北师大版初中数学七年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第4讲 绝对值与相反数(提高)

绝对值与相反数（提高）
【学习目标】
1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；
2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；
3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；
4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．
【要点梳理】
要点一、相反数
1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．
2．性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．
（2）互为相反数的两数和为0．
要点二、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．
要点诠释：　（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．　（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．
要点三、绝对值
1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点四、有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：
（3）判定两数的大小．
3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4． 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
【典型例题】
类型一、相反数的概念
1．（2018?常德一模）若m与n互为相反数，则|m+n﹣2|=　 　．
【答案】2
【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知，代入上式可得：|m+n﹣2|=|0﹣2|=2．
【总结升华】若互为相反数，则或．
举一反三：
【变式】（2018秋?监利县期末）若|x﹣2|与（y+3）2互为相反数，则x+y=　 　．
【答案】-1.
∵|x﹣2|与（y+3）2互为相反数，
∴|x﹣2|+（y+3）2=0，
∴x﹣2=0，y+3=0，
解得x=2，y=﹣3，
∴x+y=2+（﹣3）=﹣1．
故答案为：﹣1．
类型二、多重符号的化简
2．化简下列各数．
①； ②； ③ ；④；⑤
【答案】①6； ②；③6；④-6；⑤6
【解析】①表示-6的相反数，所以；
②表示+6的相反数，所以；
③ 前面共有2个“-”号，为偶数个，而“+”可以省略，所以；
④中共有3个“-”号，即奇数个，而“+”可以省略，所以=-6；
⑤中共有4个“-”号，即偶数个，而 “+”可以省略，所以
【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．
类型三、绝对值的概念
3．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．
【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．
【答案与解析】因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；
因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；
由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．
【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数．此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4．
举一反三：
【变式】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为 ．
如果｜x－2｜＝1，那么x＝ ；
如果｜x｜＞3，那么x的范围是 ．
【答案】6或-6；1或3；或
类型四、比较大小
4． 比较下列每组数的大小：
(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)与；(4)与．
【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．
【答案与解析】 (1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．
因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．
(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．
(3)化简得：．这是两个负数比较大小，因为，，且．所以．
(4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．
【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．
类型五、含有字母的绝对值的化简
5．（2019春?都匀市校级月考）若﹣1＜x＜4，则|x+1|﹣|x﹣4|=　 ．
【思路点拨】根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； 当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+1|=x+1，|x﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．
【答案】2x﹣3．
【解析】
解：原式=x+1﹣（﹣x+4），
=x+1+x﹣4，
=2x﹣3.
【总结升华】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x﹣4的正负性．
举一反三：
【变式】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：　　　　　　　
化简：【答案】由图所示，可得．　　　　∴ ，，，　　　　∵ 　　　　　 ．　　　　∴ 原式．
类型六、绝对值非负性的应用
6． 已知a、b为有理数，且满足：，则a=_______，b=________．
【答案与解析】由，，，
可得 ∴
【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．
举一反三：
【变式】已知b为正整数，且a、b满足，求的值．
【答案】 由题意得 ∴ 所以，
类型七、绝对值的实际应用
7．一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
【思路点拨】总路程应该为小虫爬行的距离和，和方向无关.
【答案与解析】小虫爬行的总路程为：
|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)
小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)
答：小虫一共可以得到108粒芝麻．
【总结升华】此题是绝对值的应用问题，当求爬行路程是即为各数的绝对值之和，如果求最后所在的位置时即为各数之和，最后看正负来决定方向.
