人教版高中数学必修一知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.3 函数的基本性质
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学必修一知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.3 函数的基本性质 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 621.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-18 21:16:35 | ||
图片预览
文档简介
第一章 集合与函数概念
1.3 函数的基本性质
知识
一、函数的单调性
1．函数单调性的定义
一般地，设函数f（x）的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1对函数单调性的理解
（1）定义中的x1，x2有三个特征：①任意性，即不能用特殊值代替；②属于同一个区间；③有大小，一般令x1（2）增、减函数的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化：若是增函数，则；若是减函数，则．
2．函数的单调区间
如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）___________，区间D叫做y=f（x）的___________．
对函数单调区间的理解
（1）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．
（2）函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集．
（3）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性．
（4）并非所有的函数都具有单调性．如函数就不具有单调性．
常见函数的单调性
函数类型
单调性
一次函数
在上单调递增
在上单调递减
反比例函数
单调减区间是和
单调增区间是和
二次函数
单调减区间是，单调增区间是
单调减区间是，单调增区间是
二、函数的最大（小）值
1．最大值
一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的，都有___________；
（2）存在，使得___________．
那么，我们称M是函数的最大值．
函数的最大值对应图象最高点的纵坐标．
2．最小值
一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数m满足：
（1）对于任意的，都有___________；
（2）存在，使得___________．
那么，我们称m是函数的最小值．
函数的最小值对应图象最低点的纵坐标．
函数的最值与单调性的关系
如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数，在处有最大值．
如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数，在处有最小值．
如果函数在区间上是增（减）函数，则在区间的左、右端点处分别取得最小（大）值和最大（小）值．
三、函数的奇偶性
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f（x）就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f（x）就叫做奇函数．
函数具有奇偶性的条件
（1）①首先考虑定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；
②在定义域关于原点对称的前提下，进一步判定是否等于．
（2）分段函数的奇偶性应分段说明与的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．
（3）若奇函数的定义域包括，则．
四、奇函数、偶函数的图象特征
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以___________为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以___________为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以___________为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于___________对称，则这个函数是偶函数．
奇、偶函数的单调性
根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：
（1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．
（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
性质法判断函数的奇偶性
，在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
知识参考答案：
一、1． 2．单调性 单调区间
二、1．（1） （2） 2．（1） （2）
三、
四、坐标原点 坐标原点 轴 轴
重点
重点
1．函数的单调性及其几何意义，函数的最大（小）值及其几何意义；
2．函数的奇偶性及其判断方法；
3．奇函数、偶函数的图象特征；
难点
1．利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值；
2．函数奇偶性的判断方法；
易错
1．写函数的单调区间或利用单调区间求解时，首先要关注函数的定义域，否则容易出错；
2．需注意单调区间与在区间上单调的区别；
