第一章 数与式
第3节 整式及其运算
考点1整式的相关概念
1．单项式：由______或___________相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式，所有字母指数的和叫做__________，单项式中的数字因数叫做____________．
2．多项式：由几个_________ __组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个___________，不含字母的项叫做__________．
3．整式：_____________________．
4．同类项：多项式中，所含___________相同，并且____________也相同的项，叫做同类项．
5.代数式及求值
?(1)概念：用________运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把_____或表示数的______连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；?
(2)列代数式：找出数量关系，用表示数的字母将它数学化的过程；?
(3)代数式的值：用_________代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值；
?(4)代数式求值的步骤：a.代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；b.计算．
考点2 整式的运算
1．整式的加减
(1)合并同类项：①字母和字母的指数不变；②_________________相加减作为新的系数．
(2)添(去)括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项运算________；括号前面是“－”，把括号去掉，括号里各项加号变_________，减号变___________．
2．幂的运算法则
(1)同底数幂相乘：
am·an＝________(m，n都是整数，a≠0)．
(2)幂的乘方：
(am)n＝______(m，n都是整数，a≠0)．
(3)积的乘方：
(ab)n＝________(n是整数，a≠0，b≠0)．
(4)同底数幂相除：
am÷an＝__________(m，n都是整数，a≠0)．
3．整式乘法
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
4．乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝____________．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝______________．
5．整式除法
单项式相除，把系数、同底数幂分别__________，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
考点1单项式、单项式、同类项、幂的运算性质
◇典例：
（2019年湖南省怀化市）单项式﹣5ab的系数是（ ）
A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2
【考点】单项式
【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，可得答案
解：单项式﹣5ab的系数是﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
（2019年湖南省株洲市）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（ ）
A．2x5 B．3x3y2 C．﹣x2y3 D．﹣y5
【考点】同类项
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可．
解：A、2x5与3x2y3不是同类项，故本选项错误，
B、3x3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错误，
C、﹣x2y3与3x2y3是同类项，故本选项正确，
D、﹣y5与3x2y3是同类项，故本选项错误，
故选：C．
【点评】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是理解同类项的定义．
（2019年辽宁省大连市）计算（﹣2a）3的结果是（ ）
A．﹣8a3 B．﹣6a3 C．6a3 D．8a3
【考点】幂的乘方与积的乘方
【分析】利用积的乘方的性质求解即可求得答案．
解：（﹣2a）3＝﹣8a3，
故选：A．
【点评】此题考查了积的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．
◆变式训练
（2019年安徽省）计算 的结果是（ ）
A．a2 B．-a2 C．a4 D．-a4
（2019年河北省）小明总结了以下结论：
①a（b+c）＝ab+ac，
②a（b﹣c）＝ab﹣ac，
③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0），
④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0）
其中一定成立的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2019年福建省）下列运算正确的是( ).
A．a·a3= a3 B．(2a)3=6a3 C．a6÷a3= a2 D．(a2)3－(－a3)2=0
（2019年江苏省连云港市）计算下列代数式，结果为x5的是（ ）
A．x2+x3 B．x?x5 C．x6﹣x D．2x5﹣x5
■考点2整式的运算
◇典例：
（2019年江苏省淮安市）计算a?a2的结果是（ ）
A．a3 B．a2 C．3a D．2a2
【考点】同底数幂的乘法
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得答案．
解：原式＝a1+2＝a3．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，注意底数不变指数相加．
（2019年湖北省宜昌市）化简（x﹣3）2﹣x（x﹣6）的结果为（ ）
A．6x﹣9 B．﹣12x+9 C．9 D．3x+9
【考点】单项式乘多项式，完全平方公式
【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则化简得出答案．
解：原式＝x2﹣6x+9﹣x2+6x
＝9．
故选：C．
【点评】此题主要考查了完全平方公式以及单项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解
（2019年湖南省怀化市）当a＝﹣1，b＝3时，代数式2a﹣b的值等于 ．
【考点】代数式求值
【分析】把a、b的值代入代数式，即可求出答案即可．
解：当a＝﹣1，b＝3时，2a﹣b＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了求代数式的值的应用，能正确进行有理数的混合运算是解此题的关键．
题关键．
（2019年四川省凉山州）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】注意到（a+3）2可以利用完全平方公式进行展开，（a+1）（a﹣1）利润平方差公式可化为（a2﹣1），则将各项合并即可化简，最后代入a＝进行计算．
解：
原式＝a2+6a+9﹣（a2﹣1）﹣4a﹣8
＝2a+2
将a＝﹣代入原式＝2×（﹣）+2＝1
【点评】本题主要考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变
◆变式训练
（2019年广西柳州市）计算：x（x2﹣1）＝（ ）
A．x3﹣1 B．x3﹣x C．x3+x D．x2﹣x
（2019年四川省泸州市）计算3a2?a3的结果是（ ）
A．4a5 B．4a6 C．3a5 D．3a6
（2019年江苏省常州市）如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是 ．
（2019年江苏省扬州）计算：的结果是_____.
