北师大版初中数学七年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第15讲 角(基础)

角（基础）知识讲解
【学习目标】
1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；
2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；
3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；
4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.
【要点梳理】
要点一、角的概念
角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
要点诠释：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
要点诠释：
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
要点二、角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
要点诠释：
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．
要点三、角的比较与运算
1.角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
2.角的和、差运算
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
要点诠释：
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
3.角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =∠AOB．
要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
要点四、方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
要点诠释：
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
要点五、钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【典型例题】
类型一、角的概念及表示
1.下列语句正确的是 ( )
A．两条直线相交，组成的图形叫做角．
B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角．
C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角．
D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．
【答案】C
【解析】根据角的定义判断
【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区别．
举一反三：
【变式】（2018春?泰山区期中）下图中，能用∠ABC，∠B，∠1三种方法表示同一个角的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D．
解：A、顶点B处有四个角，不能用∠B表示，错误；
B、顶点B处有二个角，不能用∠B表示，错误；
C、顶点B处有三个角，不能用∠B表示，错误；
D、顶点B处有一个角，能同时用∠ABC，∠B，∠1表示，正确．
2. 写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角； (3)图中共有几个角(小于180°).
【答案与解析】
解：(1)能用一个字母表示的角∠A、∠C．
(2)以B为顶点的角∠ABE、∠ABC、∠CBE．
(3)图中共有7个角．
【总结升华】(1)顶点处只有一个角时，才可以用一个字母表示； (2)一般数角时不包括平角和大于平角的角．
类型二、角度制的换算
3. (1)把25.72°用度、分、秒表示； (2)把45°12′30″化成度（精确到百分位）．
【思路点拨】第(1)题中25.72°中含有两部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可．第(2)题中，45°12′30″含有三部分45°，12′和30″，其中45°已经是度，只要把12′和30″化成度即可．
【答案与解析】
解：(1)0.72°＝0.72×60′＝43.2′，0.2′＝0.2×60″＝12″，
所以25.72°＝25°43′12″．
(2)，
所以45°12′30″≈45.21°．
【总结升华】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行，“越级”化单位容易出错．
举一反三：
【变式】 (1)把26.29°转化为度、分、秒表示的形式；
(2)把33°24′36″转化成度表示的形式．
【答案】 (1)26.29°＝26°+0.29°＝26°+0.29×60′＝26°+17.4′
＝26°+17′+0.4×60″＝26°17′+24″＝26°17′24″
(2)33°24′36″＝33°+24′+36×＝33°+24′+0.6′
＝33°+24.6′＝33°+24.6×＝33.41°
类型三、角的比较与运算
4.不用量角器，比较图1和图2中角的大小．(用“＞”连接)
【思路点拨】图1中两角∠α、∠β均为锐角，因此，在不能测量的情形下，我们可以将图中的∠α向∠β平移，让∠α与∠β始边重合，观察终边的位置来比较角的大小．图2中的三个角按角的分类，∠1为锐角，∠2为直角，∠3为钝角，因此按照各自的范围就可以将它们的大小比较出来．
【答案与解析】
解：(1)如图所示，将∠α平移使∠α的始边与∠β的始边重合，发现∠α落在∠β内部，因此∠β＞∠α．
(2)由图可知∠1是锐角，∠1＜90°，∠2是直角，即∠2＝90°，∠3是钝角，即90°<∠3＜180°，因此∠3＞∠2＞∠1．
【总结升华】本例给出的两题是在不用量角器测量角的情况下比较角的大小，一种方法是叠合比较法，另外一种方法则是根据角的分类，由图形观察角的不同分类，按照常见的锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角来比较大小．
举一反三：
【变式】已知∠AOB(如图所示)，画一个角等于这个角．
【答案】
作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧l，交O′A′于点C′；
(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，交弧l于点D′；
(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
5.（2019春?阳谷县期中）如图，已知OD平分∠AOB，射线OC在∠AOD内，∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°．求∠COD的度数．
【思路点拨】根据OD平分∠AOB，射线OC在∠AOD内，∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°，可以求得∠AOC、∠AOD的度数，从而可以求得∠COD的度数．
【答案与解析】
解：∵OD平分∠AOB，∠AOB=114°，
∴∠AOD=∠BOD==57°．
∵∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°，
∴∠AOC=．
∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=57°﹣38°=19°．
【总结升华】本题考查角的计算，解题的关键是找出所求问题需要的条件．
举一反三：
【变式】已知：如图，OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOC=80(，求：∠MON.