3．在判断函数的奇偶性时，不仅要关注定义域是否关于原点对称，而且要注意函数的奇偶性是针对定义域的任意一个而言的.另外，不要忽略奇函数若在原点处有定义，则．
1．函数单调性的判断或证明
（1）判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．
利用定义法判断（或运用）函数的单调性的步骤为：
（2）若判断复合函数的单调性，则需将函数解析式分解为一些简单的函数，然后判断外层函数和内层函数的单调性，外层函数和内层函数的单调性相同时，则复合函数单调递增；外层函数和内层函数的单调性相反时，则复合函数单调递减．可简记为“同增异减”，需要注意内层函数的值域在外层函数的定义域内．
（3）函数单调性的常用结论：
①若均为区间A上的增（减）函数，则也是区间A上的增（减）函数；
②若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；
③函数在公共定义域内与，的单调性相反；
④函数在公共定义域内与的单调性相同．
【例1】证明：函数在区间（0，＋∞）上是增函数．
【答案】证明详见解析．
【名师点睛】函数单调性判断的等价变形：
是增函数对任意，都有，或，或；是减函数对任意，都有，或，或．
2．单调性的应用
函数单调性的应用主要有：
（1）由的大小关系可以判断与的大小关系，也可以由与的大小关系判断出的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较．
（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．
（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点．
（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内．
【例2】若函数在[1，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围．
【答案】0≤a≤1
【名师点睛】本题中不一定是二次函数，所以要对a进行讨论．另外，需熟练掌握一次函数、反比例函数和二次函数的单调性，并能灵活应用．
3．求函数的最大（小）值
求函数最大（小）值的常用方法有：
（1）配方法，对于“二次函数类”的函数，一般通过配方法求最值；
（2）图象法，对于图象较为容易画出来的函数，可借助图象直观求出最值；
（3）单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性（需给出证明）后，可依据单调性确定函数最值；
（4）若函数存在最值，则最值一定是值域两端处的值，所以求函数的最大（小）值可利用求值域的方法．
注意：（1）无论用哪种方法求最值，都要考查“等号”是否成立．
（2）函数的值域是一个集合，函数的最值是一个函数值，它是值域的一个元素，函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大（小）值．
【例3】已知函数，若x∈[t，t＋2]，求函数f（x）的最值．
【答案】答案详见解析．
【解析】易知函数的图象的对称轴为直线x＝1，
（1）当1≥t＋2，即t≤－1时，f（x）max＝f（t）＝t2－2t－3，f（x）min＝f（t＋2）＝t2＋2t－3．
（2）当≤1（3）当t≤1<，即0（4）当11时，f（x）max＝f（t＋2）＝t2＋2t－3，f（x）min＝f（t）＝t2－2t－3．
设函数f（x）的最大值为g（t），最小值为φ（t），则有 ，．
【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型：
一是函数定义域为实数集，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值；
二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧）来决定，若含有参数，则要根据对称轴与轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，解题时要注意数形结合．
4．判断函数的奇偶性
判断函数奇偶性的方法：
（1）定义法：
（2）图象法：
（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断．
判断与的关系时，也可以使用如下结论：
如果或，则函数为偶函数；
如果或，则函数为奇函数．
【例4】下列判断正确的是
A．函数是奇函数
B．函数是非奇非偶函数
C．函数是偶函数
D．函数既是奇函数又是偶函数
【答案】B
【解析】对于A，的定义域为，不关于原点对称，不是奇函数．
对于B，，，不满足奇偶性的定义，是非奇非偶函数．
对于C，函数的定义域为，关于原点对称．当时，；当时，．综上可知，函数是奇函数．
对于D，的图象为平行于轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数．
【名师点睛】对于C，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明与的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．若D项中的函数是，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数．
5．奇偶函数图象对称性的应用
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，因此可以借助函数一部分的图象得出函数另一部分的图象，进而研究函数的性质．
【例5】设奇函数的定义域为．若当时，的图象如图所示，则不等式的解集是
A． B．
C． D．
【答案】D
【名师点睛】利用数形结合思想解题时，要准确画出草图，并注意特殊点的位置，且求解时不要忽略定义域的限制．
6．函数奇偶性的应用