（2019年吉林省长春市）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝．
■考点3：巧用乘法公式、探索规律
◇典例
（2019年湖北省黄石市）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是 ．
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】根据题目中的数据和各行的数字个数的特点，可以求得第20行第19个数是多少，本题得以解决．
解：由图可得，
第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20＝210个数，
∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）＝628，
∴第20行第19个数是：628﹣3＝625，
故答案为：625．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字的变化特点，知道第n个数可以表示为1+3（n﹣1）．
（2019年安徽省）已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（ ）
A．b>0，b2-ac≤0 B．b＜0，b2-ac≤0
C．b>0，b2-ac≥0 D．b＜0，b2-ac≥0
【考点】等式的性质,完全平方公式的应用
【分析】根据题意得a+c=2b，然后将a+c替换掉可求得b＜0，将b2-ac变形为，可根据平方的非负性求得b2-ac≥0.
解：∵a-2b+c=0，
∴a+c=2b，
∴a+2b+c=4b＜0，
∴b＜0，
∴a2+2ac+c2=4b2，即
∴b2-ac=，
故选：D.
【点睛】本题考查了等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
◆变式训练
（2019年云南省）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是( )
A．(－1)n－1x2n－1 B．(－1)nx2n－1
C．(－1)n－1x2n＋1 D．(－1)nx2n＋1
（2019年四川省遂宁市）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i，
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i，
（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17，
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i
根据以上信息，完成下面计算：
（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝ ．
（2019年广西玉林市）下列运算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2
B．3a2﹣2a＝a
C．（﹣a）3?（﹣a2）＝﹣a5
D．（2a3b2﹣4ab4）÷（﹣2ab2）＝2b2﹣a2
（2019年浙江省台州市）计算2a﹣3a，结果正确的是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣a D．a
（2019年湖北省黄石市）化简（9x﹣3）﹣2（x+1）的结果是（ ）
A．2x﹣2 B．x+1 C．5x+3 D．x﹣3
（2019年江苏省泰州市）若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
（2019年贵州省贵阳市 ）选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（ ）
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
（2019年湖北省黄冈市）﹣x2y是 次单项式．
（2019年黑龙江省绥化市）计算：_____．
（2019年山东省潍坊市）若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝ ．
（2019年湖南省岳阳市）已知x﹣3＝2，则代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1的值为 ．
（2019年湖北省咸宁市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是 ．
（2019年浙江省宁波市）先化简，再求值：（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1），其中x＝3．
（2019年重庆市（a卷））《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数﹣“纯数”．
定义，对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，
例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位，
23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由，
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
选择题
（2019年河南省 (1)）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2019年浙江省金华市、丽水市）计算a6÷a3，正确的结果是（ ）
A．2 B．3a C．a2 D．a3
（2019年四川省绵阳市）已知4m＝a，8n＝b，其中m，n为正整数，则22m+6n＝（ ）
A．ab2 B．a+b2 C．a2b3 D．a2+b3
（2019年山东省烟台市）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
（2019年重庆市（a卷））按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（ ）
A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝0 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝1
（2019年四川省资阳市）4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1=2S2，则a、b满足（ ）
A. 2a=5b B. 2a=3b C. a=3b D. a=2b
（2019年山东省枣庄市）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）
A． B． C． D．
（2019年湖北省十堰市）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（ ）
A．50 B．60 C．62 D．71
（2019年湖北省武汉市）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（ ）
A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a
（2019年广西柳州市）定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2＝﹣1），a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如（1+3i）2＝12+2×1×3i+（3i）2＝1+6i+9i2＝1+6i﹣9＝﹣8+6i，因此，（1+3i）2的实部是﹣8，虚部是6．已知复数（3﹣mi）2的虚部是12，则实部是（ ）
A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5
（2019年山东省德州市）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（ ）
A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5
填空题
（2019年山东省淄博市（a卷））单项式a3b2的次数是 ．
（2019年广西柳州市）计算：7x﹣4x＝ ．
（2019年湖南省怀化市）合并同类项：4a2+6a2﹣a2＝ ．
（2019年四川省绵阳市）单项式x﹣|a﹣1|y与2xy是同类项，则ab＝ ．
（2019年江苏省徐州市）若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为 ．
（2019年四川省乐山市）若3m＝9n＝2．则3m+2n＝ ．
（2019年山东省枣庄市）若m﹣＝3，则m2+＝ ．
（2019年浙江省衢州市）已知实数m，n满足则代数式m2﹣n2的值为 ．
（2019年山东省滨州市（a卷））观察下列一组数：
a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数an＝ （用含n的式子表示）
（2019年广东省）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是_______（结果用含、代数式表示）.
