人教版高中数学必修一知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.1 指数函数高一数学人教版（必修1）

知识
一、根式
1．次方根的概念
一般地，如果____________，那么叫做的次方根，其中，．
2．次方根的性质
（1）当是____________时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．这时，的次方根用符号表示．
（2）当是____________时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示．正的次方根与负的次方根可以合并写成．负数没有偶次方根．
（3）0的任何次方根都为0，记作．
3．根式的概念
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
4．根式的性质
根据次方根的意义，可以得到：
（1）；
（2）当为奇数时，；
（3）当为偶数时，．
二、实数指数幂
1．分数指数幂
（1）我们规定正数的正分数指数幂的意义是．
于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式．
（2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且
．
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
2．有理数指数幂
规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质：
（1）____________；
（2）____________；
（3）____________．
3．无理数指数幂
对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数．
一般地，无理数指数幂是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
4．分数指数幂与整数指数幂的区别与联系
分数指数幂和整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算，这是他们相同的部分．整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂不可以理解为个a相乘．
三、指数函数
1．指数函数的概念
一般地，函数____________叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
2．指数函数的结构特征
（1）底数：大于零且不等于1的常数；
（2）指数：仅有自变量x；
（3）系数：ax的系数是____________．
四、指数函数的图象与性质
1．一般地，指数函数的图象和性质如下表所示：
图象
定义域
值域
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y=a?x与y=ax的图象关于y轴对称
过定点
过定点，即时，
单调性
在上是____________函数
在上是____________函数
函数值的变化情况
当时，；
当时，
当时，；
当时，．
2．指数函数中的底数对其图象的影响
指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0知识参考答案：
三、1． 2．（3）1
四、1．减 增 2．变大
重点
重点
1．根式与指数幂的运算，有理数指数幂的运算；
2．指数函数的概念，指数函数的图象与性质．
难点
1．理解根式的概念，准确运用性质进行计算；
2．指数函数的图象与性质．
易错
1．运用根式的性质时容易出错，在化简时一定要注意的奇偶性；
2．指数函数的值域是，因此在解与指数函数有关的问题时，一定要注意，避免出错．
1．分数指数幂与根式的转化
在解决根式与分数指数幂互化的问题时，应熟记根式与分数指数幂的转化公式．当要化简的根式为多重根式时，要搞清楚哪个是被开方数，由里向外用分数指数幂依次写出．
【例1】下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【名师点睛】根式形式比较容易观察出各式的取值范围，而分数指数幂在应用上比较方便，故根式与分数指数幂的互化是学习的重点内容，要熟练掌握．
2．指数幂的运算
进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
【例2】化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）1；（2）89；（3）．
【解析】（1）因为有意义，所以，
所以原式=．
（2）原式=．
（3）
．
【名师点睛】注意立方和、立方差公式在分数指数幂中的应用，因为完全平方公式、平方差公式一般在使用中一目了然，而对于立方和、立方差公式却不易觉察到，要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力．
3．知值求值问题
带有附加条件的求值问题，一般不求出单个式子或未知数的值，而是利用整体思想，将所求式子转化为已知的式子．
【例3】已知，求下列各式的值：
（1）； （2）．
【答案】（1）7；（2）47．
【技巧点拨】仔细分析条件与结论，灵活运用完全平方公式，要注意运用整体的观点、方程的思想处理问题．
4．指数函数的概念
（1）判断一个函数是否为指数函数，只需判断其解析式是否满足：①的系数是1；②底数满足；③指数是；④定义域是．
（2）已知函数类型时，通常设出函数的解析式，利用待定系数法求解．
【例4】已知指数函数的图象经过，试求和的值．
【答案】，．
【解析】设，∵函数的图象经过，∴，解得，又，则，∴，则，．
【技巧点拨】解方程的关键是先把变形为，则．
