北师大版初中数学七年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第7讲 有理数的乘方、混合运算及科学记数法(提高)

有理数的乘方、混合运算及科学记数法（提高）
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
3. 进一步掌握有理数的混合运算.
4. 会用科学记数法表示大数.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：.在中，叫做底数， n叫做指数．
要点诠释：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 ≥0．
要点诠释：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
要点四、科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||<10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.
要点诠释：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；
（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
【典型例题】
类型一、有理数的乘方
1．（2018?虞城县一模）下列各数：①﹣12；②﹣（﹣1）2；③﹣13；④（﹣1）2，其中结果等于﹣1的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【思路点拨】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
【答案】A．
【解析】解：①﹣12=﹣1，符合题意；②﹣（﹣1）2=﹣1，符合题意；③﹣13=﹣1，符合题意；④（﹣1）2=1，不符合题意．
故选A．
【总结升华】注意与的意义的区别．（n为正整数），（n为正整数）．
举一反三：
【变式】已知，且，则的倒数的相反数是 ．
【答案】
类型二、乘方运算的符号法则
2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．
(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，，-(-2)2010
【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则．
【答案与解析】解：根据乘方的符号法则判断可得：
(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．
【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．
举一反三：
【变式】（2019春?富阳市校级期中）计算（﹣2）2019+（﹣2）2018所得的结果是（　　）
　 A．﹣2 B． 2 C． ﹣22018 D． 22019
【答案】C．
解：（﹣2）2019+（﹣2）2018=（﹣2）2018（﹣2+1）=22018×（﹣1）=﹣22018.
类型三、有理数的混合运算
3．计算：
（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]
（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)
（3）；
（4）
【答案与解析】
解：（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]
　 ＝-9+(-8)÷(-3+5)
　 ＝-9+(-8)÷2
　 ＝-9+(-4)＝-13
（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)
　 ＝(7×72-6×72-1)÷(-214+214-24)
＝[72×(7-6)-1]÷(-24)
＝(49-1)÷(-24)
＝-2
（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.
原式
（4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.
【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．
类型四、科学记数法
4．（2019?酒泉）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（　　）
　 A．0.675×105 B． 6.75×104 C． 67.5×103 D． 675×102
【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【答案】B．
将67500用科学记数法表示为：6.75×104．
【总结升华】将一个绝对值较大的数写成科学记数法的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．在进行运算时，a部分和的部分分别运算，然后再把结果整理成的形式．
类型五、探索规律
5．下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：；
第2个数：；
第3个数：；
…
第n个数：．
那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）．
A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数
【答案】A
【解析】第1个数结果为；第2个数结果为；第3个数结果为；…；发现运算中在后边的各式为，分子、分母相约为1，所以第n个数结果为，把第10、11、12、13个数分别求出，比较大小即可．
【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．
举一反三：
【变式】观察下面三行数：
①-3，9，-27，81，-243，729，…
②0，12，-24，84，-240，732，…
③-1，3，-9，27，-81，243，…
(1)第①行数按什么规律排列?
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?