（2019年广西河池市）a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，是一列数，已知第1个数a1＝4，第5个数a5＝5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数a2019的值是 ．
、解答题
（2019年江苏省南京 ）计算．
（2019年浙江省湖州市）化简：（a+b）2﹣b（2a+b）．
（2019年贵州省贵阳市 ）如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．
（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；
（2）当a＝3，b＝2时，求矩形中空白部分的面积．
（2019年江苏省徐州市）【阅读理解】
用10cm×20cm的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为20cm的图案．已知长度为10cm、20cm、30cm的所有图案如下：
【尝试操作】
如图，将小方格的边长看作10cm，请在方格纸中画出长度为40cm的所有图案．
【归纳发现】
观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．
图案的长度
10cm
20cm
30cm
40cm
50cm
60cm
所有不同图案的个数
1
2
3
（2019年山东省青岛市）问题提出：
如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
问题探究：
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：
把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．
探究二：
把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的 2 2×方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．
探究三：
把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到 个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 种不同的放置方法．
探究四：
把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到 个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 种不同的放置方法．
……
问题解决：
把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）
问题拓展：
如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到 个图⑦这样的几何体．
（2019年湖南省张家界市）阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，…的公差d为 ，第5项是 ．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．
所以
a2＝a1+d
a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，
a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+（ ）d．
（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？
第一章 数与式
第3节 整式及其运算
考点1整式的相关概念
1．单项式：由__数与字母__或__字母与字母__相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式，所有字母指数的和叫做__单项式的次数__，单项式中的数字因数叫做__单项式的系数__．
2．多项式：由几个__单项式相加__组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个__多项式的次数__，不含字母的项叫做__常数项__．
3．整式：__单项式和多项式统称为整式__．
4．同类项：多项式中，所含__字母__相同，并且__相同字母的指数__也相同的项，叫做同类项．
5.代数式及求值
?(1)概念：用__基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的__字母__连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；?
(2)列代数式：找出数量关系，用表示数的字母将它数学化的过程；?
(3)代数式的值：用__具体数__代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值；
?(4)代数式求值的步骤：a.代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；b.计算．
考点2 整式的运算
1．整式的加减
(1)合并同类项：①字母和字母的指数不变；②__同类项的系数__相加减作为新的系数．
(2)添(去)括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项运算__不变__；括号前面是“－”，把括号去掉，括号里各项加号变__减号__，减号变__加号__．
2．幂的运算法则
(1)同底数幂相乘：
am·an＝__am＋n__(m，n都是整数，a≠0)．
(2)幂的乘方：
(am)n＝__amn__(m，n都是整数，a≠0)．
(3)积的乘方：
(ab)n＝__an·bn__(n是整数，a≠0，b≠0)．
(4)同底数幂相除：
am÷an＝__am－n__(m，n都是整数，a≠0)．
3．整式乘法
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
4．乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝__a2±2ab＋b2__．
5．整式除法
单项式相除，把系数、同底数幂分别__相除__，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
考点1单项式、单项式、同类项、幂的运算性质
◇典例1：
（2019年湖南省怀化市）单项式﹣5ab的系数是（ ）
A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2
【考点】单项式
【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，可得答案
解：单项式﹣5ab的系数是﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
（2019年湖南省株洲市）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（ ）
A．2x5 B．3x3y2 C．﹣x2y3 D．﹣y5
【考点】同类项
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可．
解：A、2x5与3x2y3不是同类项，故本选项错误，
B、3x3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错误，
C、﹣x2y3与3x2y3是同类项，故本选项正确，
D、﹣y5与3x2y3是同类项，故本选项错误，
故选：C．
【点评】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是理解同类项的定义．
（2019年辽宁省大连市）计算（﹣2a）3的结果是（ ）
A．﹣8a3 B．﹣6a3 C．6a3 D．8a3
【考点】幂的乘方与积的乘方
【分析】利用积的乘方的性质求解即可求得答案．
解：（﹣2a）3＝﹣8a3，
故选：A．
【点评】此题考查了积的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．
◆变式训练
（2019年安徽省）计算 的结果是（ ）
A．a2 B．-a2 C．a4 D．-a4
【考点】同底数幂的乘法
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
解：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
（2019年河北省）小明总结了以下结论：
①a（b+c）＝ab+ac，
②a（b﹣c）＝ab﹣ac，
③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0），
④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0）
其中一定成立的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】单项式乘多项式
【分析】直接利用单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算法则计算得出答案．
解：①a（b+c）＝ab+ac，正确，
②a（b﹣c）＝ab﹣ac，正确，
③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0），正确，
④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0），错误，无法分解计算．
故选：C．
【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（2019年福建省）下列运算正确的是( ).
