人教版高中数学必修一知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.2 函数及其表示

第一章 集合与函数概念
1.2 函数及其表示
知识
一、函数的概念
1．函数的概念
设A、B是______，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_____x，在集合B中都有______的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
解读函数概念
（1）“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
（2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集．
（3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个（任意性）元素x，在非空数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应．
（4）函数符号“”是数学中抽象符号之一，“”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，也不一定是解析式，还可以是图表或图象．
2．函数的构成要素
由函数概念知，一个函数的构成要素为___________．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．
辨析与：表示当自变量时函数的值，是一个常量，而是自变量x的函数，它是一个变量，是的一个特殊值．
3．相等函数（同一函数）
对于两个函数，只有当两个函数的_______都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一函数．
名师提醒
（1）判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数．
（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
（3）在化简解析式时，必须是等价变形．
二、区间及其表示
1．区间的概念
设a，b是两个实数，而且a（1）满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为___________；
（2）满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为___________；
（3）满足不等式的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为__________．
其中实数a，b都叫做相应区间的端点．我们可以在数轴上表示上述区间，为了区别开区间、闭区间的端点，我们用_____表示包括在区间内的端点，用_____表示不包括在区间内的端点．
定义
名称
符号
数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
注意：区间符号里面的两个字母（或数字）之间用“，”隔开．
2．无穷大的概念
实数集可以用区间表示为___________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”．把满足的实数x的集合分别表示为．
三、函数的三种表示方法
1．解析法
用___________表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．
2．图象法
用___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法．
3．列表法
通过列出___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．
对三种表示法的说明
解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域．
图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点．
列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性．
四、分段函数
1．分段函数的概念
在函数定义域内，对于自变量x的不同___________，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．
知识提升
（1）分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函数的解析式．分段函数是一个函数，而不是几个函数．
（2）分段函数的定义域：一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．
（3）分段函数的值域：求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集．
2．分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据每段的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图象，作图时要注意每段曲线端点的___________，横坐标相同的地方不能有两个或两个以上的点．
名师提醒
作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
五、映射
一般地，设A，B是两个___________，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的___________元素x，在集合B中都有___________的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射．
对映射的理解
（1）映射包括非空集合A，B以及对应关系f，其中集合A，B可以是数集，可以是点集，也可以是其他任何形式的集合． 当A，B为数集时，此时的映射就是函数，即函数是一种特殊的映射．
（2）集合A，B是有先后次序的，即A到B的映射与B到A的映射是不同的．
（3）集合A中每一个元素在集合B中必有唯一的元素和它对应（有，且唯一），但允许B中元素没有A中元素与之对应．
（4）A中元素与B中元素对应，可以是“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”．
知识提升