（1）利用奇偶性的定义求函数的值或参数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解．
（2）利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．
（3）利用奇偶性比较大小，通过奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上比较大小．
【例6】设偶函数的定义域为R，当x时是增函数，则，，的大小关系是
A．>> B．>>
C．<< D．<<
【答案】A
【解析】由函数为偶函数得，当x时是增函数，所以>，从而>>．
【名师点睛】由于偶函数在轴两侧的单调性相反，故不可直接由得出．
7．对单调区间和在区间上单调两个概念的理解
【例7】已知二次函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
【错解】易知函数的图象的对称轴为直线，由题意知在区间上单调递减，所以，解得．
【错因分析】错解中把在区间上单调误认为是单调区间，若把本题改为二次函数的单调递减区间是，则错解中的解法是正确的．
【正解】易知函数的图象的对称轴为直线，由题意知在区间上单调递减，所以，解得．
【名师点睛】单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I．而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间，一定要区分开．
8．判断函数奇偶性时，注意定义域
【例8】判断函数的奇偶性．
【错解】因为，所以函数是偶函数．
【错因分析】判断函数的奇偶性时，需先判断函数的定义域是否关于原点对称．
【正解】函数的定义域为，不关于原点对称，故函数既不是奇函数又不是偶函数．
【名师点睛】由函数奇偶性的定义可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称的．
基础练习
1．集合{x|x≥2}表示成区间是
A．（2，+∞） B．[2，+∞）
C．（–∞，2） D．（–∞，2]
2．集合{x|x>0且x≠2}用区间表示出来
A．（0，2） B．（0，+∞）
C．（0，2）∪（2，+∞） D．（2，+∞）
3．函数f（x）=（x–1）2的单调递增区间是
A．[0，+∞） B．[1，+∞）
C．（–∞，0] D．（–∞，1]
4．已知函数f（x）=–1+（x≠1），则f（x）
A．在（–1，+∞）上是增函数 B．在（1，+∞）上是增函数
C．在（–1，+∞）上是减函数 D．在（1，+∞）上是减函数
5．函数y=f（x），x∈[–4，4]的图象如图所示，则函数f（x）的所有单调递减区间为
A．[–4，–2] B．[1，4]
C．[–4，–2]和[1，4] D．[–4，–2]∪[1，4]
6．函数g（x）=|x|的单调递增区间是
A．[0，+∞） B．（–∞，0]
C．（–∞，–2] D．[–2，+∞）
7．已知f（x）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，则满足的x取值范围是
A． B．
C． D．
8．函数f（x）=–|x–2|的单调递减区间为
A．（–∞，2] B．[2，+∞）
C．[0，2] D．[0，+∞）
9．函数的单调递增区间是
A． B．
C．[4，+∞） D．
10．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1）=–2，那么f（–1）+f（0）=
A．–2 B．0 C．1 D．2
11．函数f（x）=–x的图象关于
A．坐标原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．直线y=x对称
12．函数f（x）=x3+x的图象关于
A．y轴对称 B．直线y=–x对称
C．坐标原点对称 D．直线y=x对称
13．用区间表示数集{x|214．奇函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，f（3）=2，则f（1）=___________．
15．y=f（x）为奇函数，当x>0时f（x）=x（1–x），则当x<0时，f（x）=___________．
能力提升
16．函数f（x）=x+（x>0）的单调减区间是
A．（2，+∞） B．（0，2）
C．（，+∞） D．（0，）
17．函数f（x）=x+（b>0）的单调减区间为
A．（–，） B．（–∞，–），（，+∞）
C．（–∞，–） D．（–，0），（0，）
18．函数f（x）=x+3|x–1|的单调递增区间是
A．（–∞，+∞） B．（1，+∞）
C．（–∞，1） D．（0，+∞）
19．函数y=，x∈（m，n]最小值为0，则m的取值范围是
A．（1，2） B．（–1，2） .
C．[1，2） D．[–1，2）
20．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是
A． B．
C． D．
21．已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2–2x，则当x<0时，f（x）的解析式是
A．f（x）=–x（x+2） B．f（x）=x（x–2）
C．f（x）=–x（x–2） D．f（x）=x（x+2）
22．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数，若f（a）≥f（–2），则a的取值范围是
A．a≤–2 B．a≥2
C．a≤–2或a≥2 D．–2≤a≤2
23．已知一个奇函数的定义域为{–1，2，a，b}，则a+b=
A．–1 B．1 C．0 D．2
24．已知函数f（x）=–x|x|+2x，则下列结论正确的是
A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）
B．f（x）是偶函数，递减区间是（–∞，–1）
C．f（x）是奇函数，递增区间是（–∞，–1）
D．f（x）是奇函数，递增区间是（–1，1）