A．a·a3= a3 B．(2a)3=6a3 C．a6÷a3= a2 D．(a2)3－(－a3)2=0
【考点】整式的混合运算
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
解：A、原式＝a4，不符合题意；
B、原式＝8a3，不符合题意；
C、原式＝a3，不符合题意；
D、原式＝0，符合题意，
故选：D．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（2019年江苏省连云港市）计算下列代数式，结果为x5的是（ ）
A．x2+x3 B．x?x5 C．x6﹣x D．2x5﹣x5
【考点】合并同类项，同底数幂的乘法
【分析】根据合并同类项的法则以及同底数幂的乘法法则解答即可．
解：A、x2与x3不是同类项，故不能合并同类项，故选项A不合题意，
B、x?x5＝x6，故选项B不合题意，
C、x6与x不是同类项，故不能合并同类项，故选项C不合题意，
D、2x5﹣x5＝x5，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则：系数下降减，字母以及其指数不变．
■考点2整式的运算
◇典例：
（2019年江苏省淮安市）计算a?a2的结果是（ ）
A．a3 B．a2 C．3a D．2a2
【考点】同底数幂的乘法
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得答案．
解：原式＝a1+2＝a3．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，注意底数不变指数相加．
（2019年湖北省宜昌市）化简（x﹣3）2﹣x（x﹣6）的结果为（ ）
A．6x﹣9 B．﹣12x+9 C．9 D．3x+9
【考点】单项式乘多项式，完全平方公式
【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则化简得出答案．
解：原式＝x2﹣6x+9﹣x2+6x
＝9．
故选：C．
【点评】此题主要考查了完全平方公式以及单项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解
（2019年湖南省怀化市）当a＝﹣1，b＝3时，代数式2a﹣b的值等于 ．
【考点】代数式求值
【分析】把a、b的值代入代数式，即可求出答案即可．
解：当a＝﹣1，b＝3时，2a﹣b＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了求代数式的值的应用，能正确进行有理数的混合运算是解此题的关键．
题关键．
（2019年四川省凉山州）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】注意到（a+3）2可以利用完全平方公式进行展开，（a+1）（a﹣1）利润平方差公式可化为（a2﹣1），则将各项合并即可化简，最后代入a＝进行计算．
解：
原式＝a2+6a+9﹣（a2﹣1）﹣4a﹣8
＝2a+2
将a＝﹣代入原式＝2×（﹣）+2＝1
【点评】本题主要考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变
◆变式训练
（2019年广西柳州市）计算：x（x2﹣1）＝（ ）
A．x3﹣1 B．x3﹣x C．x3+x D．x2﹣x
【考点】单项式乘多项式
【分析】根据单项式乘以多项式的法则求解即可，
解：x（x2﹣1）＝x3﹣x，
故选：B．
【点评】本题考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键．
（2019年四川省泸州市）计算3a2?a3的结果是（ ）
A．4a5 B．4a6 C．3a5 D．3a6
【考点】单项式乘单项式
【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则化简得出答案．
解：3a2?a3＝3a5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（2019年江苏省常州市）如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是 ．
【考点】代数式求值
【分析】将所求式子化简后再将已知条件中a﹣b＝2整体代入即可求值，
解：∵a﹣b﹣2＝0，
∴a﹣b＝2，
∴1+2a﹣2b＝1+2（a﹣b）＝1+4＝5，
故答案为5．
【点评】本题考查代数式求值，熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键．
（2019年江苏省扬州）计算：的结果是_____.
【考点】积的乘方的逆用，平方差公式
【分析】逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.
解：
=
=
=(5-4)2018×
=+2，
故答案为：+2.
【点睛】本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.
（2019年吉林省长春市）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．
解：原式＝4a2+4a+1﹣4a2+4a
＝8a+1，
当a＝时，原式＝8a+1＝2．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
■考点3：巧用乘法公式
◇典例
（2019年湖北省黄石市）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是 ．
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】根据题目中的数据和各行的数字个数的特点，可以求得第20行第19个数是多少，本题得以解决．
解：由图可得，
第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20＝210个数，
∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）＝628，
∴第20行第19个数是：628﹣3＝625，
故答案为：625．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字的变化特点，知道第n个数可以表示为1+3（n﹣1）．
（2019年安徽省）已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（ ）
A．b>0，b2-ac≤0 B．b＜0，b2-ac≤0
C．b>0，b2-ac≥0 D．b＜0，b2-ac≥0
【考点】等式的性质,完全平方公式的应用
【分析】根据题意得a+c=2b，然后将a+c替换掉可求得b＜0，将b2-ac变形为，可根据平方的非负性求得b2-ac≥0.
解：∵a-2b+c=0，
∴a+c=2b，
∴a+2b+c=4b＜0，
∴b＜0，
∴a2+2ac+c2=4b2，即
∴b2-ac=，
故选：D.
【点睛】本题考查了等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
◆变式训练
（2019年云南省）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是( )
A．(－1)n－1x2n－1 B．(－1)nx2n－1
C．(－1)n－1x2n＋1 D．(－1)nx2n＋1
【考点】规律题-数字的变化类
【分析】观察可知奇数项为正，偶数项为负，除符号外，底数均为x，指数比所在项序数的2倍多1，由此即可得.
解：观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，
∴可以用或，(为大于等于1的整数)来控制正负，
指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为，
∴第n个单项式是 (－1)n－1x2n＋1 ，
故选C.
【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，正确分析出哪些不变，哪些变，是按什么规律发生变化的是解题的关键.