【答案】∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，
∴∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOC.(角平分线的定义)
∴∠MON=∠MOB+∠BON
=∠AOB+∠BOC=(∠AOB+∠BOC)
=∠AOC=×80(=40( .
即∠MON=40(.
类型四、方位角
6.（2019?邯山区一模）如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（　　）
A．南偏西30°方向 B．南偏西60°方向
C．南偏东30°方向 D．南偏东60°方向
【思路点拨】根据题意正确画出图形进而分析得出从乙船看甲船的方向．
【答案】A
【解析】解：如图所示：可得∠1=30°，
∵从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，
∴从乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西30°方向．
故选：A．
【总结升华】从本例的分析与结果来看，从A看B与从B看A正好是一对对立的观察过程，其方向是一种“相反”的对应关系．方位角的确定首先以什么点为基点（即人站在此处观察）要弄清楚，再由正南或正北到视线夹角测量出来．
举一反三：
【变式】小王从家出发向南偏东30°的方向走了1000米到达小军家，此时小王家在小军家的________方向．
【答案】北偏西30°
类型五、钟表上有关夹角问题
7.计算： 4时15分时针与分针的夹角.
【答案与解析】
解法一：如图（1），设4时15分时针与分针的夹角为∠α
(注：夹角指小于180°的角)，
时针转过的角度为：30°×4+0.5°×15，
分针转过的角度为：6°×15，
所以∠α＝30°×4+0.5°×15-6°×15＝37.5°．
解法二：如图（1），∠AOC＝30°×1＝30°， ∠BOC＝0.5°×15＝7.5°．
所以∠AOB＝37.5°．
即4时15分时针与分针的夹角为37.5°
【总结升华】求钟表中时针与分针的夹角有两种方法：第一种方法利用时针与分针的每分钟转速求解，比如解法一；第二种方法直接根据图形求夹角，如解法二．
举一反三：
【变式】2时48分时针与分针的夹角．
【答案】解法1：如图(2)，
设2时48分时针与分针的夹角为∠α，
所以∠α＝360°-(48×6°-2×30°-48×0.5°)
＝360°-204°＝156°
解法2：如图(2)
∠BOD＝30°×4＝120°，
∠COD＝2×6°＝12°，
∠AOB＝48×0.5°＝24°，
所以∠AOC＝∠BOD+∠COD+∠AOB＝156°．
即2时48分时针与分针的夹角为156°．
【巩固练习】
一、选择题
1．下面四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是( ) ．
2．（2018秋?上杭县校级月考）下列说法中，错误的是 ( ) ．
A．借助三角尺，我们可以画135°的角．
B．把一个角的两边都延长后，所得到的角比原来的角要大．
C．有公共顶点的两条边组成的图形叫做角．
D．两个锐角之和是锐角、直角或钝角．
3．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ) ．
4．如图，点A位于点O的（ ）方向上．
A．南偏东35° B. 北偏西65° C．南偏东65° D. 南偏西65°
5．钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是 ( ) .