【巩固练习】
一、选择题
1.（2018?漳州）﹣的相反数是（　　）
A . B .- C .-3 D .3
2．在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（ 　 ）．
A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ②④
3．满足|x|＝-x的数有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
4．已知，则a的值是( )．
A．3 B．-3 C． D．或
5．a、b为有理数，且a＞0、b＜0，|b|＞a，则a、b、-a、-b的大小顺序是( )．
A．b＜-a＜a＜-b B．-a＜b＜a＜-b C．-b＜a＜-a＜b D．-a＜a＜-b＜b
6．下列推理：①若a＝b，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a≠b，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a≠b．其中正确的个数为( )．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
7．数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为, 距离原点等于3.5的点的个数为,
则．
8．已知与互为相反数，与互为相反数，又，则= ．
9．（2018春?广饶县校级月考）1的相反数是　　；　　的相反数是它本身．
10．绝对值不大于11的整数有 个．
11．（2019?江西校级模拟）如果m，n互为相反数，那么|m+n﹣2019|=　 ．
12．若，则 0；若，则 ．
三、解答题
13．（2018秋?娄底期末）若有理数x、y满足|x|=5，|y|=2，且|x+y|=x+y，求x﹣y的值．
14．（2019春?桐柏县期末）若|a+1.2|+|b﹣1|=0，那么a+（﹣1）+（﹣1.8）+b等于多少？
15．阅读下面的材料：　　点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1-1-1,∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时:　　　　　　　①如图1-1-2，点A、B都在原点的右边:　　　∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；　　②如图1-1-3，点A、B都在原点的左边:　　　∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；　　③如图1-1-4，点A、B在原点的两边:　　　∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，　　综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．　
　回答下列问题:　　①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；　　②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________．　　③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是______________．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】A
2．【答案】C
【解析】先化简在判断，①+（+1）=1，-（-1）=1，不是相反数的关系；②-（+1）=-1，+（-1）=-1，不是相反数的关系；③+（+1）=1，-（+1）=-1，是相反数的关系；④+（-1）=-1，-(-1)=1，是相反数的关系，所以③④中的两个数是相反数的关系，所以答案为：C
3．【答案】D
【解析】x为负数或零时都能满足|x|＝-x，故有无数个．
4．【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，∴
5．【答案】A
【解析】画数轴，数形结合．
6．【答案】C
【解析】①正确；②错误，如|-2|＝|2|，但是-2≠2；③错误，如-2≠2，但是|-2|＝|2|；④正确．故选C．
二、填空题
7．【答案】1
【解析】由题意可知：，所以
8．【答案】-2
【解析】因为均为的相反数，而一个数的相反数是唯一的，所以，，而为的相反数，所以为-2，综上可得：原式等于-2．
9.【答案】，0.10.【答案】23 　 【解析】要注意考虑负数．绝对值不大于11的数有：-11 、-10……0 、1 ……11共23个．
11.【答案】2019.
【解析】解：∵m，n互为相反数，
∴m+n=0，
∴|m+n﹣2019|=|﹣2019|=2019；
故答案为2019．
12．【答案】＜；任意数.
三、解答题
13.【解析】
∵|x|=5，
∴x=±5，
又|y|=2，
∴y=±2，
又∵|x+y|=x+y，
∴x+y≥0，
∴x=5，y=±2，
当x=5，y=2时，x﹣y=5﹣2=3，
当x=5，y=﹣2时，x﹣y=5﹣（﹣2）=7．
14.【解析】
解：∵|a+1.2|+|b﹣1|=0，
∴a+1.2=0，b﹣1=0，
∴a=﹣1.2，b=1，
∴a+（﹣1）+（﹣1.8）+b=﹣3．
15．【解析】①∣2-5∣=3，∣-2-（-5）∣=3，∣1-（-3）∣=4．　　　　　 ②∣AB∣=∣x-（-1）∣=∣x+1∣．　　 　　　　　∵∣AB∣=2，∴∣x+1∣=2，　　 　　　　　∴x+1=2或-2，∴x=1或-3．　　 　 　③令x+1=0，x-2=0，则x=-1，x=2．　　 　　　　　将-1、2在数轴上表示出来，如图1-1-5，　　 　　　　　则-1、2将数轴分为三部分x＜-1、-1≤x≤2、x＞2．　　 　　　　　当x＜-1时，∣x+1∣+∣x-2∣=-（x+1）+〔-（x-2）〕=-2x+1＞3；　　 　　　　　当-1≤x≤2时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+2-x=3;　　 　　　　　当x＞2时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+x-2=2x-1＞3．　　 　　　　　∴∣x+1∣+∣x-2∣的最小值是3，相应的x的取值范围是-1≤x≤2．