（2019年四川省遂宁市）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i，
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i，
（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17，
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i
根据以上信息，完成下面计算：
（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝ ．
【考点】实数的运算，完全平方公式，多项式乘多项式
【分析】直接利用完全平方公式以及多项式乘法分别化简得出答案．
解：（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝2﹣i+4i﹣2i2+4+i2﹣4i
＝6﹣i﹣i2
＝6﹣i+1
＝7﹣i．
故答案为：7﹣i．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确运用相关计算法则是解题关键．
（2019年广西玉林市）下列运算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2
B．3a2﹣2a＝a
C．（﹣a）3?（﹣a2）＝﹣a5
D．（2a3b2﹣4ab4）÷（﹣2ab2）＝2b2﹣a2
【考点】合并同类项，同底数幂的乘法，整式的除法
【分析】直接利用合并同类项法则以及整式的乘除运算法则分别化简得出答案．
解：A、3a+2a＝5a，故此选项错误，
B、3a2﹣2a，无法计算，故此选项错误，
C、（﹣a）3?（﹣a2）＝a5，故此选项错误，
D、（2a3b2﹣4ab4）÷（﹣2ab2）＝2b2﹣a2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（2019年浙江省台州市）计算2a﹣3a，结果正确的是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣a D．a
【考点】合并同类项
【分析】根据合并同类项法则合并即可．
解：2a﹣3a＝﹣a，
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项法则的应用，能熟记合并同类项法则的内容是解此题的关键．
（2019年湖北省黄石市）化简（9x﹣3）﹣2（x+1）的结果是（ ）
A．2x﹣2 B．x+1 C．5x+3 D．x﹣3
【考点】整式的加减
【分析】原式去括号合并即可得到结果．
解：原式＝3x﹣1﹣2x﹣2＝x﹣3，
故选：D．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（2019年江苏省泰州市）若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【考点】代数式求值
【分析】将代数式4a2﹣6ab+3b变形后，整体代入可得结论．
解：4a2﹣6ab+3b，
＝2a（2a﹣3b）+3b，
＝﹣2a+3b，
＝﹣（2a﹣3b），
＝1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
（2019年贵州省贵阳市 ）选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（ ）
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
【考点】平方差公式
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
解：选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是：运用平方差公式．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了多项式乘法，正确应用公式是解题关键．
（2019年湖北省黄冈市）﹣x2y是 次单项式．
【考点】单项式
【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可．
解：∵单项式﹣x2y中所有字母指数的和＝2+1＝3，
∴此单项式的次数是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是单项式，熟知一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键（2019年黑龙江省绥化市）计算：_____．
【考点】积的乘方，同底数幂除法
【分析】先进行积的乘方运算，然后再进行同底数幂除法运算即可.
解：原式，
故答案为：m2.
【点睛】本题考查了整式的运算，涉及了积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
（2019年山东省潍坊市）若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝ ．
【考点】同底数幂的乘法
【分析】由2x＝3，2y＝5，根据同底数幂的乘法可得2x+y＝2x?2y，继而可求得答案．
解：∵2x＝3，2y＝5，
∴2x+y＝2x?2y＝3×5＝15．
故答案为：15．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法．此题比较简单，注意掌握公式的逆运算．
（2019年湖南省岳阳市）已知x﹣3＝2，则代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1的值为 ．
【考点】代数式求值
【分析】法一，将x﹣3＝2直接代入求值
法二，利用完全平方公式将原式变形，进而将已知代入求出答案．
解：法一，∵x﹣3＝2，
∴代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1
=22-2×2+1
=4-4+1
=1
法二：∵x﹣3＝2，
∴代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1＝（x﹣3﹣1）2
＝（2﹣1）2
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确运用公式是解题关键．
（2019年湖北省咸宁市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是 ．
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．
解：∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，
∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，
∵其中某三个相邻数的积是412，
∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1、（﹣2）n、（﹣2）n+1，
则（﹣2）n﹣1?（﹣2）n?（﹣2）n+1＝412，
即（﹣2）3n＝（22）12，
∴（﹣2）3n＝224，
∴3n＝24，
解得，n＝8，
∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384，
故答案为：﹣384．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
（2019年浙江省宁波市）先化简，再求值：（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1），其中x＝3．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的法则把原式化简，代入计算即可．
解：（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1）
＝x2﹣4﹣x2+x
＝x﹣4，
当x＝3时，原式＝x﹣4＝﹣1．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
（2019年重庆市（a卷））《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数﹣“纯数”．
定义，对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，
例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位，
23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由，
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
【考点】有理数的加法，规律型：数字的变化类，整式的加减
【分析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”，