A ． 77.5 ° B． 77 °5′ C ． 75° D ．以上答案都不对
6．如图，∠AOB是直角，∠COD也是直角，若∠AOC＝，则∠BOD等于 （ 　）．
A．90°＋　　　B．90°－　　
C．180°＋ 　D．180°－
7. 如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46′，OD平分
∠COE，则∠COB的度数为（ ）．
A. 68°46′ B.82°32′ C. 82°28′ D.82°46′
二、填空题
8． 如图3，∠AOD=80°,∠AOB=30°,OB是∠AOC的平分线，则∠AOC的度数为_________，∠COD的度数为___________．
9．钟表8时30分时，时针与分针所成的角为 度．
10．南偏东80°的射线与西南方向的射线组成的角(小于平角)的度数是 ．
11．（2018春?万州区期末）如图，∠AOC=∠BOD=110°，若∠AOB=150°，∠COD=m°，则m=　　．
12．（2019春?潍坊校级月考）（1）131°28′﹣51°32′15″=　 　；
（2）58°38′27″+47°42′40″=　 　．
13．如图所示，将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E，B1，C1在同一条直线上，则∠AEF＝________．

三、解答题
14.（2018春?黄冈校级期中）如图，A点在B处的北偏东40°方向，C点在B处的北偏东85°方向，A点在C处的西北方向，求∠ABC及∠BCA的度数．
15. 如图所示，直线AB、CD相交于点O，且∠BOC＝80°，OE平分∠BOC．OF为OE的反向延长线．求∠2和∠3的度数，并说明OF是否为∠AOD的平分线．
16．如图所示，五条射线OA、OB、OC、OD、OE组成的图形中共有几个角?如果从O点引出n条射线，能有多少个角?你能找出规律吗?
17.（2019春?启东市月考）如图，∠AOB=90°，∠AOC是锐角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．求∠DOE的度数．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B；
【解析】A选项不能用∠O表示，C选项不能用∠O表示，D选项不能用∠AOB表示．
2．【答案】B；
【解析】借助三角尺能画出15n(n为正整数)的角，角的大小与边的长短无关，两个锐角的和可能是锐角、直角、钝角．
3．【答案】D；
【解析】A中∠1＝∠2，B中∠1＜∠2，C中∠1＜∠2．
4. 【答案】B；
5. 【答案】A；
【解析】所求夹角为： 6°×25－×25－30°×2=77.5°．
6. 【答案】D；
【解析】如图，∠BOD=90°+90°－α=180°－α．
7. 【答案】C；
【解析】如图，∠BOC=180°－40°－2×28o46′=82o28′．
二、填空题
8.【答案】60°，20°；
【解析】∠AOC=2×∠AOB=60°，∠DOC=∠AOD－∠AOC=20°．
9.【答案】75°；
【解析】×30+30°×2=75°．
10.【答案】125°；
【解析】45°+80°=125°．
11.【答案】70．
【解析】∵∠AOC=∠BOD=110°，∠AOB=150°，∴∠BOC=150°﹣110°=40°，
∴∠COD=∠BOD﹣∠BOC=110°﹣40°=70°，∴m=70．
12.【答案】79°55′45″，106°21′7″；
【解析】解：（1）131°28′﹣51°32′15″=79°55′45″．
（2）58°38′27″+47°42′40″=106°21′7″；
故答案为：79°55′45″，106°21′7″．
13.【答案】90°；
【解析】由折叠知∠A′BC＝∠ABC，∠EBD＝∠DBE′．
三、解答题
14.【解析】
解：∵∠DBA=40°，∠DBC=85°，DB∥CE，
∴∠ECB=180°﹣85°=95°，∠ABC=85°﹣40°=45°，
∵∠ECA=45°，
∴∠BCA=95°﹣45°=50°．
15.【解析】
解：因为∠BOC＝80°，OE平分∠BOC
所以∠1＝∠BOC＝×80°＝40°
又因为CD是直线，
所以∠2+∠BOC＝180°，
所以∠2＝180°-80°＝100°
同理∠2+∠AOD＝180°，∠1+∠2+∠3＝180°
所以∠AOD＝80°，∠3＝40°
所以∠3＝∠AOD，所以OF是∠AOD的平分线
16.【解析】
解：如图，图中5条射线共有角的个数：4+3+2+1=10；
如果从O点共引出n条射线，共有角的个数：．
17.【解析】解：如图，∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∠AOB=90°，
∴∠COD=∠BOC=（∠AOB+∠AOC）=45°+∠AOC，∠COE=∠AOE=∠AOC，
∴∠DOE=∠COD﹣∠AOE=45°+∠AOC﹣∠AOC=45°
即：∠DOE=45°．