北师大版初中数学七年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第20讲 一元一次方程应用（一）—水箱变高了与打折销售(基础)

一元一次方程应用（一）--
水箱变高了与打折销售（基础）知识讲解
【学习目标】
1.能分析简单问题中的数量关系，并建立方程解决问题；体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系．
2.进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会数学的应用价值.
【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
要点二、水箱变高了（等积变形问题）
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.
常用的面积、体积公式：
长方形的周长公式：(长+宽)×2；面积公式：长×宽
长方体的体积公式：长×宽×高
正方形的周长公式：边长×4； 面积公式：边长×边长
正方体体积公式：边长×边长×边长
圆的周长公式：C=；面积公式：；
圆柱的体积公式：V柱=底面积×高；圆锥的体积公式：V锥=×底面积×高
要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住两个等量关系：第一，形变体积不变；第二，形变体积也变，但重量不变.
要点三、打折销售（利润问题）
(1)
(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
(3) 实际售价＝标价×打折率
(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住价格升降对利润的影响来考虑．
【典型例题】
类型一、水箱变高了（等积变形问题）
1．一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离．
【思路点拨】先求得两个圆柱的体积，进而求得体积差，等量关系为：体积小的底面积×高度=体积差，把相关数值代入即可求解．
【答案与解析】
解：底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内体积为：V1=π×（）2×18=（立方厘米），
底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃体积为：V2=π×（6÷2）2×10= （立方厘米），
因为V2＜V1，所以装不下.
设瓶内水面还有xcm．
π×（）2×x= ，
解得：x=3.6．
答：装不下，瓶内水面还有3.6厘米．
【总结升华】解决本题的难点是判断出哪个容器的体积大；关键是得到倒满较小的容器后的体积的等量关系．
2．一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其它三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米，你认为谁的设计符合实际按照他的设计，鸡场的面积是多少？
【答案与解析】
解：根据小王的设计可以设宽为x米，则长为（x+5）米，根据题意得：2x+（x+5）=35解得： x=10．因此小王设计的长为x+5=10+5=15（米），而墙的长度只有14米，小王的设计不符合实际的．根据小赵的设计可以设宽为y米，长为（y+2）米，根据题意得2y+（y+2）=35解得： y=11．因此小赵设计的长为y+2=11+2=13（米），而墙的长度只有14米，显然小赵的设计符合要求，此时鸡场的面积为11×13=143（平方米）．
答：小赵的设计符合实际按照他的设计，鸡场的面积是143平方米.
【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，但要注意所得的结果应满足实际情况的需要.
类型二、打折销售（利润问题）
3．（2019?潮南区模拟）某商场销售的一款空调机每台的标价是3270元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．
（1）求这款空调每台的进价？（利润率==）．
（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？
【思路点拨】（1）利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可；
（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．
【答案与解析】
解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：
3270×0.8﹣x=9%x，
解得：x=2400，
答：这款空调每台的进价为2400元；
（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×2400×9%=21600（元），
答：商场销售了这款空调机100台，盈利21600元．
【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意．分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要．
举一反三：
【变式】（2019?滦平县二模）一家商店将某种商品按进货价提高100%后，又以6折优惠售出，售价为60元，则这种商品的进货价是（　　）
A．120元 B．100元 C．72元 D．50元
【答案】D．
解：设进货价为x元，由题意得：
（1+100%）x?60%=60，
解得：x=50.
4．（2019?怀柔区二模）列方程或方程组解应用题：
周末小明和爸爸准备一起去商场购买一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商场都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价30元，茶杯每把定价5元，且两家都有优惠．甲商场买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯）；乙商场全场九折优惠．小明的爸爸需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）．当去两家商场付款一样时，求需要购买茶杯的数量．
【思路点拨】由题意可知，在甲店买一把茶壶赠送茶杯一只，故需付5只茶壶的钱和x﹣5只茶杯的钱，已知茶壶和茶杯的钱，可列出付款关于x的式子；在乙店购买全场9折优惠，同理也可列出付款关于x的式子；若两种优惠办法付款一样，则两式子的值相等，计算出x的值即需购买茶杯的数目．
【答案与解析】
解：设购买茶杯x只，依题意得
5x+125=4.5x+135，
解得：x=20．
所以购买茶杯20只时，两种优惠办法付款一样．