（2）根据题意可以推出不大于100的“纯数”的个数，本题得以解决．
解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，
理由：当n＝2019时，n+1＝2020，n+2＝2021，
∵个位是9+0+1＝10，需要进位，
∴2019不是“纯数”，
当n＝2020时，n+1＝2021，n+2＝2022，
∵个位是0+1+2＝3，不需要进位，十位是2+2+2＝6，不需要进位，百位为0+0+0＝0，不需要进位，千位为2+2+2＝6，不需要进位，
∴2020是“纯数”，
（2）由题意可得，
连续的三个自然数个位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时，不会产生进位，
当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，共三个，
当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，共九个，
当这个数是三位自然数是，只能是100，
由上可得，不大于100的“纯数”的个数为3+9+1＝13，
即不大于100的“纯数”的有13个．
【点评】本题考查整式的加减、有理数的加法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答．
选择题
（2019年河南省 (1)）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】合并同类项，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可；
解：，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查整式的运算；熟练掌握合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键．
（2019年浙江省金华市、丽水市）计算a6÷a3，正确的结果是（ ）
A．2 B．3a C．a2 D．a3
【考点】同底数幂的除法．
【分析】根据同底数幂除法法则可解．
解：由同底数幂除法法则：底数不变，指数相减知，a6÷a3＝a6﹣3＝a3．
故选：D．
【点评】本题是整式除法的基本运算，必须熟练掌握运算法则．本题属于简单题．
（2019年四川省绵阳市）已知4m＝a，8n＝b，其中m，n为正整数，则22m+6n＝（ ）
A．ab2 B．a+b2 C．a2b3 D．a2+b3
【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方
【分析】将已知等式代入22m+6n＝22m×26n＝（22）m?（23）2n＝4m?82n＝4m?（8n）2可得．
解：∵4m＝a，8n＝b，
∴22m+6n＝22m×26n
＝（22）m?（23）2n
＝4m?82n
＝4m?（8n）2
＝ab2，
故选：A．
【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则．
（2019年山东省烟台市）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
【考点】数学常识，规律型：数字的变化类，完全平方公式
【分析】由“杨辉三角”的规律可知，令a＝b＝1，代入（a+b）9计算可得所有项的系数和．
解：由“杨辉三角”的规律可知，（a+b）9展开式中所有项的系数和为（1+1）9＝29＝512
故选：C．
【点评】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，需要知道取值代入即可求得．
（2019年重庆市（a卷））按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（ ）
A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝0 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝1
【考点】有理数的混合运算，代数式求值
【分析】根据题意一一计算即可判断．
解：当m＝1，n＝1时，y＝2m+1＝2+1＝3，
当m＝1，n＝0时，y＝2n﹣1＝﹣1，
当m＝1，n＝2时，y＝2m+1＝3，
当m＝2，n＝1时，y＝2n﹣1＝1，
故选：D．
【点评】本题考查代数式求值，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
（2019年四川省资阳市）4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1=2S2，则a、b满足（ ）
A. B. C. D.
【考点】整式的混合运算
【分析】先用a、b的代数式分别表示S1=a2+2b2，S2=2ab-b2，再根据S1=2S2，得a2+2b2=2（2ab-b2），整理，得（a-2b）2=0，所以a=2b．
解：S1=b（a+b）×2++（a-b）2=a2+2b2，
S2=（a+b）2-S1=（a+b）2-（a2+2b2）=2ab-b2，
∵S1=2S2，
∴a2+2b2=2（2ab-b2），
整理，得（a-2b）2=0，
∴a-2b=0，
∴a=2b．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
（2019年山东省枣庄市）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为10，据此可得．
解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，
符合此要求的只有
故选：D．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．
（2019年湖北省十堰市）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（ ）
A．50 B．60 C．62 D．71
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】根据题目中的数据可以发现，分子变化是1，（1，2），（1，2，3），…，分母变化是1，（2，1），（3，2，1），…，从而可以求得第n个数为时n的值，本题得意解决．
解：，，，，，，，，，，…，可写为：，（，），（，，），（，，，），…，
∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为，
∴第n个数为，则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60，
故选：B．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
（2019年湖北省武汉市）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（ ）
A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a
【考点】列代数式，规律型：数字的变化类
【分析】由等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，那么250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．
解：∵2+22＝23﹣2，
2+22+23＝24﹣2，
2+22+23+24＝25﹣2，
…
∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，
∴250+251+252+…+299+2100
＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249）
＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）
＝2101﹣250，
∵250＝a，
∴2101＝（250）2?2＝2a2，
∴原式＝2a2﹣a．
故选：C．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2．
（2019年广西柳州市）定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2＝﹣1），a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如（1+3i）2＝12+2×1×3i+（3i）2＝1+6i+9i2＝1+6i﹣9＝﹣8+6i，因此，（1+3i）2的实部是﹣8，虚部是6．已知复数（3﹣mi）2的虚部是12，则实部是（ ）
A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5
【考点】新定义，完全平方公式，实数的运算