25．奇函数y=f（x）的局部图象如图所示，则
A．f（2）>0>f（4） B．f（2）<0C．f（2）>f（4）>0 D．f（2）26．已知函数f（x）=x3–3x，求函数f（x）在[–3，]上的最大值和最小值．
真题练习
27．（2019?浙江模拟）若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M – m
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
28．（2018?新课标全国Ⅰ）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
29．（2019?新课标Ⅱ）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（–∞，0）时，f（x）=2x3+x2，则f（2）=__________．
30．（2018?北京）函数的最大值为_________．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
B
D
C
A
C
B
C
D
A
C
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
27
28
D
D
B
D
B
A
D
A
D
A
B
D
1．【答案】B
【解析】集合{x|x≥2}表示成区间是[2，+∞），故选B．
2．【答案】C
【解析】集合{x|x>0且x≠2}用区间表示为：（0，2）∪（2，+∞）．故选C．
5．【答案】C
【解析】由如图可得，f（x）在[–4，–2]递减，在[–2，1]递增，在[1，4]递减，可得f（x）的减区间为
[–4，–2]，[1，4]．故选C．
6．【答案】A
【解析】x≥0，时，g（x）=x，x<0时，g（x）=–x，故函数在[0，+∞）递增，故选A．
7．【答案】C
【解析】∵f（x）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，∴不等式等价为0≤2x–1<，即≤x<，即不等式的解集为，故选C．
8．【答案】B
【解析】∵y=|x–2|=，∴函数y=|x–2|的单调递减区间是（–∞，2]，∴f（x）=–|x–2|的单调递减区间是[2，+∞），故选B．
11．【答案】A
【解析】函数f（x）=–x，定义域为{x|x≠0}关于原点对称，f（–x）=–+x=–f（x），则f（x）为奇函数，图象关于原点对称．故选A．
12．【答案】C
【解析】∵f（–x）=–x3–x=–f（x），∴函数f（x）=x3+x为奇函数，∵奇函数的图象关于原点对称，故选C．
13．【答案】（2，4]
【解析】数集{x|214．【答案】2
【解析】奇函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，f（3）=2，所以f（–1）=–2，所以f（1）=–f（–1）=2，故答案为：2．
15．【答案】x2+x
【解析】∵f（x）为奇函数，x>0时，f（x）=x（1–x），∴当x<0时，–x>0，f（x）=–f（–x）=–（–x（1+x））=x（1+x），即x<0时，f（x）=x（1+x），故答案为：x2+x．
16．【答案】D
【解析】函数f（x）=x+（x>0），根据对勾函数图象及性质可知，函数f（x）=x+（x>0）在（，+∞）单调递增，函数f（x）在（0，）单调递减．故选D．
17．【答案】D
【解析】函数f（x）=x+（b>0），的导数为f′（x）=1–，由f′（x）<0，即为x218．【答案】B
【解析】函数f（x）=x+3|x–1|，当x≥1时，f（x）=x+3x–3=4x–3，可得f（x）在（1，+∞）递增；当x<1时，f（x）=x+3–3x=3–2x，可得f（x）在（–∞，1）递减．故选B．
19．【答案】D
【解析】函数y=–1，且在x∈（–1，+∞）时，函数y是单调递减函数，在x=2时，y取得最小值0；根据题意x∈（m，n]时y的最小值为0，∴m的取值范围是–1≤m<2．故选D．
22．【答案】D
【解析】由题意可得|a|≤2，∴–2≤a≤2，故选D．
23．【答案】A
【解析】因为一个奇函数的定义域为{–1，2，a，b}，根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于–2，所以a+b=1+–2=–1．故选A．
24．【答案】D
【解析】由题意可得函数定义域为R，∵函数f（x）=–x|x|+2x，∴f（–x）=x|–x|–2x=–f（x），∴f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=–x2+2x=–（x–1）2+1，由二次函数可知，函数在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减；由奇函数的性质可得函数在（–1，0）单调递增，在（–∞，–1）单调递减；综合可得函数的递增区间为（–1，1），故选D．
25．【答案】A
【解析】∵函数f（x）为奇函数，∴其图象关于原点对称．由题图可知，f（–4）>0>f（–2），即–f（4）>0>
–f（2），∴f（2）>0>f（4）．故选A．
26．【答案】最大值是2，最小值是–18
【解析】f′（x）=3x2–3=3（x+1）（x–1），
令f′（x）>0，解得：x>1或x<–1，
令f′（x）<0，解得：–1故f（x）在[–3，–1）递增，在（–1，1）递减，在（1，]递增，
而f（–3）=–27+9=–18，f（–1）=2，f（1）=–2，f（）=–，
故函数的最大值是2，最小值是–18．
27．【答案】B
【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．
【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．
28．【答案】D
【解析】因为为奇函数且在单调递减，要使成立，则满足，从而由得，即满足的的取值范围为，选D.