5．指数函数的图象
（1）由于指数函数的图象过定点，因此形如且的函数图象过定点的问题，可令指数为0，即令，即，得，从而图象过定点．
（2）指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系总结如下：
在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；
在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．
（3）判断底数大小的方法：过点（1，0）作与y轴平行的直线，则该直线与指数函数图象交点的纵坐标即该指数函数的底数．
【例5】如图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数的图象，已知对应函数的底数的值可取为，，，，则相应于曲线C1，C2，C3，C4，依次为
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】D
【知识延伸】一般地，当函数与函数（即函数）的自变量的取值互为相反数时，其函数值是相等的，这两个函数的图象是关于轴对称的．
6．与指数函数相关的定义域和值域问题
（1）求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是型还是型，前者的定义域是，后者的定义域与的定义域一致，而求型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式（组）．
（2）对于值域问题，一方面要考虑函数的定义域和单调性，另一方面还必须兼顾指数函数的值域是．
【例6】（1）函数的定义域是____________，值域是____________．
（2）函数的定义域是____________，值域是____________．
【答案】（1） ，（0，1]；（2） ，．
【名师点睛】求指数函数的定义域和值域，前面所讲的求函数的定义域和值域的方法仍然适用，但在求解过程中要注意正确运用指数函数的单调性，还应注意指数函数的值域为．
7．指数函数单调性的应用
（1）比较大小：对指数式比较大小时，要看底数与指数是否相同，若底数相同、指数不同，可直接利用单调性比较；若底数不同、指数相同，可利用指数函数的图象解决；若底数不同、指数也不同，可以采用中间量法，中间量常取1．
（2）解含指数式的不等式：先将不等式的两边化成同底的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解．
【例7】设，则的大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】A
【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分与两种情况讨论．
8．忽略的范围导致式子化简出错
【例8】化简：．
【错解】．
【错因分析】错解中忽略了的奇偶性，从而在化简时出现错误．
【正解】．
【名师点睛】对于的化简一定要注意的奇偶性，当为正偶数时，．
9．利用换元法时，遗漏指数函数的值域导致出错
【例9】求函数的值域．
【错解】令，则，即当时，，
则的值域为．
【错因分析】，错解中忽略了这一点，把的取值范围当成了实数集．
【正解】令，，则．
因为函数在上单调递增，
所以，即函数的值域为．
【名师点睛】解决与指数函数有关的问题时，经常用到换元法，以达到化繁为简的目的，但换元时，必须考虑原函数的定义域及值域，并由此确定新元的范围，以达到等价转化，避免因考虑不周而失分．
基础训练
1．函数y=3–x（–2≤x≤1）的值域是
A．[3，9] B．[，9]
C．[，3] D．[，]
2．函数y=2x＋1的大致图象是
3．函数的单调递增区间为
A．（1，+∞） B．（0，+∞）
C．（–∞，0） D．（–1，1）
4．若，且，为整数，则下列各式中正确的是
A． B．
C． D．
5．如果a>1，b<–1，那么函数f（x）=ax+b的图象在
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
6．函数的图象是
A． B．
C． D．
7．已知函数f（x）=ax（a>0，a≠1），若f（–2）A．2C．a>1 D．08．函数f（x）=（a–1）x在（–∞，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是
A．a>1 B．a<2
C．19．若，则的值为
A． B．
C． D．
10．函数f（x）=ax（a>0，且a≠1）对于任意的实数x、y都有
A．f（xy）=f（x）?f（y） B．f（x+y）=f（x）?f（y）
C．f（xy）=f（x）+f（y） D．f（x+y）=f（x）+f（y）
11．化简：（x）6=___________．
12．计算___________．
13．函数y=2x–1的值域为___________．
能力提升
14．已知f（x）=3x+3–x，若f（a）=4，则f（2a）=
A．4 B．14
C．16 D．18
15．已知函数f（x）=ax+a–x，且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是
A．14 B．13
C．12 D．11
16．已知a=0.40.3，b=0.30.4，c=0.3–0.2，则
A．bC．c17．已知函数是奇函数，则f（a）的值等于
A． B．3
C．或3 D．或3
18．若，则=___________．
19．已知实数x满足5x–1103x=8x，则x=___________．
20．函数y=ax–2+2（a>0且a≠1）的图象一定过定点___________．
21．若a>0且a≠1，则函数y=ax–1–1的图象经过定点___________．
22．计算下列各式的值：
（1）0.064–（–）0+160.75+0.01；
（2）．