【分析】先利用完全平方公式得出（3﹣mi）2＝9﹣6mi+m2i2，再根据新定义得出复数（3﹣mi）2的实部是9﹣m2，虚部是﹣6m，由（3﹣mi）2的虚部是12得出m＝﹣2，代入9﹣m2计算即可．
解：∵（3﹣mi）2＝32﹣2×3×mi+（mi）2＝9﹣6mi+m2i2＝9+m2i2﹣6mi＝9﹣m2﹣6mi，
∴复数（3﹣mi）2的实部是9﹣m2，虚部是﹣6m，
∴﹣6m＝12，
∴m＝﹣2，
∴9﹣m2＝9﹣（﹣2）2＝9﹣4＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了新定义，完全平方公式，理解新定义是解题的关键．
（2019年山东省德州市）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（ ）
A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5
【考点】倒数，规律型：数字的变化类
【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．
解：∵a1＝﹣2，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，……
∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，
∵100÷3＝33…1，
∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，
故选：A．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
填空题
（2019年山东省淄博市（a卷））单项式a3b2的次数是 ．
【考点】单项式
【分析】根据单项式的次数的定义解答．
解：单项式a3b2的次数是3+2＝5．
故答案为5．
【点评】本题考查了单项式的次数的定义：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
（2019年广西柳州市）计算：7x﹣4x＝ ．
【考点】合并同类项
【分析】根据合并同类项法则计算可得．
解：7x﹣4x＝（7﹣4）x＝3x，
故答案为：3x．
【点评】本题主要考查合并同类项，合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项，字母和字母指数，
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的，
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
（2019年湖南省怀化市）合并同类项：4a2+6a2﹣a2＝ ．
【考点】合并同类项
【分析】根据合并同类项法则计算可得．
解：原式＝（4+6﹣1）a2＝9a2，
故答案为：9a2．
【点评】本题考查合并同类项，合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项,字母和字母指数,
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的,
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
（2019年四川省绵阳市）单项式x﹣|a﹣1|y与2xy是同类项，则ab＝ ．
【考点】同类项，二次根式的性质
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，结合二次根式的性质可求出a，b的值，再代入代数式计算即可．
解：由题意知﹣|a﹣1|＝≥0，
∴a＝1，b＝1，
则ab＝（1）1＝1，
故答案为：1．
【点评】此题考查了同类项的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类项的定义，难度一般．
（2019年江苏省徐州市）若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为 ．
【考点】完全平方公式
【分析】由a＝b+2，可得a﹣b＝2，代入所求代数式即可．
解：∵a＝b+2，
∴a﹣b＝2，
∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝22＝4．
故答案为：4
【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．
（2019年四川省乐山市）若3m＝9n＝2．则3m+2n＝ ．
【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方
【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行解答即可．
解：∵3m＝32n＝2，
∴3m+2n＝3m?32n＝2×2＝4，
故答案为：4
【点评】此题考查幂的乘方与积的乘方，关键是根据幂的乘方与积的乘方解答．
（2019年山东省枣庄市）若m﹣＝3，则m2+＝ ．
【考点】完全平方公式
【分析】根据完全平方公式，把已知式子变形，然后整体代入求值计算即可得出答案．
解：∵＝m2﹣2+＝9，
∴m2+＝11，
故答案为11．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，把已知式子变形，然后整体代入求值计算，难度适中．
（2019年浙江省衢州市）已知实数m，n满足则代数式m2﹣n2的值为 ．
【考点】平方差公式；解二元一次方程组．
【分析】根据平方差公式解答即可．
解：因为实数m，n满足，
则代数式m2﹣n2＝（m﹣n）（m+n）＝3，
故答案为：3
【点评】此题考查平方差公式，关键是根据平方差公式解答．
（2019年山东省滨州市（a卷））观察下列一组数：
a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数an＝ （用含n的式子表示）
【考点】列代数式，规律型：数字的变化类
【分析】观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1，观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为，即可求解，
解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1，
观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为，
∴an＝＝，
故答案为，
【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
（2019年广东省）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是_______（结果用含、代数式表示）.
【考点】规律题—图形的变化类
【分析】观察可知两个拼接时，总长度为2a-(a-b)，三个拼接时，总长度为3a-2(a-b)，由此可得用9个拼接时的总长度为9a-8(a-b)，由此即可得.
解：观察图形可知两个拼接时，总长度为2a-(a-b)，
三个拼接时，总长度为3a-2(a-b)，
四个拼接时，总长度为4a-3(a-b)，
…，
所以9个拼接时，总长度为9a-8(a-b)=a+8b，
故答案为：a+8b.
【点睛】本题考查了规律题——图形的变化类，通过推导得出总长度与个数间的规律是解题的关键.
（2019年广西河池市）a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，是一列数，已知第1个数a1＝4，第5个数a5＝5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数a2019的值是 ．
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】由任意三个相邻数之和都是15，可知a1、a4、a7、…a3n+1相等，a2、a5、a8、…a3n+2相等，a3、a6、a9、…a3n相等，可以得出a5＝a2＝5，根据a1+a2+a3＝15得4+5+a3＝15，求得a3，进而按循环规律求得结果．
解：由任意三个相邻数之和都是15可知：
a1+a2+a3＝15，
a2+a3+a4＝15，
a3+a4+a5＝15，
…
an+an+1+an+2＝15，
可以推出：a1＝a4＝a7＝…＝a3n+1，
a2＝a5＝a8＝…＝a3n+2，
a3＝a6＝a9＝…＝a3n，
所以a5＝a2＝5，
则4+5+a3＝15，
解得a3＝6，
∵2019÷3＝673，
因此a2019＝a3＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了规律型：数字的变化类，关键是找出第1、4、7…个数之间的关系，第2、5、8…个数之间的关系，第3、6、9…个数之间的关系．问题就会迎刃而解．
、解答题
（2019年江苏省南京 ）计算．
【考点】多项式乘以多项式
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a＋b）（m＋n）＝am＋an＋bm＋bn，计算即可．
解：
.