29．【答案】12
【解析】∵当x∈（–∞，0）时，f（x）=2x3+x2，∴f（–2）=–12，又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（2）=12，故答案为：12．
30．【答案】2
【解析】，即最大值为2．
1.3 函数的基本性质
知识
一、函数的单调性
1．函数单调性的定义
一般地，设函数f（x）的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1
（1）定义中的x1，x2有三个特征：①任意性，即不能用特殊值代替；②属于同一个区间；③有大小，一般令x1
2．函数的单调区间
如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）___________，区间D叫做y=f（x）的___________．
对函数单调区间的理解
（1）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．
（2）函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集．
（3）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性．
（4）并非所有的函数都具有单调性．如函数就不具有单调性．
常见函数的单调性
函数类型
单调性
一次函数
在上单调递增
在上单调递减
反比例函数
单调减区间是和
单调增区间是和
二次函数
单调减区间是，单调增区间是
单调减区间是，单调增区间是
二、函数的最大（小）值
1．最大值
一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的，都有___________；
（2）存在，使得___________．
那么，我们称M是函数的最大值．
函数的最大值对应图象最高点的纵坐标．
2．最小值
一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数m满足：
（1）对于任意的，都有___________；
（2）存在，使得___________．
那么，我们称m是函数的最小值．
函数的最小值对应图象最低点的纵坐标．
函数的最值与单调性的关系
如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数，在处有最大值．
如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数，在处有最小值．
如果函数在区间上是增（减）函数，则在区间的左、右端点处分别取得最小（大）值和最大（小）值．
三、函数的奇偶性
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f（x）就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f（x）就叫做奇函数．
函数具有奇偶性的条件
（1）①首先考虑定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；
②在定义域关于原点对称的前提下，进一步判定是否等于．
（2）分段函数的奇偶性应分段说明与的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．
（3）若奇函数的定义域包括，则．
四、奇函数、偶函数的图象特征
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以___________为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以___________为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以___________为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于___________对称，则这个函数是偶函数．
奇、偶函数的单调性
根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：
（1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．
（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
性质法判断函数的奇偶性
，在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
知识参考答案：
一、1． 2．单调性 单调区间
二、1．（1） （2） 2．（1） （2）
三、
四、坐标原点 坐标原点 轴 轴
重点
重点
1．函数的单调性及其几何意义，函数的最大（小）值及其几何意义；
2．函数的奇偶性及其判断方法；
3．奇函数、偶函数的图象特征；
难点
1．利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值；
2．函数奇偶性的判断方法；
易错
1．写函数的单调区间或利用单调区间求解时，首先要关注函数的定义域，否则容易出错；
2．需注意单调区间与在区间上单调的区别；
3．在判断函数的奇偶性时，不仅要关注定义域是否关于原点对称，而且要注意函数的奇偶性是针对定义域的任意一个而言的.另外，不要忽略奇函数若在原点处有定义，则．
1．函数单调性的判断或证明
（1）判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．
利用定义法判断（或运用）函数的单调性的步骤为：