23．已知函数f（x）=ax–1（x≥0）．其中a>0且a≠1．
（1）若f（x）的图象经过点求a的值；
（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．
24．已知函数f（x）=（）ax，a为常数，且函数的图象过点（–1，2）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=4–x–2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．
真题练习
25．【2018年新课标I卷文】设函数，则满足的x的取值范围是
A． B．
C． D．
26．（2019?高考新课标Ⅰ卷理）已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则
A． B．
C． D．
27．（2019?9北京模拟）已知函数，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
28．（2018?高考新课标Ⅲ卷）设函数则满足的x的取值范围是__________．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
A
B
D
B
B
D
C
B
B
14
15
16
17
25
26
27
B
C
A
C
D
A
A
1．【答案】B
2．【答案】A
【解析】函数y=2x＋1的图象是由函数y=2x的图象向左平移一个单位长度得到的，观察各选项可知选A．
3．【答案】B
【解析】，根据复合函数同增异减的原则，得f（x）在（0，+∞）单调递增，故选B．
4．【答案】D
【解析】由指数幂的运算，A、B、C错误，故选D．
5．【答案】B
【解析】∵a>1，∴y=ax的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过（0，1），f（x）=ax+b的图象可看成把y=ax的图象向下平移–b（–b>1）个单位得到的，故函数f（x）=ax+b的图象经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，故选B．
6．【答案】B
7．【答案】D
【解析】函数f（x）=ax（a>0，a≠1），若f（–2）8．【答案】C
【解析】∵函数f（x）=（a–1）x在（–∞，+∞）上是减函数，∴09．【答案】B
【解析】，所以，故选B．
10．【答案】B
【解析】由函数f（x）=ax（a>0，且a≠1），得f（x+y）=ax+y=ax?ay=f（x）?f（y）．所以函数f（x）=ax（a>0，且a≠1）对于任意的实数x、y都有f（x+y）=f（x）?f（y）．故选B．
11．【答案】x3y2
【解析】原式=?=x3y2，故答案为：x3y2．
12．【答案】
【解析】原式=××．故答案为：．
13．【答案】（–1，+∞）
【解析】由于2x>0，∴2x–1>–1，故函数y=2x–1的值域为（–1，+∞），故答案为：（–1，+∞）．
14．【答案】B
【解析】∵f（x）=3x+3–x，∴f（a）=3a+3–a=4，平方得32a+2+3–2a=16，即32a+3–2a=14．即f（2a）=
32a+3–2a=14．故选B．
15．【答案】C
【解析】由题意，函数f（x）=ax+a–x，且f（1）=3，可得a+=3，又f（2）=a2+a–2=–2=7，f（0）=1+1=2，所以f（0）+f（1）+f（2）=2+3+7=12，故选C．
16．【答案】A
【解析】∵1>a=0.40.3>0.30.3>b=0.30.4，c=0.3–0.2>1，∴b17．【答案】C
18．【答案】
【解析】．
19．【答案】
【解析】根据题意，5x–1103x=8x，即5x–1×（2×5）3x=23x，则有54x–1=1，则有4x–1=0，解可得x=．故答案为：．
20．【答案】（2，3）
【解析】由x–2=0，得x=2，此时y=3．∴函数y=ax–2+2（a>0且a≠1）一定过定点（2，3）．故答案为：（2，3）．
21．【答案】（1，0）
【解析】∵函数y=ax的图象过点（0，1），而函数y=ax–1–1的图象是把函数y=ax的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，∴函数y=ax–1–1的图象必经过的点（1，0）．故答案为：（1，0）．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式=；
（2）
．
23．【答案】（1）；（2）当01时，值域为[a–1，+∞）．
24．【答案】（1）a=1；（2）x的值为–1．
【解析】（1）由已知得（）–a=2，解得a=1．
（2）由（1）知f（x）=（）x，
又g（x）=f（x），则4–x–2=（）x，即（）x–（）x–2=0，即[（）x]2–（）x–2=0，
令（）x=t，则t2–t–2=0，即（t–2）（t+1）=0，
又t>0，故t=2，即（）x=2，解得x=–1，
满足条件的x的值为–1．
25．【答案】D
【解析】将函数的图象画出来，观察图象可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D．
点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果．
26．【答案】A
【解析】由可得，则，即，所以=
，，故选A．
27．【答案】A
【名师点睛】本题属于基础题型，根据与的关系就可以判断出函数的奇偶性，利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数?减函数=增函数.
28．【答案】
【解析】由题意得：当时，恒成立，即；当时，恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是．