北师大版初中数学七年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第19讲 一元一次方程 的解法(基础)

一元一次方程的解法（基础）知识讲解
【学习目标】
熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；
掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；
进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.
【要点梳理】
要点一、解一元一次方程的一般步骤
变形名称
具体做法
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
(1)不要漏乘不含分母的项
(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
(1)不要漏乘括号里的项
(2)不要弄错符号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
(1)移项要变号
(2)不要丢项
合并同类项
把方程化成ax＝b(a≠0)的形式
字母及其指数不变
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解/．
不要把分子、分母写颠倒
要点诠释：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
要点二、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
要点诠释：此类问题一般先把方程化为/的形式，再分类讨论：
(1)当/时，无解；（2）当/时，原方程化为：/；（3）当/时，原方程可化为：/或/.
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时，/；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
【典型例题】
类型一、解较简单的一元一次方程
/1．（2018?广州）解方程：5x=3（x﹣4）
【答案与解析】
解：方程去括号得：5x=3x﹣12，
移项合并得：2x=﹣12，
解得：x=﹣6．
【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：
(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边．
(2)合并：即通过合并将方程化为ax＝b(a≠0)的形式．
(3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a，即得方程的解/．
举一反三：
【变式】下列方程变形正确的是( )．
A．由2x-3＝-x-4，得2x+x＝-4-3
B．由x+3＝2-4x，得5x＝5
C．由/，得x＝-1
D．由3＝x-2，得-x＝-2-3
【答案】D
类型二、去括号解一元一次方程
/2．解方程：
【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从而解出方程．
【答案与解析】（1）去括号得：/
移项合并得：/
解得：/
（2）去括号得：/
移项合并得：/
解得：/
【总结升华】去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“+”号，不变号；括号前面是“-”，各项均变号．
举一反三：
【变式】解方程： 5(x-5)+2x＝-4．
【答案】解： 去括号得：5x-25+2x＝-4．
移项合并得： 7x＝21．
解得： x＝3．
类型三、解含分母的一元一次方程
/3．（2019春?新乡期末）解方程/﹣2=/．
【思路点拨】方程按照去分母，去括号，移项合并同类项，把x系数化为1的步骤，即可求出解．
【答案与解析】
解：去分母得：2（2x﹣1）﹣12=3（3x+2），
去括号得：4x﹣2﹣12=9x+6，
移项合并得：5x=﹣20，
解得：x=﹣4．
【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
举一反三：
【变式】（2018?岳池县模拟）解方程：x+/=/﹣/．
【答案】解：去分母得：12x+30=24x﹣8﹣3x+24，
移项合并得：﹣9x=﹣14，
解得：x=/．
类型四、解较复杂的一元一次方程
/4．解方程：/
【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．
【答案与解析】原方程可以化成：/．
去分母，得：30x-7(17-20x)＝21．
去括号、移项、合并同类项，得：170x＝140．
系数化成1，得：/．
【总结升华】解此题的第一步是利用分数基本性质把分母、分子同时扩大相同的倍数，以使分母化整，与去分母方程两边都乘以分母的最小公倍数要区分开．
/5. 解方程：/
【答案与解析】
解法1：先去小括号得：/
再去中括号得：/
移项，合并得：/
系数化为1，得：/
解法2：两边均乘以2，去中括号得：/
去小括号，并移项合并得：/，解得：/
解法3：原方程可化为：/
去中括号，得/
移项、合并，得/
解得/
【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由里到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．
举一反三：