对于映射，我们通常把集合A中的元素叫原象，而把集合B中与A中元素相对应的元素叫象，集合A叫原象集，象集为C，则．象是对原象而言的，原象也是对象而言的，原象和象不可以互换．设A，B是两个集合，是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射．
知识参考答案：
一、1．非空的数集 任意一个数 唯一确定
2．定义域、对应关系和值域 3．定义域和对应关系
二、1．（1） （2） （3）， 实心点 空心点 2．
三、1．数学表达式 2．图象 3．表格
四、1．取值区间 2．虚实
五、非空的集合 任意一个 唯一确定
重点
重点
1．函数的概念，函数的三要素；
2．函数的三种表示方法；
3．分段函数；
4．求函数的解析式；
难点
1．函数概念及符号的理解；
2．分段函数的表示；
3．图象的画法；
易错
1．求函数的定义域时，一定要根据最原始的解析式求解，否则可能会改变原函数的定义域．
2．用换元法求函数的值域时，必须确定换元后新元的范围，否则会产生错解．
3．在写函数的解析式，尤其是分段函数的解析式，及画函数的图象时，一定不要忽略函数的定义域．
1．函数概念
判断所给对应是否是函数，首先观察两个数集A，B是否非空；其次验证对应关系下，集合A中数x的任意性和集合B中数y的唯一性（即不能没有数y对应数x，也不能有多于一个的数y对应数x）．
【例1】给出下列两个集合的对应：
①；
②；
③；
④；
⑤．
其中是到的函数有__________个．
【答案】2
【解析】①②正确，满足函数的定义；
③，但是0没有倒数，所以不正确；
④，但0不是正实数，所以不正确；
⑤当时，，当时，，当时，，故不正确．
所以其中是到的函数有2个．
【名师点睛】本题所给集合都是数集，关键是看根据给出的对应关系，自变量在其取值集合中的每一个值是否都有唯一的值与之对应．
2．函数相等
讨论两个函数是否为同一函数时，要树立“定义域优先”的原则，若定义域相同，再化简函数解析式，看对应关系是否相同．
注意：定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数．
【例2】下列各组函数中，与表示同一函数的是
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【解析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判定它们是同一函数．
对于A，与，两个函数的解析式不同，不是同一函数；
对于B，与，两个函数的定义域不同，不是同一函数；
对于C，与，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于D，与，两个函数的定义域不同，故不是同一函数．
故选C．
【名师点睛】因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是无关紧要的．
3．函数的定义域
（1）当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有：
①分式的分母不为0；
②偶次根式的被开方数非负；
③要求；
④当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合；
⑤已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；
⑥已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围；
⑦由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求．
注意：定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
（2）已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的方法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围．这种思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．
【例3】函数的定义域是
A． B．
C． D．
【答案】C
【名师点睛】对于，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域．当函数以解析式的形式给出时，函数的定义域是使这个解析式有意义的自变量x的取值范围．
求函数的定义域：（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数式有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③要求x≠0等．
（2）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
（3）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围．
（4）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围．
注意：①求函数的定义域时，一定要根据最原始的解析式求解，否则可能会改变原函数的定义域．②定义域必须用集合或区间（后面内容中学习）表示；③由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求．
已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的方法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围．这种思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．
4．求函数值或函数的值域
（1）函数求值即用数值或字母代替表达式中的x，而计算出对应的函数值的过程．注意所代入的数值或字母应满足函数的定义域要求．
求函数值应遵循的原则：
①已知的表达式求时，只需用a替换表达式中的x．
②求的值应遵循由里往外的原则．
③用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值．
（2）求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法．求值域时一定要注意定义域的影响．如函数的值域与函数的值域是不同的；
③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x仅出现在分母上，这样x对函数的影响就比较清晰了；
④换元法：对于一些无理函数（如），通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元的取值范围，否则会产生错解．求新元的范围，要根据已知函数的定义域．