（2）若判断复合函数的单调性，则需将函数解析式分解为一些简单的函数，然后判断外层函数和内层函数的单调性，外层函数和内层函数的单调性相同时，则复合函数单调递增；外层函数和内层函数的单调性相反时，则复合函数单调递减．可简记为“同增异减”，需要注意内层函数的值域在外层函数的定义域内．
（3）函数单调性的常用结论：
①若均为区间A上的增（减）函数，则也是区间A上的增（减）函数；
②若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；
③函数在公共定义域内与，的单调性相反；
④函数在公共定义域内与的单调性相同．
【例1】证明：函数在区间（0，＋∞）上是增函数．
【答案】证明详见解析．
【名师点睛】函数单调性判断的等价变形：
是增函数对任意，都有，或，或；是减函数对任意，都有，或，或．
2．单调性的应用
函数单调性的应用主要有：
（1）由的大小关系可以判断与的大小关系，也可以由与的大小关系判断出的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较．
（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．
（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点．
（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内．
【例2】若函数在[1，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围．
【答案】0≤a≤1
【名师点睛】本题中不一定是二次函数，所以要对a进行讨论．另外，需熟练掌握一次函数、反比例函数和二次函数的单调性，并能灵活应用．
3．求函数的最大（小）值
求函数最大（小）值的常用方法有：
（1）配方法，对于“二次函数类”的函数，一般通过配方法求最值；
（2）图象法，对于图象较为容易画出来的函数，可借助图象直观求出最值；
（3）单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性（需给出证明）后，可依据单调性确定函数最值；
（4）若函数存在最值，则最值一定是值域两端处的值，所以求函数的最大（小）值可利用求值域的方法．
注意：（1）无论用哪种方法求最值，都要考查“等号”是否成立．
（2）函数的值域是一个集合，函数的最值是一个函数值，它是值域的一个元素，函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大（小）值．
【例3】已知函数，若x∈[t，t＋2]，求函数f（x）的最值．
【答案】答案详见解析．
【解析】易知函数的图象的对称轴为直线x＝1，
（1）当1≥t＋2，即t≤－1时，f（x）max＝f（t）＝t2－2t－3，f（x）min＝f（t＋2）＝t2＋2t－3．
（2）当≤1
设函数f（x）的最大值为g（t），最小值为φ（t），则有 ，．
【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型：
一是函数定义域为实数集，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值；
二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧）来决定，若含有参数，则要根据对称轴与轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，解题时要注意数形结合．
4．判断函数的奇偶性
判断函数奇偶性的方法：
（1）定义法：
（2）图象法：
（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断．
判断与的关系时，也可以使用如下结论：
如果或，则函数为偶函数；
如果或，则函数为奇函数．
【例4】下列判断正确的是
A．函数是奇函数
B．函数是非奇非偶函数
C．函数是偶函数
D．函数既是奇函数又是偶函数
【答案】B
【解析】对于A，的定义域为，不关于原点对称，不是奇函数．
对于B，，，不满足奇偶性的定义，是非奇非偶函数．
对于C，函数的定义域为，关于原点对称．当时，；当时，．综上可知，函数是奇函数．
对于D，的图象为平行于轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数．
【名师点睛】对于C，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明与的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．若D项中的函数是，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数．
5．奇偶函数图象对称性的应用
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，因此可以借助函数一部分的图象得出函数另一部分的图象，进而研究函数的性质．
【例5】设奇函数的定义域为．若当时，的图象如图所示，则不等式的解集是
A． B．
C． D．
【答案】D
【名师点睛】利用数形结合思想解题时，要准确画出草图，并注意特殊点的位置，且求解时不要忽略定义域的限制．
6．函数奇偶性的应用
（1）利用奇偶性的定义求函数的值或参数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解．
（2）利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．
（3）利用奇偶性比较大小，通过奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上比较大小．
