2.3幂函数 27张

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§2.3幂函数

高中数学必修 ①人教版A
一、复习引入
1、求函数y=x1/2的定义域

2、判断函数y=x3的奇偶性
二、自学
思考1：如果张红购买了每千克1元的水果x千克，她需要付的钱数为y（元），试将y表示成x的函数.
思考2：如果正方形的边长为x，面积为y，试将y表示成x的函数.
思考3：如果正方体的边长为x，体积为y，试将y表示成x的函数.
思考4：如果一个正方形场地的面积为x，正方形的边长为y，试将y表示成x的函数.
思考5：如果某人x秒内骑车行进了1km，他骑车的平均速度为y，试将y表示成x的函数.
思考6：以上是我们生活中遇到的几个函数问题，这些函数是指数函数吗？你能发现这几个函数的解析式有什么共同特点吗？

（1）都是以自变量x为底数；
（2）指数为常数；
（3）自变量x前的系数为1;
（4）只有一项。
一、定义
几点说明:
例1:
二、幂函数与指数函数的对比
底数
指数
指数
底数
幂值
幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看看未知数x是指数还是底数
幂函数
指数函数

式子 名称
a x y
指数函数: y=a x
幂函数: y= x a
（指数函数）
（幂函数）
（指数函数）
（幂函数）
快速反应
（指数函数）
（幂函数）
三、五个常用幂函数的图像和性质
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：
-8
-1
0
1
8
27
0
1
0
x
y
y=x3
/
/
64
2
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=x3 … …
y=x1/2 … …
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：
函数 的图像
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.
y = x
R
R
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
在R上是增函数
在（－∞,0]上是减函数，在(0, +∞）上是增函数
在R上是增函数
在(0，+∞)上是增函数
在( －∞,0)，(0, +∞）上是减函数
（1，1）
奇偶性
y = x2
y= x3
定义域
值 域



单调性
公共点
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
(1,1)
(2,4)
(-2,4)
(-1,1)
(-1,-1)
y=x
在第一象限内，
a >0,在(0,+∞)上为增函数;
a <0,在(0,+∞)上为减函数.
幂函数的图象都通过点(1,1)

α为奇数时,幂函数为奇函数,
α为偶数时,幂函数为偶函数.
方法技巧:分子有理化

解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3　∴ 5.20.8 < 5.30.8
(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习(4)
2）
4）
＜
＜
＞
＞
知识理解、运用
a=1
小结： 幂函数的性质:
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.
如果α<0,则幂函数
在(0,+∞)上为减函数。
3.如果α>0,则幂函数
在(0,+∞)上为增函数;
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数,
当α为偶数时,幂函数为偶函数.
作业:
利用单调性判断下列各值的大小。