【变式】/
【答案】
解：去中括号得：/
去小括号，移项合并得：/，解得x＝-8
类型五、解含绝对值的方程
/6．解方程|x|-2＝0
【答案与解析】
解：原方程可化为：/
当x≥0时，得x=2，
当x＜0时，得-x=2，即，x＝-2．
所以原方程的解是x＝2或x＝-2．
【总结升华】此类问题一般先把方程化为/的形式，再根据/的正负分类讨论，注意不要漏解．
【巩固练习】
一、选择题
1．（2018春?唐河县期末）方程|2x﹣1|=2的解是（　　）
A. x=/ B. x=﹣/ C. x=/或x=﹣/ D. x=﹣/
2．下列解方程的过程中，移项错误的是( )．
A．方程2x+6＝-3变形为2x＝-3+6
B．方程2x-6＝-3变形为2x＝-3+6
C．方程3x＝4-x变形为3x+x＝4
D．方程4-x＝3x变形为x+3x＝4
3. 方程/的解是 （ ）．
A．/ B．/ C．/ D．/
4．对方程2(2x-1)-(x-3)＝1，去括号正确的是( )．
A．4x-1-x-3＝1 B．4x-1-x+3＝1 C．4x-2-x-3＝1 D．4x-2-x+3＝1
5．方程/可变形为( )．
A．3-x-1＝0 B．6-x-1＝0 C．6-x+1＝0 D．6-x+1＝2
6．3x-12的值与/互为倒数，则x的值为( )．
A．3 B．-3 C．5 D．-5
7．（2019?株洲）在解方程/时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（　　）
A．2x﹣1+6x=3（3x+1） B．2（x﹣1）+6x=3（3x+1）
C．2（x﹣1）+x=3（3x+1） D．（x﹣1）+x=3（x+1）
8.某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（ ）．
A．54盏 B．55盏 C．56盏 D．57盏
二、填空题
9．(1)方程2x+3＝3x-2，利用________可变形为2x-3x＝-2-3，这种变形叫________．
(2)方程-3x＝5，利用________，把方程两边都_______，把x的系数化为1，得x＝________．
10．方程2x-kx+1＝5x-2的解是x＝-1，k的值是_______．
11．（2018秋?铜陵期末）如果|a+3|=1，那么a=　 　．
12．（2019春?南江县校级月考）在解方程/﹣/=2时，去分母得　 　．
13．在有理数范围内定义一种运算“※”，其规则为a※b＝a-b．根据这个规则，求方程(x-2)※1＝0的解为________．
14．一列长为150m的火车，以15m/s的速度通过600m的隧道，则这列火车完全通过此隧道所需时间是________s．
三、解答题
15．解下列方程：
(1)4(2x-1)-3(5x+2)＝3(2-x)；
(2)/；
(3)/ ．
16.（2018春?宜阳县期中）当k取何值时，关于x的方程2（2x﹣3）=1﹣2x和8﹣k=2（x+/）的解相同？
17．小明的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨汁污染了，成为/，他翻看了书后的答案，知道了这个方程的解是/，于是他把被污染了的数字求出来了，请你把小明的计算过程写出来．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】C.
【解析】由题意，2x﹣1=2，或2x﹣1=﹣2，解这两个方程得：x=/，或x=﹣/
2. 【答案】A
【解析】A中移项未改变符号．
3. 【答案】C
【解析】系数化为1，两边同乘以4即可．
4. 【答案】D
【解析】A中，去掉第1个括号时第二项漏乘，去掉第2个括号时，-3没变号；B中，去掉第1个括号时第二项漏乘；C中，去掉第2个括号时，-3没变号．
5．【答案】C
【解析】A中，去分母时3没有乘以2，-1没变号；B中，去分母时-1没变号；D中，等号右边0乘以2应是0，而不应是2．
6．【答案】A
【解析】-3x-12与/互为倒数，所以3x-12＝-3，x＝3．
7. 【答案】B
【解析】解：方程两边同时乘以6得：2（x﹣1）+6x=3（3x+1），
故选B．
8. 【答案】B
【解析】设有/盏，则有/个灯距，由题意可得：/，解得：/．
二、填空题
9．【答案】(1)等式性质1，移项； (2)等式性质2，除以-3，/
10．【答案】k＝-6
【解析】将/代入得：/，解得：/．
11.【答案】﹣2或﹣4．
【解析】∵|a+3|=1，∴a+3=1或a+3=﹣1，∴a=﹣2或﹣4．
12．【答案】3（x+1）﹣2（2x﹣3）=24．
【解析】解：方程两边都乘以12，去分母得，3（x+1）﹣2（2x﹣3）=24．
故答案为：3（x+1）﹣2（2x﹣3）=24．
13．【答案】x＝3
【解析】根据规则得：x-2-1＝0，x＝3．
14．【答案】50
【解析】/(秒) ．
三、解答题
15．【解析】
解：(1)8x-4-15x-6＝6-3x
8x-15x+3x＝6+4+6
-4x＝16
x＝-4
(2)/
6x-3(1-x)＝18-2(x-2)
11x＝25
/
(3)原方程可化为：/，约分得：5x-10-(2x+2)＝3，去括号得5x-10-2x-2＝3，移项及合并，得3x＝15，系数化为1，得x＝5．
16.【解析】
解2（2x﹣3）=1﹣2x，得
x=/，
把x=/代入8﹣k=2（x+/），得
8﹣k=2（/+/），
解得k=4，
当k=4时，关于x的方程2（2x﹣3）=1﹣2x和8﹣k=2（x+/）的解相同．
17．【解析】
解：将/代入，得：
/．
解得：/．
所以被污染的数字为3．