高中数学人教A版选修4-52.1比较法教案

2.1 比较法
教学目标：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
教学重、难点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
教学过程：
一、新课学习：
要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：
二、典型例题：
例1、设都是正数，且，求证：。
例2、若实数，求证：
证明：采用差值比较法：
=
=
=
=
∴
∴
讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？
例3、已知求证
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设
，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设
故原不等式得证。
例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点。
分析：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为。要回答题目中的问题，只要比较的大小就可以了。
解：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，根据题意有，，可得，，
从而，
其中都是正数，且。于是，即。
从而知甲比乙首先到达指定地点。
讨论：如果，甲、乙两人谁先到达指定地点？
三、课堂练习：
1．比较下面各题中两个代数式值的大小：
（1）与；（2）与.
2．已知 求证：（1） （2）
3．若，求证
四、课时小结：
比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
五、课后作业：
课本23页第1、2、3、4题。