、“少”、“倍”等词语对应的数学语言．
【答案】（1）-a； （2）（4a+4)cm（或4（a+1）cm）； （3）(2n+500).
【解析】
解：（1）如果a表示一个有理数，那么它的相反数是﹣a；
（2）这个正方形的边长增加1cm后所得到的正方形的边长为(a+1) cm，所以周长为4（a+1）cm，也即（4a+4)cm；
（3）某城市5年前人均收入为n元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达(2n+500)元．
【总结升华】和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.
类型二、代数式
2．（2019春?定州市校级月考）下列式子中，不属于代数式的是（　　）
A．a+3 B．mn2 C． D．x＞y
【思路点拨】代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”、“＞（≥）”、“=”、“≠”等符号的不是代数式，分别进行各选项的判断即可．
【答案】D．
【解析】
解：A、是代数式，故本选项错误；
B、是代数式，故本选项错误；
C、是代数式，故本选项错误；
D、不是代数式，故本选项正确；
故选D．
【总结升华】本题考查了代数式的知识，注意将代数式与等式及不等式区分开来．
举一反三：
【变式1】
（1）x的平方的3倍与5的差，用代数式表示为 .
（2） 操作电脑时，甲4小时打x个字，乙3小时打y个字，甲乙两人每小时共打 个字．
【答案】（1） （2）（）
【变式2】
（2018?吉林）购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为（　　）
　 A．（a+b）元 B． 3（a+b）元 C． （3a+b）元 D． （a+3b）元
【答案】D．
类型三、整式
3．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
，，，，，a-3，，，
【答案与解析】
解：，，，，，，是单项式，其中
的系数是，次数是3；
的系数是-1，次数是1；
的系数是，次数是4；
的系数是，次数是4；
为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为0；
的系数仍按科学记数法表示为-3×108，次数是3；
只含有字母因数，系数是l，次数为字母指数之和为3．
【总结升华】（1）要区分数字因数、字母因数；（2）不能见了指数就相加，如中，的指数4不能相加，次数为4；（3）有分数线的，分子、分母的数字都是系数；（4）是常数，不能看作字母．
举一反三：
【变式1】单项式3x2y3的系数是　　．
【答案】3．
【变式2】（泰州）下列结论正确的是( )．
A．没有加减运算的代数式叫做单项式．
B．单项式的系数是3，次数是2．
C．单项式m既没有系数，也没有次数．
D．单项式的系数是-1，次数是4．
【答案】D
4. （2018秋?三亚期末）说出下列各式是几次几项式，最高次项是什么？最高次项的系数是什么？常数项是多少？
（1）7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1
（2）10x+y3﹣0.5．
【答案与解析】
解：（1）7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1
是四次六项式，最高次项是﹣3x3y，
最高次项的系数是﹣3，
常数项是1；
（2）10x+y3﹣0.5，
是三次三项式，最高次项是y3，
最高次项的系数是1，
常数项是﹣0.5．
【总结升华】确定多项式的次数时，分两步：（1）先求多项式中每一项的次数；（2）取这些次数中的最大的数即为多项式的次数．
举一反三：
【变式】下列代数式中，哪些是多项式，并说出相应多项式是几次几项式？
, ,，abc， ， ，a+1， ， ， ．
【答案】
解：多项式有：，，a+1，，．其中，
是一次二项式；是二次二项式；a+1是一次二项式；是一次二项式；是二次三项式．
【巩固练习】
一、选择题
1． x减去y的平方的差，用代数式表示正确的是（ ）．
A、 B、 C、 D、
2.（2018秋?临潼区期末）下列各式符合代数式书写规范的是（　　）
　 A． B． a×3 C． 2m﹣1个 D． 1m
3.（2019?港南区二模）已知：a﹣3b=2，则6﹣2a+6b的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
4．已知单项式，下列说法正确的是( )．
A．系数是-4，次数是3
B．系数是，次数是3
C．系数是，次数是3
D．系数是，次数是2
5．如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数( )．
A．都小于3 B．都等于3 C．都不小于3 D．都不大于3
6．下列代数式：a+2b，，，，0中，整式的个数是( )．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
7.校园里刚栽下1.8m高的小树苗，以后每年长0.3m，则n年后是 m．
8.某种电脑原来是a元钱，“五一”搞促销活动，每台下降10%，则“五一”期间这种电脑的售价为 元．
9.（2018?长沙二模）单项式的系数与次数之积为　 　．
10．三个连续偶数中，最小的偶数为2n+4（n为整数），则最大的一个偶数为 ．
11.有一大捆同种型号的电线，现要确定其长度， 从中先取一段电线，称出它的质量为千克，量出它的长度为米，再称得其余电线的总质量为千克，则这捆电线的总长度为
米．
12.（2019春?吴中区期末）观察下列关于x的单项式，探究其规律x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是　 　．
三、解答题
13.（2018秋?灌南县期中）请你结合生活实际，设计具体情境，解释下列代数式的意义：
（1）；
（2）（1+20%）x．
14．已知单项式的次数与多项式的次数相同，求的值．
15.某电影院有20排座位，已知第一排有18个座位，后面一排都比前一排多2个座位，试用代数式表示出第n排的座位数，并求第19排的座位数．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D；
2.【答案】A．
【解析】A、符合代数式的书写，故A选项正确；
B、a×3中乘号应省略，数字放前面，故B选项错误；
C、2m﹣1个中后面有单位的应加括号，故C选项错误；
D、1m中的带分数应写成假分数，故D选项错误．
3. 【答案】A；
【解析】解：∵a﹣3b=2，
∴6﹣2a+6b
=6﹣2（a﹣3b）
=6﹣2×2
=6﹣4
=2．
故选：A．
4．【答案】B；
5．【答案】D；
【解析】多项式的次数是该多项式中各项次数最高项的次数.
6. 【答案】D；
【解析】单项式与多项式统称为整式.
二、填空题
7. 【答案】（0.3n+1.8）；
8．【答案】90%a；
【解析】a（1-10%）＝90%.
9. 【答案】-2
【解析】根据单项式定义得：单项式的系数是﹣，次数是3；其系数与次数之积为﹣×3=﹣2．
10.【答案】2n+8；
【解析】三个连续偶数中，最小的偶数为2n+4，则其他偶数分别为：2n+6，2n+,8．
11.【答案】（或）；
【解析】1千克电线长米，则这捆电线的总长度为．
12.【答案】4031x2019．
【解析】解：根据分析的规律，系数满足的规律是2n-1，字母的指数等于n，得第2019个单项式是4031x2019．
故答案为：4031x2019．
三、解答题
13.【解析】
解：（1）汽车每小时行驶a千米，行驶30千米所用时间为小时．
（2）小明家去年产粮食x千克，今年增产20%，则今年的产量为（1+20%）x千克．
14．【解析】
15. 【解析】
解： 第一排有18个座位；第二排有(18+2)个；第三排有(18+2+2)个；
第四排有(18+2+2+2个，…，第n排有[18+2(n-1)]个座位．
当n＝19时，18+2(n-1)＝18+2×(19-1)＝54（个）．
答：第n排有[18+2(n-1)]个座位，第19排有54个座位．