【例4】函数y=的值域为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由x+1≥0，得≥0，∴函数y=的值域为．故选B．
【例5】函数的值域为
A． B． C． D．
【答案】B
【名师点睛】（1）已知函数解析式求函数值，可分别将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值．求函数值时，注意将对应x的值或代数式整体代入解析式求解，否则会导致错误．
（2）抽象函数的求值，往往通过赋值法解决，赋值法就是把满足条件的特殊值赋给函数中的某个变量．它是解决抽象函数问题的常用策略．
（3）已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值（或解析式中的参数值），只需将函数值代入解析式，建立关于自变量（或参数）的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制．
（4）求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法．求值域时一定要注意定义域的影响．如函数的值域与函数的值域是不同的；
③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x仅出现在分母上，这样x对函数的影响就比较清晰了；
④换元法：对于一些无理函数（如），通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． 在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元的取值范围，否则会产生错解．求新元的范围，要根据已知函数的定义域．
5．函数解析式的求法
（1）已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数．
（2）已知f（g（x））=h（x），求f（x），常用的有两种方法：
①换元法，即令t=g（x），解出x，代入h（x）中，得到一个含t的解析式，即为所求解析式；
②配凑法，即从f（g（x））的解析式中配凑出“g（x）”，即用g（x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意g（x）的取值范围的限定．
（3）已知f（x）与f（g（x））满足的关系式，要求f（x）时，可用g（x）代替两边所有的x，得到关于f（x）与f（g（x））的方程组，消去f（g（x））解出f（x）即可．常见的有f（x）与f （?x），f（x）与．
（4）所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替使用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定．
【例6】已知，求．
【答案】．
【解析】方法一：，又，
所以．
方法二：令，则，所以，所以．
【名师点睛】在方法二中，用替换后，要注意的取值范围为，忽略了这一点，在求时就会出错．
6．函数图象
（1）要判断一个图象是否为某个函数的图象，其方法是：任作垂直于轴的直线，若此直线与该图象最多有一个交点，则该图象为在此定义域内的函数图象，否则不是．
（2）识别函数图象的关键是明确函数的定义域对函数图象的限制，再利用特殊点确定函数的图象．若函数是分段函数，需注意分段函数的图象由几部分构成．
（3）函数图象主要应用于研究函数的性质，如最值、值域等；也常用于研究方程的解、不等式的解集以及图象的交点个数等问题，应用时注意将所给的问题转化为函数问题，再通过画函数的图象，借助于图象的直观性来处理．
【例7】函数的图象是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对x进行讨论，将函数转化为所熟知的基本初等函数即可作图．
当x＞0时，，故图象为直线上的部分；
当x＜0时，，故图象为直线上的部分；
当x=0时，无意义．
综上，的图象为直线上的部分，上的部分，即两条射线．故选C．
【名师点睛】作分段函数图象的关键是根据定义域的不同部分，分别由解析式作出对应的图象．作图时一定要注意每段自变量的取值范围，且要标出关键点的横、纵坐标．
7．分段函数
（1）求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现的形式时，应从内到外依次求值．
（2）在分段函数的前提下，求某条件下自变量的值的方法：先假设所求的值在分段函数定义域的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
【例8】已知，则=_________．
【答案】4
【解析】，，
所以．
【名师点睛】解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．本题中，且对应的解析式是，所以要通过这个式子把自变量的值转化到，从而利用对应的解析式求解．
8．映射
判断一个对应是不是映射，关键有两点：
（1）对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素与之对应；
（2）B中的对应元素是不是唯一的．
对于一一映射f：A→B，应满足：
（1）A中每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应；
（2）A中的不同元素对应B中的元素也不同；
（3）B中每一个元素在A中都有唯一的元素与之对应．
【例9】给出下列两个集合间的对应：
（1）A＝{你班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；
（2），f：n＝2m；
（3）X＝R，Y＝{非负实数}，f：y＝x4．
其中是映射的有________个，是函数的有________个．
【答案】3，2
【解析】由映射及函数的概念知：（1）是映射，但不是函数；
（2）是映射，也是函数；
（3）是映射，也是函数．
【名师点睛】映射与函数的区别与联系：
（1）映射是函数概念的推广，而函数是一种特殊的映射．
（2）函数是非空数集A到非空数集B的映射，而映射不一定是函数，因为A，B不一定是数集．
9．求函数的解析式时忽略函数的定义域
【例10】已知等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，求关于的函数解析式．
【错解】根据等腰三角形的周长列出函数解析式，∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x．
【错因分析】错解中的函数解析式不完整，缺少自变量的取值范围．