【总结升华】本题考查了一元一次方程在经济问题中的运用以及买东西的优惠问题．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
举一反三：
【变式】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容(如图所示)，求出李明上次所买书籍的原价．
【答案】
解：设李明上次购买书籍的原价为x元，由题意得：
0.8x+20＝x-12，
解得：x＝160．
答：李明上次所买书籍的原价是160元．
【巩固练习】
一、选择题
1．有一个底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（　　）
　
A．
6cm
B．
8cm
C．
10cm
D．
12cm
2．请根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）
A．　　　　B．C．?　 　　　　　D．
3． 图（①）为一正面白色，反面灰色的长方形纸片．今沿虚线剪下分成甲、乙两长方形纸片，并将甲纸片反面朝上黏贴于乙纸片上，形成一张白、灰相间的长方形纸片，如图（②）所示．若图（②）中白色与灰色区域的面积比为8：3，图（②）纸片的面积为33，则图（①）纸片的面积为（　　）
　
A．
B．
C．
42
D．
44
4．（2019?阜新）商场将某种商品按原价的8折出售，仍可获利20元．已知这种商品的进价为140元，那么这种商品的原价是（　　）
A．160元 B．180元 C．200元 D．220元
5． 某个体商贩在一次买卖中同时卖出两件上衣, 每件售价均为135元, 若按成本计算, 其中一件盈利25%, 一件亏本25%, 则在这次买卖中他 ( )
A．不赚不赔 B． 赚9元 C． 赔18元 D．赚18元
6．（2019?大庆）某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同．2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元．2月份与1月份的销售总额相同，则1月份的售价为（　　）
A．880元 B．800元 C．720元 D．1080元
二、填空题
7．用长为1米，直径是40毫米的圆钢能锻拉成直径为4毫米的圆钢丝　 　 　米．
8．一只直径为90毫米的圆柱形玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个底面积为131×131平方毫米、高为81毫米的长方体铁盒中，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度大约下降了多少设大约下降了x毫米，则可列方程　 ．
9．如图，将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条（阴影部分）后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条，若两次剪下的长条面积正好相等，则每一个长条的面积为　　cm2．
10．（2019?孝义市三模）五一期间，某商厦为了促销，将一款每台标价为1635元的空调按标价的八折销售，结果仍能盈利9%，则是这款空调机每台的进价为　 　元．
11．五?一期间，某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了　　折优惠．
12．商场打折促销时，张老师买了一件衣服和一条裤子，共用了284元．其中衣服按标价打六折，裤子按标价打八折，衣服的标价为300元，则裤子的标价应为 元.
三、解答题
13．（2019?泰州）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？
14．若进货价降低8%，而售出价不变，那么利润可由目前的p%增加到（p+10）%，求p．
15．在一次春游中，小明、小亮等同学随家人一同到江郎山游玩．如图所示是购买门票时，小明与他爸爸的对话：
问题：(1)小明他们一共去了几个成人?几个学生?
(2)请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱?并说明理由．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C
【解析】设小杯的高为x，根据题意得：π×102×30=π×12×（10÷2）2x解得：x=10
2．【答案】A
【解析】等级变形问题，形变体积不变．
3．【答案】C
【解析】设每一份为x，则图②中白色的面积为8x，灰色部分的面积为3x，由题意，得
8x+3x=33，解得：x=3，∴灰色部分的面积为：3×3=9，∴图（①）纸片的面积为：33+9=42．
4．【答案】C；
【解析】解：设原价为x元，根据题意可得：
80%x=140+20，
解得：x=200．
所以该商品的原价为200元；
故选：C．
5．【答案】C
【解析】成本分别为：，；
盈亏：
6.【答案】A．
【解析】设1月份每辆车售价为x元，则2月份每辆车的售价为（x﹣80）元，
依题意得 100x=（x﹣80）×100×（1+10%），
解得x=880．
即1月份每辆车售价为880元．
二、填空题
7．【答案】100
【解析】设能锻拉成直径为4毫米的圆钢丝x米，则，解得：＝100．
8．【答案】
【解析】等级变形问题，形变体积不变．
9．【答案】80
【解析】解：设正方形的边长是xcm，则根据题意得：4x=5（x﹣4），解得：x=20．故长方条的面积为4x=80cm2．
10.【答案】1200；
【解析】解：设这款空调机每台的进价为x元，根据题意，
得：1635×0.8﹣x=9%x，
解得：x=1200，
∴这款空调机每台的进价为1200元，
故答案为：1200．
11．【答案】九
　 【解析】设用贵宾卡又享受了x折优惠，依题意得：10000﹣10000×80%×=2800，解之得：x=9．
12．【答案】130
【解析】设裤子标价为x元．由题意得：300×60%+80%x=284，解得：x=130．
三、解答题
13.【解析】
解：设每件衬衫降价x元，依题意有
120×400+（120﹣x）×100=80×500×（1+45%），
解得x=20．
答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．
14．【解析】
解：设进货价为x，则下降后的进货价为0.92x．
则 （1+p%）x= [1+（10+p）%]0.92x，即（1+0.01p）x= [1+0.01（p+10）] 0.92x，解得： p=15．
答：p为15．
15．【解析】
解：(1)设小明他们一共去了x个成人，则去了(11-x)个学生，根据题意得：
40x+0.5×40×(11-x)＝360．
解得x＝7．所以11-x＝4．
答：小明他们一共去了7个成人，4个学生．
(2)若按14人购买团体票，则需要花费：
14×40×60%＝336(元)，
360-336＝24(元)．
答：买团体票更省钱，可节省24元．