【例6】设偶函数的定义域为R，当x时是增函数，则，，的大小关系是
A．>> B．>>
C．<< D．<<
【答案】A
【解析】由函数为偶函数得，当x时是增函数，所以>，从而>>．
【名师点睛】由于偶函数在轴两侧的单调性相反，故不可直接由得出．
7．对单调区间和在区间上单调两个概念的理解
【例7】已知二次函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
【错解】易知函数的图象的对称轴为直线，由题意知在区间上单调递减，所以，解得．
【错因分析】错解中把在区间上单调误认为是单调区间，若把本题改为二次函数的单调递减区间是，则错解中的解法是正确的．
【正解】易知函数的图象的对称轴为直线，由题意知在区间上单调递减，所以，解得．
【名师点睛】单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I．而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间，一定要区分开．
8．判断函数奇偶性时，注意定义域
【例8】判断函数的奇偶性．
【错解】因为，所以函数是偶函数．
【错因分析】判断函数的奇偶性时，需先判断函数的定义域是否关于原点对称．
【正解】函数的定义域为，不关于原点对称，故函数既不是奇函数又不是偶函数．
【名师点睛】由函数奇偶性的定义可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称的．
基础练习
1．集合{x|x≥2}表示成区间是
A．（2，+∞） B．[2，+∞）
C．（–∞，2） D．（–∞，2]
2．集合{x|x>0且x≠2}用区间表示出来
A．（0，2） B．（0，+∞）
C．（0，2）∪（2，+∞） D．（2，+∞）
3．函数f（x）=（x–1）2的单调递增区间是
A．[0，+∞） B．[1，+∞）
C．（–∞，0] D．（–∞，1]
4．已知函数f（x）=–1+（x≠1），则f（x）
A．在（–1，+∞）上是增函数 B．在（1，+∞）上是增函数
C．在（–1，+∞）上是减函数 D．在（1，+∞）上是减函数
5．函数y=f（x），x∈[–4，4]的图象如图所示，则函数f（x）的所有单调递减区间为
A．[–4，–2] B．[1，4]
C．[–4，–2]和[1，4] D．[–4，–2]∪[1，4]
6．函数g（x）=|x|的单调递增区间是
A．[0，+∞） B．（–∞，0]
C．（–∞，–2] D．[–2，+∞）
7．已知f（x）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，则满足的x取值范围是
A． B．
C． D．
8．函数f（x）=–|x–2|的单调递减区间为
A．（–∞，2] B．[2，+∞）
C．[0，2] D．[0，+∞）
9．函数的单调递增区间是
A． B．
C．[4，+∞） D．
10．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1）=–2，那么f（–1）+f（0）=
A．–2 B．0 C．1 D．2
11．函数f（x）=–x的图象关于
A．坐标原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．直线y=x对称
12．函数f（x）=x3+x的图象关于
A．y轴对称 B．直线y=–x对称
C．坐标原点对称 D．直线y=x对称
13．用区间表示数集{x|2
15．y=f（x）为奇函数，当x>0时f（x）=x（1–x），则当x<0时，f（x）=___________．
能力提升
16．函数f（x）=x+（x>0）的单调减区间是
A．（2，+∞） B．（0，2）
C．（，+∞） D．（0，）
17．函数f（x）=x+（b>0）的单调减区间为
A．（–，） B．（–∞，–），（，+∞）
C．（–∞，–） D．（–，0），（0，）
18．函数f（x）=x+3|x–1|的单调递增区间是
A．（–∞，+∞） B．（1，+∞）
C．（–∞，1） D．（0，+∞）
19．函数y=，x∈（m，n]最小值为0，则m的取值范围是
A．（1，2） B．（–1，2） .
C．[1，2） D．[–1，2）
20．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是
A． B．
C． D．
21．已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2–2x，则当x<0时，f（x）的解析式是
A．f（x）=–x（x+2） B．f（x）=x（x–2）
C．f（x）=–x（x–2） D．f（x）=x（x+2）
22．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数，若f（a）≥f（–2），则a的取值范围是
A．a≤–2 B．a≥2
C．a≤–2或a≥2 D．–2≤a≤2
23．已知一个奇函数的定义域为{–1，2，a，b}，则a+b=
A．–1 B．1 C．0 D．2
24．已知函数f（x）=–x|x|+2x，则下列结论正确的是
A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）
B．f（x）是偶函数，递减区间是（–∞，–1）
C．f（x）是奇函数，递增区间是（–∞，–1）
D．f（x）是奇函数，递增区间是（–1，1）
25．奇函数y=f（x）的局部图象如图所示，则
A．f（2）>0>f（4） B．f（2）<0
真题练习
27．（2019?浙江模拟）若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M – m