【正解】根据等腰三角形的周长列出函数解析式，∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x．
∵20－2x>0，∴x<10．
由构成三角形的条件（两边之和大于第三边）可知2x>20－2x，得x>5，所以函数的定义域为{x|5所以关于的函数解析式为y＝20－2x（5【名师点睛】函数的解析式包括定义域和对应关系，在确定函数的解析式时必须注意确定函数的定义域，否则所求函数的解析式可能是错误的．
基础训练
1．函数f（x）=+的定义域是
A．{x|x>0} B．{x|x≥0} C．{x|x≠0} D．R
2．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是
A． B．
C． D．
3．下面哪个点不在函数y=–2x+3的图象上
A．（–5，13） B．（0.5，2） C．（3，0） D．（1，1）
4．函数的定义域是
A．（–1，+∞） B．（–1，1）∪（1，+∞）
C．[–1，+∞） D．[–1，1）∪（1，+∞）
5．已知函数f（x）=，x∈{1，2，3}．则函数f（x）的值域是
A． B．（–∞，0] C．[1，+∞） D．R
6．函数y=x2+1的值域是
A．[1，+∞） B．（0，1] C．（–∞，1] D．（0，+∞）
7．已知A=B=R，x∈A，y∈B，f：x→y=ax+b是从A到B的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在f下的象是
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知映射f：A→B，其中A={a，b}，B={1，2}，已知a的象为1，则b的象为
A．1，2中的一个 B．1，2 C．2 D．无法确定
9．已知函数y=，若f（a）=10，则a的值是
A．3或–3 B．–3或5 C．–3 D．3或–3或5
能力提升
10．已知函数f（x）=的定义域为R，则实数m取值范围为
A．{m|–1≤m≤0} B．{m|–1C．{m|m≤0} D．{m|m<–1或m>0}
11．若集合A={x|x（x–1）<0}，B={y|y=x2}，则
A．A=B B．A?B C．A∪B=R D．B?A
12．若集合，则
A．A=B B．A?B C．A∪B=R D．B?A
13．设x∈R，定义符号函数sgnx=，则函数f（x）=|x|sgnx的图象大致是
A． B．
C． D．
14．已知f（x）=则不等式x+（x+2）?f（x+2）≤5的解集是
A．[–2，1] B．（–∞，–2] C． D．
15．函数的值域是
A．{y|–1≤y≤1} B．{y|–1≤y<1} C．{y|–116．设函数f（x）=，若f（x0）=8，则x0=__________．
17．已知函数f（x）=
（1）在坐标系中作出函数的图象；
（2）若f（a）=，求a的取值集合．
真题练习
18．（2018?新课标Ⅲ）函数y=–x4+x2+2的图象大致为
A． B．
C． D．
19．（2018?湖北模拟）设，定义符号函数则
A． B．
C． D．
20．（2019?江苏模拟）函数y=的定义域是__________．
21．（2019?浙江模拟）设函数．已知a≠0，且，则实数a=__________，b=__________．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
C
D
A
A
A
A
B
A
11
12
13
14
15
18
19
B
D
C
D
C
D
D
1．【答案】A
【解析】由题意得：，故x>0，故函数的定义域是（0，+∞），故选A．
2．【答案】B
【解析】B中，当x>0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选B．
4．【答案】D
【解析】要使函数f（x）有意义，需满足，解得x≥–1且x≠1．∴函数的定义域是[–1，1）∪（1，+∞）．故选D．
5．【答案】A
【解析】f（x）=，x∈{1，2，3}．当x=1时，f（1）=1；当x=2时，f（2）=；当x=3时，
f（3）=．∴函数f（x）的值域是．故选A．
6．【答案】A
【解析】∵y=x2+1≥1，∴函数y=x2+1的值域是[1，+∞），故选A．
7．【答案】A
【解析】A=B=R，x∈A，y∈B，f：x→y=ax+b是从A到B的映射，又1和8的原象分别是3和10，
∴，解得，即f：x→y=x–2，5在f下的象可得f（5）=1×5–2=3，故选A．
8．【答案】A
【解析】映射f：A→B，其中A={a，b}，B={1，2}，已知a的象为1，可得b=1或2，故选A．
9．【答案】B
【解析】若a≤0，则f（a）=a2+1=10，解得a=–3（a=3舍去）；若a>0，则f（a）=2a=10，解得a=5．综上可得，a=5或a=–3，故选B．
11．【答案】B
【解析】集合A={x|x（x–1）<0}={x|012．【答案】D
【解析】集合，可得A={x|x≥0或x≤–1}，B={y|y≥0}．可知B?A．故选D．
13．【答案】C
【解析】函数f（x）=|x|sgnx==x，故函数f（x）=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线，故选C．
14．【答案】D
【解析】①当x+2≥0时，即x≥–2，f（x+2）=1，由x+（x+2）?f（x+2）≤5可得x+x+2≤5，∴x≤即–2≤x≤，当x+2<0即x<–2时，f（x+2）=–1，由x+（x+2）?f（x+2）≤5可得x–（x+2）≤5，即–2≤5，∴x<
–2，综上，不等式的解集为{x|x≤}，故选D．
15．【答案】C
【解析】由整理得y+yx2=1–x2，∴（y+1）x2+y–1=0．当y+1≠0时，Δ=–4（y+1）（y–1）≥0，解得–117．【答案】（1）图象详见解析；（2）{，，}．
【解析】（1）函数f（x）=的图象如下图所示：
（2）当a≤–1时，f（a）=a+2=，可得：a=；
当–1当a≥2时，f（a）=2a=，可得：a=（舍去）；
综上所述，a的取值构成集合为{，，}．
18．【答案】D
【解析】函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）=–4x3+2x=–2x（2x2–1），由f′（x）>0得2x（2x2–1）<0，得x<–或00，得x>或–19．【答案】D
【解析】对于选项A，右边，而左边，显然不正确；
对于选项B，右边，而左边，显然不正确；
对于选项C，右边，而左边，显然不正确；
对于选项D，右边，而左边，显然正确.故应选D．
20．【答案】[–3，1]
【解析】由3–2x–x2≥0得：x2+2x–3≤0，解得：x∈[–3，1]，故答案为：[–3，1]．
21．【答案】－2，1
【解析】，
，
所以，解得．