(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
【答案】
解：(1)第①行数的规律是：-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，…；
(2)第②行数是第①行数相应的数加3，即：-3+3，(-3)2+3，(-3)3+3，(-3)4+3，…；第③行数是第①行数相应的数的，即，，，，…；
(3)每行数中的第10个数的和是：59049+59052+19683＝137784．
【巩固练习】
一、选择题
1．下列说法中，正确的个数为( )．
①对于任何有理数m，都有m2＞0；
②对于任何有理数m，都有m2＝(－m)2；
③对于任何有理数m、n(m≠n)，都有(m－n)2＞0；
④对于任何有理数m，都有m3＝(－m)3．
A．1 B．2 C．3 D．0
2.（2019春?句容市校级期中）与算式22+22+22+22的运算结果相等的是（　　）
A．24 B． 82 C． 28 D． 216
3．设，，，则a、b、c的大小关系为（ ）．
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c
4．（2018?朝阳区校级模拟）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…根据上述算式中的规律，你认为220的末位数字是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．现规定一种新的运算“*”，a*b＝ab，如3*2＝32＝9，则等于（ ）．
A． B．8 C． D．
6．“全民行动，共同节约”，我国13亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约电1 300 000 000度，这个数用科学记数法表示，正确的是( )．
A ．1.30×109 B． 1.3×109 C． 0.13×1010 D． 1.3×1010
7．计算的结果是（ ）．
A．-33 B．-31 C．31 D．33
二、填空题
8． 对于大于或等于2的自然数n的平方进行如下“分裂”，分裂成n个连续奇数的和，则自然数82的分裂数中最大的数是________________．
9．为改善学生的营养状况，中央财政从2011年秋季学期起，为试点地区在校生提供营养膳食补助，一年所需资金约为160亿元，用科学记数法表示为 ．
10．若，则 ．
11．（2018春?张掖校级月考）如图是一个计算程序，若输入的值为﹣1，则输出的结果应为　 　．
12．如果有理数m、n满足，且，则 ．
13.（2019春?濮阳校级期中）看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空…假设悟空一连变了30次，那么会有　　 个孙悟空．
三、解答题
14． 计算：
(1) (2)
(3) (4)-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)
(5)
15．用简便方法计算：
(1)；
(2)．
16.（2019?宜兴市期末）阅读并回答下列问题．
在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相西萨?班?达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求． 那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？即求：1+2+22+23+24+…+263的值．如何求它的值呢？
设s=1+2+22+23+24+…+263；
则2s=2（1+2+22+23+24+…+263）=2+22+23+24+…+263+264；
两式相减得s=264﹣1．
问题1：求1+5+52+53+54+…+52018的值．
问题2：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，试问尖曾头几盏灯？
（注：“红光”指每层都挂着大红灯笼的灯光；“倍加增”指每层灯盏数都是上一层盏数的2倍；“尖头：指塔顶层．）答：尖头有　　 盏灯？
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B
【解析】①错：当m为0时，不满足；②③对；④错：次数为3，互为相反数的两个数的奇数次方的结果也互为相反数．
2. 【答案】A．
3．【答案】 B
【解析】a＝-3×42＝-48，b＝(-3×4)2＝144，c＝-(3×4)2＝-144．故c＜a＜b．
4．【答案】C
【解析】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，
25=32，26=64，27=128，28=256，……
∴220的末位数字是6．
故选C．
5．【答案】A
【解析】．
6．【答案】B
【解析】题目中涉及的数都是准确数，A,B选项中的数是完全一样的，没必要写成A，所以答案为：B
7．【答案】C
【解析】原式=．
二、填空题
8．【答案】15
【解析】每组数中，左边的幂的底数与最下方的数的关系是：．
9．【答案】
【解析】将160亿=16000000000用科学记数法表示为
10．【答案】0
【解析】绝对值与平方均具有非负性，，所以，代入计算即可．
11．【答案】7.
【解析】解：依题意，所求代数式为
（a2﹣2）×（﹣3）+4
=[（﹣1）2﹣2]×（﹣3）+4
=[1﹣2]×（﹣3）+4
=﹣1×（﹣3）+4
=3+4
=7．
故答案为：7．
12．【答案】
【解析】由m+2n=0 得：m=-2n，所以
13.【答案】230．
三、解答题
14．【解析】
解：（1）
（2）
（3）
（4）-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)=-9-30+2=-37
（5）
15．【解析】解：（1）原式

；
（2）原式




16.【解析】
解：问题1：设s=1+5+52+53+54+…+52018，
则5s=5（1+5+52+53+54+…+52018）=5+52+53+54+…+52018+52019，
两式相减得4s=52019﹣1，
s=；
问题2：设尖头有x盏灯，由题意得，（27﹣1）x=381，
解得x=3，
答：尖头有3盏灯．
故答案为：3．