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
28．（2018?新课标全国Ⅰ）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
29．（2019?新课标Ⅱ）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（–∞，0）时，f（x）=2x3+x2，则f（2）=__________．
30．（2018?北京）函数的最大值为_________．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
B
D
C
A
C
B
C
D
A
C
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
27
28
D
D
B
D
B
A
D
A
D
A
B
D
1．【答案】B
【解析】集合{x|x≥2}表示成区间是[2，+∞），故选B．
2．【答案】C
【解析】集合{x|x>0且x≠2}用区间表示为：（0，2）∪（2，+∞）．故选C．
5．【答案】C
【解析】由如图可得，f（x）在[–4，–2]递减，在[–2，1]递增，在[1，4]递减，可得f（x）的减区间为
[–4，–2]，[1，4]．故选C．
6．【答案】A
【解析】x≥0，时，g（x）=x，x<0时，g（x）=–x，故函数在[0，+∞）递增，故选A．
7．【答案】C
【解析】∵f（x）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，∴不等式等价为0≤2x–1<，即≤x<，即不等式的解集为，故选C．
8．【答案】B
【解析】∵y=|x–2|=，∴函数y=|x–2|的单调递减区间是（–∞，2]，∴f（x）=–|x–2|的单调递减区间是[2，+∞），故选B．
11．【答案】A
【解析】函数f（x）=–x，定义域为{x|x≠0}关于原点对称，f（–x）=–+x=–f（x），则f（x）为奇函数，图象关于原点对称．故选A．
12．【答案】C
【解析】∵f（–x）=–x3–x=–f（x），∴函数f（x）=x3+x为奇函数，∵奇函数的图象关于原点对称，故选C．
13．【答案】（2，4]
【解析】数集{x|2
【解析】奇函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，f（3）=2，所以f（–1）=–2，所以f（1）=–f（–1）=2，故答案为：2．
15．【答案】x2+x
【解析】∵f（x）为奇函数，x>0时，f（x）=x（1–x），∴当x<0时，–x>0，f（x）=–f（–x）=–（–x（1+x））=x（1+x），即x<0时，f（x）=x（1+x），故答案为：x2+x．
16．【答案】D
【解析】函数f（x）=x+（x>0），根据对勾函数图象及性质可知，函数f（x）=x+（x>0）在（，+∞）单调递增，函数f（x）在（0，）单调递减．故选D．
17．【答案】D
【解析】函数f（x）=x+（b>0），的导数为f′（x）=1–，由f′（x）<0，即为x2
【解析】函数f（x）=x+3|x–1|，当x≥1时，f（x）=x+3x–3=4x–3，可得f（x）在（1，+∞）递增；当x<1时，f（x）=x+3–3x=3–2x，可得f（x）在（–∞，1）递减．故选B．
19．【答案】D
【解析】函数y=–1，且在x∈（–1，+∞）时，函数y是单调递减函数，在x=2时，y取得最小值0；根据题意x∈（m，n]时y的最小值为0，∴m的取值范围是–1≤m<2．故选D．
22．【答案】D
【解析】由题意可得|a|≤2，∴–2≤a≤2，故选D．
23．【答案】A
【解析】因为一个奇函数的定义域为{–1，2，a，b}，根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于–2，所以a+b=1+–2=–1．故选A．
24．【答案】D
【解析】由题意可得函数定义域为R，∵函数f（x）=–x|x|+2x，∴f（–x）=x|–x|–2x=–f（x），∴f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=–x2+2x=–（x–1）2+1，由二次函数可知，函数在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减；由奇函数的性质可得函数在（–1，0）单调递增，在（–∞，–1）单调递减；综合可得函数的递增区间为（–1，1），故选D．
25．【答案】A
【解析】∵函数f（x）为奇函数，∴其图象关于原点对称．由题图可知，f（–4）>0>f（–2），即–f（4）>0>
–f（2），∴f（2）>0>f（4）．故选A．
26．【答案】最大值是2，最小值是–18
【解析】f′（x）=3x2–3=3（x+1）（x–1），
令f′（x）>0，解得：x>1或x<–1，
令f′（x）<0，解得：–1
而f（–3）=–27+9=–18，f（–1）=2，f（1）=–2，f（）=–，
故函数的最大值是2，最小值是–18．
27．【答案】B
【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．
【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．
28．【答案】D
【解析】因为为奇函数且在单调递减，要使成立，则满足，从而由得，即满足的的取值范围为，选D.
29．【答案】12
【解析】∵当x∈（–∞，0）时，f（x）=2x3+x2，∴f（–2）=–12，又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（2）=12，故答案为：12．
30．【答案】2
【解析】，即最大值为2．