【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
（2019年浙江省湖州市）化简：（a+b）2﹣b（2a+b）．
【考点】单项式乘多项式，完全平方公式
【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．进行求解即可．
解：原式＝a2+2ab+b2﹣2ab﹣b2
＝a2．
【点评】本题考查了单项式乘多项式，解答本题的关键在于熟练掌握单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2019年贵州省贵阳市 ）如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．
（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；
（2）当a＝3，b＝2时，求矩形中空白部分的面积．
【考点】阴影部分面积，平行四边形面积，代数式求值
【分析】（1）空白区域面积=矩形面积-两个阴影平行四边形面积+中间重叠平行四边形面积；
（2）将a=3，b=2代入（1）中即可；
解：（1）S＝ab﹣a﹣b+1；
（2）当a＝3，b＝2时，S＝6﹣3﹣2+1＝2；
【点睛】本题考查阴影部分面积，平行四边形面积，代数式求值；能够准确求出阴影部分面积是解题的关键．
（2019年江苏省徐州市）【阅读理解】
用10cm×20cm的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为20cm的图案．已知长度为10cm、20cm、30cm的所有图案如下：
【尝试操作】
如图，将小方格的边长看作10cm，请在方格纸中画出长度为40cm的所有图案．
【归纳发现】
观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．
图案的长度
10cm
20cm
30cm
40cm
50cm
60cm
所有不同图案的个数
1
2
3
【考点】作图—应用与设计作图
【分析】根据已知条件作图可知40cm时，所有图案个数5个，猜想得到结论，
解：如图
根据作图可知40cm时，所有图案个数5个，
50cm时，所有图案个数8个，
60cm时，所有图案个数13个，
故答案为5，8，13，
【点评】本题考查应用与设计作图，规律探究，能够根据条件作图图形，探索规律是解题的关键．
（2019年山东省青岛市）问题提出：
如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
问题探究：
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：
把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．
探究二：
把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的 2 2×方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．
探究三：
把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到 个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 种不同的放置方法．
探究四：
把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到 个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 种不同的放置方法．
……
问题解决：
把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）
问题拓展：
如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到 个图⑦这样的几何体．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
解：探究三：
根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的 2×2方格，
根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）×4＝（4a﹣4）种不同的放置方法，
故答案为a﹣1，4a﹣4，
探究四：
与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a﹣1）条边长为2的线段，
同理，边长为3，则有3﹣1＝2条边长为2的线段，
所以在a×3的方格中，可以找到2（a﹣1）＝（2a﹣2）个位置不同的2×2方格，
根据探究一，在在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a﹣2）×4＝（8a﹣8）种不同的放置方法．
故答案为2a﹣2，8a﹣8，
问题解决：
在a×b的方格纸中，共可以找到（a﹣1）（b﹣1）个位置不同的2×2方格，
依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a﹣1）（b﹣1）种不同的放置方法，
问题拓展：
发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，
这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a﹣1）、（b﹣1）、（c﹣1）条边长为2的线段，
所以在a×b×c的长方体共可以找到（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）位置不同的2×2×2的正方体，
再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，
所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）个图⑦这样的几何体，
故答案为8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）．
【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
（2019年湖南省张家界市）阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，…的公差d为 ，第5项是 ．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．
所以
a2＝a1+d
a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，
a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+（ ）d．
（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】（1）根据公差定义进行计算得d，再推算第5项便可,
（2）由a2＝a1+d，a3＝a1+2d，a4＝a1+3d…可知：序列号n比d的系数小1，故：an＝a1+（n﹣1）d．
（3）先根据样例求出通项公式，再将﹣4041代入通项公式求出n，若n为正整数就可以断定﹣4041是此等差数列的某一项，反之则不是．
解：（1）根据题意得，d＝10﹣5＝5,
∵a3＝15，
a4＝a3+d＝15+5＝20，
a5＝a4+d＝20+5＝25，
故答案为：5,25．
（2）∵a2＝a1+d
a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，
a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，
……
∴an＝a1+（n﹣1）d
故答案为：n﹣1．
（3）根据题意得，
等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项的通项公式为：an＝﹣5﹣2（n﹣1），
则﹣5﹣2（n﹣1）＝﹣4041，
解之得：n＝2019
∴﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，它是此数列的第2019项．
【点评】本题考查了学生的分析、阅读等自学能力，解题的关键是要认真阅读题目，理解题目呈现的数学思想及数学方法．
