北师大版初中数学七年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第6讲 有理数的乘除(提高)

有理数的乘除（提高）
【学习目标】
1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；
2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；
4. 培养观察、分析、归纳及运算能力.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．
2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．
3. 有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．
要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
要点二、有理数的除法
1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．
要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
2. 有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
要点三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
要点四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．
【典型例题】
类型一、有理数的乘法运算
1．计算：(1)；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．
【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．
(1)；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．
【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号.
2.（2019秋?碑林区期中）简便计算：
（1）（﹣48）×0.125+48×
（2）（）×（﹣36）
【思路点拨】（1）利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案；（2）运用乘法分配律进行计算即．
【答案与解析】解：（1）（﹣48）×0.125+48×
=48×（﹣+﹣）
=48×0
=0；
（2）（）×（﹣36）
=﹣20+27﹣2
=5．
【总结升华】此题考查了有理数的乘法，用到的知识点是乘法的分配律，解题的关键是运用乘法分配律进行计算．
举一反三：
【变式】用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】
（1）原式
．
(2)
＝(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2
＝-3.14×(35.2+46.6+18.2)
＝-3.14×100
＝-314．
类型二、有理数的除法运算
3．计算：
【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律．
【答案与解析】
解：
【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果．
举一反三：
【变式】计算：
【答案】原式
类型三、有理数的乘除混合运算
4.计算：
【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.
【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，再应按从左到右的顺序进行．
举一反三：
【变式】计算：
【答案】
类型四、有理数的加减乘除混合运算
5. 计算：
【答案与解析】
方法1：
方法2：
所以
【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决，如果按a÷(b+c) ＝a÷b+a÷c进行分配就错了．
举一反三：
【变式】（2018?沐川县二模）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）
1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，
那么计算：=　　．
【答案】
解：==．
类型五、含绝对值的化简
6. 已知a、b、c为不等于零的有理数，你能求出的值吗?
【思路点拨】先分别确定a、b、c的取值，再代入求值．
【答案与解析】
解：分四种情况：
(1)当a、b、c三个数都为正数时，；
(2)当a、b、c三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a为负数，b、c为正数，
；
(3)当a、b、c三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a为正数，b、c为负数，
；
(4)当a、b、c三个数都为负数时，
综上，的值为：
【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论.
举一反三：
【变式】计算的取值.
【答案】(1)当a＞0、b＞0时，；
(2)当a＜0、b＜0时，；
(3)当a＞0，b＜0时，；
(4)当a＜0，b＞0时，．
综上，的值为：
【巩固练习】
一、选择题
1．（2019?自贡）的倒数是（　　）
　 A．﹣2 B． 2 C． D．
2. 若|x-1|+|y+2|+|z-3|＝0，则(x+1)(y-2)(z+3)的值为( )．
A．48 B．-48 C．0 D．xyz
3．已知a＜0，-1＜b＜0，则a，ab，ab2由小到大的排列顺序是( )．
A．a＜ab＜ab2 B．ab2＜ab＜a
C．a＜ab2＜ab D．ab＜a＜ab2
4. 若“!”是一种数学运算符号，并且1!＝1，2!＝2×1!，3!＝3×2×1，4!＝4×3×2×1，……，则的值是为（ ）
A． B．99! C．9900 D．2!
5.下列计算：①0-(-5)＝-5；②；③；④；⑤若，则x的倒数是6．其中正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
6.一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（　 　）
（A）2010 （B）2011 （C）2012 （D）2013
7.（2019?台湾）算式2.5÷[（﹣1）×（2+）]之值为何？（　　）
A.﹣ B.﹣ C.﹣25 D.11
二、填空题
8．（2019秋?岱岳区期末）计算﹣（﹣）的结果是　 ．
9．已知，，且，则的值是________．
10.如果，则化简= .
11.某商场销售一款服装，每件标价150元，若以八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的进价为_____元．
12.在与它的倒数之间有个整数，在与它的相反数之间有个整数，则= .
13.如果有理数都不为0，且它们的积的绝对值等于它们积得相反数，则中最少有 个负数，最多有 个负数.
14. 已知，则____________．
三、解答题
15.计算：（1）计算：
（2）
（3）
（4）(-9)÷(-4)÷(-2)
(5)
（6）2004×20032003-2003×2004200404
16.已知：a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的倒数等于它本身，则的结果是多少？
17．（2018秋?泗阳县校级期末）若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1…．
求的值．
18.用计算器计算下列各式，将结果写在横线上：
；；；
（1）你发现了什么规律，请用字母（为正整数）表示.
（2）不用计算器，直接写出结果
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】A.
2.【答案】B
【解析】由|x-1|+|y+2|+|z-3|＝0可求得x＝1，y＝-2，z＝3，
所以(x+1)(y-2)(z+3)＝2×(-4)×6＝-48．
3.【答案】C
【解析】利用特殊值法，取a＝-2，b＝，则ab＝-2×，，易比较得到．
4.【答案】C
【解析】这类问题需根据题中所给的运算法则计算即可．
100!=100×99×98×…×2×1，98 !＝98×97×…×2×1，故原式＝100×99＝9900
5.【答案】B
【解析】②③正确．
6.【答案】D
【解析】从图可得，截下的部分应该为：蓝 紫 红 黄 绿 |蓝 紫 红 黄 绿|，…，|蓝 紫 红 黄 绿|蓝 紫 红，
每5个一个循环，总个数应该是被5除余3的数，所以答案应为：2014
7．【答案】A
【解析】解：2.5÷[（﹣1）×（2+）]
=2.5÷[（﹣）×]
=2.5÷（﹣2）
=﹣．
故选：A．
二、填空题
8.【答案】3.
【解析】解：原式==3，
故答案为：3．
9.【答案】-8
【解析】因为|x|＝4，所以x＝4或-4．同理，或．又因为，所以x、y异号．所以．
10.【答案】0
【解析】；，所以和为0.
11.【答案】90
【解析】依题意列式为：150×0.8-30＝90．
12.【答案】-5
【解析】由题意可得：，代入计算得：-5
13. 【答案】1； 3
【解析】四个数的积的绝对值等于它们积得相反数，可得这四个数的积为负数，所以负因子的个数为奇数个，从而可得最少有1个，最多有3个.
14. 【答案】-1
三、解答题
15. 【解析】
（1）
（2）因为．从而加数中都含有，所以逆用乘法分配律，可使运算简便．
原式
（3）原式=
(4)原式＝-9÷4÷2＝
(5) 原式==-=-
（6）原式= 2004×2003×10001-2003×2004×10001=0.
16.【解析】由题意得a+b＝0，cd＝1，m＝1或m＝-1．
当m＝1时，原式；
当m＝-1时，原式．
综合可知：的结果是0或-2．
17.【解析】
解：∵1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1…，
∴==9900．
18.【解析】20979，21978，22977，23976
（1），其中表示；
（2）28971