北师大版初中数学七年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第8讲《有理数及其运算》全章复习与巩固(提高)

《有理数及其运算》全章复习与巩固（提高）

【学习目标】
1．理解有理数及其运算的意义，提高运算能力．2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值．3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题．
4． 会用科学记数法表示数．
【知识网络】
/
【要点梳理】
要点一、有理数的相关概念
1．有理数的分类：
（1）按定义分类： （2）按性质分类：
/
要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；
（2）有理数“0”的作用：
作用
举例
表示数的性质
0是自然数、是有理数
表示没有
3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态
表示冰点
表示正数与负数的界点
0非正非负，是一个中性数
2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．
要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．
4．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作．
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．
要点二、有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．
2．运算律：
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
要点三、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
要点四、科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．
【典型例题】
类型一、有理数相关概念
/1．已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．
【思路点拨】 (1)若有理数x与y互为相反数，则x+y＝0，反过来也成立．
(2)若有理数m与n互为倒数，则mn＝1，反过来也成立．
【答案与解析】
解：因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，（a-1）2≥0，
所以x+y＝0，mn＝1，a＝1，
所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010
＝a2-(0+1)a+02009+(-1)2010
＝a2-a+1．
∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1
【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念．
举一反三：
【变式1】选择题
（1）已知四种说法：
①|a|=a时，a>0； |a|=-a时， a<0． ②|a|就是a与-a中较大的数．
③|a|就是数轴上a到原点的距离． ④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|．
其中说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）有四个说法：
①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数
③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数
上述说法正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①②
（3）已知(-ab)3>0，则（ ）
A．ab<0 B．ab>0 C．a>0且b<0 D．a<0且b<0
（4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ ）
A．120 B．-15 C．0 D．-120
（5）下列各对算式中，结果相等的是（ ）
A．-a6与(-a)6 B．-a3与|-a|3 C．[(-a)2]3与(-a3)2 D．(ab)3与ab3
【答案】（1）C；（2）C；（3）A；（4）D；(5)C
【变式2】（2019?甘南州）在“百度”搜索引擎中输入“姚明”，能搜索到与之相关的网页约27000000个，将这个数用科学记数法表示为（　　）
　 A．2.7×105 B． 2.7×106 C． 2.7×107 D． 2.7×108
【答案】C．
/2．（2018?江西校级模拟）如果m，n互为相反数，那么|m+n﹣2018|=________．
【思路点拨】先用相反数的意义确定出m+n=0，从而求出|m+n﹣2018|.
【答案】 2018.
【解析】解：∵m，n互为相反数，
∴m+n=0，
∴|m+n﹣2018|=|﹣2018|=2018；
故答案为2018．
【总结升华】此题是绝对值题，主要考查了绝对值的意义，相反数的性质，熟知相反数的意义是解本题的关键．
类型二、有理数的运算
/3．(1)
(2)
(4)
(5)
【答案与解析】
解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）
【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac；逆向应用分配律：ab+ac＝a(b+c)等．
举一反三：【变式】
（1）
（2）
【答案】
解：（1）



（2）


/4．（2019?铜仁市）定义一种新运算：x*y=/，如2*1=/=2，则（4*2）*（﹣1）=　 　．
【答案】0．
【解析】
解：4*2=/=2，
2*（﹣1）=/=0．
故（4*2）*（﹣1）=0．
【总结升华】本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
举一反三：
【变式】用简单方法计算：
【答案】
解：原式=
类型三、数学思想在本章中的应用
　/5．（1）数形结合思想：已知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＞|b|，求|a|-|a+b|-|b-a|的值．
/
A．2b+a B．2b-a C．a D．b
（2）分类讨论思想：已知a是任一有理数，试比较|a|与-2a的大小．
（3）转化思想：．
【答案与解析】
解：（1）从数轴上a、b两点的位置可以看出a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，所以|a|-|a+b|-|b-a|＝-a+a+b-b+a＝a．
（2）a可能是正数，0或负数，这就需要分类讨论：
当a＞0时，|a|＝a＞0，-2a＜0，所以|a|＞-2a；
当a＝0时，|a|＝0，-2a＝0，所以|a|＝-2a；
当a＜0时，|a|＝-a>0，-2a＞0，又-a＜-2a，所以|a|＜-2a．
综上所述：当a≥0时， |a|≥-2a；当a＜0时，|a|＜-2a．
（3）．
【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．
类型四、规律探索
/6．下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )．
A．495 B．497 C．501 D．503
【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和．
【答案】A
【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A．
【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来．
举一反三：
【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）
/
A． B． C． D．
【答案】B提示：观察发现：分子总是1，第n行的第一个数的分母就是n，第二个数的分母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的倍．根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是．
【巩固练习】
一、选择题1．（2019?咸宁）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　）
　 A．/ B． / C． / D． /
2． /与/比较大小，必定为（ ）．
A．/ B．/ C．/ D．这要取决于b
3．下列语句中，正确的个数是（ ）．
①一个数与它的相反数的商为-1；②两个有理数之和大于其中任意一个加数；
③若两数之和为正数，则这两个数一定都是正数；④若/，则/．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知/，/，/，则/的值是（ ）．
A．-7 B．-3 C．-7或-3 D．±7或±3
5．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“0cm”、“15cm”分别对应数轴上的/，则（ ）．
A．/ B．/ C．/ D．/
6． 如图：
数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、 D对应的数分别是整数a,b,c,d，且b-2a=9，那么数轴的原点对应点是 （ ）．
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
7．有理数a,b,c的大小关系如图：则下列式子中一定成立的是（ ）．
/
A．/ B．/ C．/ D．/
8．记/，令/，称/为/，/，…，/这列数的“理想数”．已知/，/，…，/的“理想数”为2004，那么8，/，/，…，/的“理想数”为( )．
A．2004 B．2006 C．2008 D．2010
二、填空题
9．已知a是有理数，有下列判断：①a是正数；②-a是负数；③a与-a必有一个是负数；④a与-a互为相反数，其中正确的有________个．
10.（2019春?万州区期末）绝对值小于4，而不小于2的所有整数有　 　．
11．一种零件的尺寸在图纸上是/（单位：mm），表示这种零件加工要求最大不超过________，最小不小于________．
12．（2018?巴中）|﹣0.3|的相反数等于　 ．
13．如图，有理数/对应数轴上两点A，B，判断下列各式的符号：
/________0；/________0；
/0；
/________0．
14．已知/满足/，则代数式/的值是
15．某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为-39℃，则此处的高度是 千米．
16．观察下列算式：/ ，/，/，/，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：/．
三、 解答题
17．（2018春?新泰市校级月考）计算：
（1）24+（﹣22）﹣（+10）+（﹣13）
（2）（﹣1.5）+4/+2.75+（﹣5/）
（3）（﹣8/）+（﹣7.5）+（﹣21/）+（+3/）
（4）（﹣24）×（﹣/+/+/）
18.（2019?燕山区一模）为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租车的运价为3公里以内10元；超出3公里后每公里2元；单程超过15公里，超过部分每公里3元．小周要到离家10公里的博物馆参观，若他往返都乘坐纯电动出租车，共需付车费多少元？
19．已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，/，b的形式，且x的绝对值为2，求/的值．
20．一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算
（1）一粒大米重约多少克？
（2）按我国现有人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）
（3）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元∕千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）
（4）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？
（5）经过以上计算，你有何感想和建议？
【答案与解析】
一、选择题1.【答案】C.
【解析】∵|﹣0.6|＜|+0.7|＜|+2.5|＜|﹣3.5|，∴﹣0.6最接近标准，故选：C．
2．【答案】 D
【解析】当/为0时，/；当/为正数时，/；当/为负数时，/
3．【答案】 B
【解析】只有④正确，其他均错．
4．【答案】C
【解析】/，/，所以/或/
5．【答案】C
【解析】/
6．【答案】C
【解析】由图可知：/，又/，所以/
7．【答案】C
【解析】由图可知：/，且/表示数轴上数/对应点与数/对应点之间的距离，此距离恰好等于数/对应点到原点的距离与数/对应点到远点的距离之和，所以选项C正确．
8．【答案】C
【解析】∵ /，/，…，/的“理想数”为2004，
∴ /，
∴ /．
8，/，/，…，/中，/；/；/；…，/
∴ 8，/，/，…，/的理想数为：
/
/
二、填空题
9．【答案】1
【解析】不论a是正数、0、负数，a与-a都互为相反数，∴④正确.
10.【答案】±3，±2．
【解析】结合数轴和绝对值的意义，得绝对值小于4而不小于2的所有整数±3，±2.
11．【答案】 7.05mm, 6.98mm
【解析】7+0.05=7.05mm, 7-0.02=6.98mm.
12．【答案】-0.3
【解析】解：∵|﹣0.3|=0.3，
0.3的相反数是﹣0.3，
∴|﹣0.3|的相反数等于﹣0.3．
故答案为：﹣0.3．
13．【答案】>， >， >， <
【解析】由图可得：/,特殊值法或直接推理可得：/
/．
14．【答案】1
【解析】/又/可得：三数必一负两正，不防设：/，代入原式计算即可．
15．【答案】 10
【解析】21-（-39）÷6×1=10（千米）.
16．【答案】 /
【解析】观察可得规律为：/.
三、解答题17．【解析】
解：（1）24+（﹣22）﹣（+10）+（﹣13）
=24﹣22﹣10﹣13
=2﹣23
=﹣21；
（2）（﹣1.5）+4/+2.75+（﹣5/）
=﹣1.5﹣5.5+4.25+2.75
=﹣7+7
=0；
（3）（﹣8/）+（﹣7.5）+（﹣21/）+（+3/）
=﹣8/﹣21/﹣7.5+3.5
=﹣30﹣4
=﹣34；
（4）（﹣24）×（﹣/+/+/）
=﹣24×（﹣/）﹣24×/﹣24×/
=16﹣18﹣2
=﹣4．
18.【解析】
解：由3＜10＜15，得到车费为2[10+2（10﹣3）]=48（元），
则共付车费48元．
19．【解析】解：由1，a+b，a与0，/，b相同，
由/得：分母有/，所以/
又由三数互不相等，所以/，/
化简得：/，/，/，/
∴ /．
20．【解析】
解：（1）10÷500≈0.02（克）
答：一粒大米重约0.02克．
（2）0.02×1×3×365×1300000000÷1000=2.847×107（千克）
答：一年大约能节约大米2.847×107千克．
（3）2×2.847×107=5.694×107（元）
答：可卖得人民币5.694×107元．
（4）5.694×107÷500=1.1388×105
答：可供11388名失学儿童上一年学．
（5）一粒米虽然微不足道，但是我们一年节约下来的钱数大的惊人．所以提倡节约，杜绝浪费，我们要行动起来．