高中数学人教A版选修4-52.2综合法和分析法教案

2.2 综合法与分析法
教学目标：
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。
了解分析法和综合法的思考过程。
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。
教学过程：
一、引入：
综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由
于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。
所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证
的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。
二、典型例题：
例1、已知，且不全相等。求证：

分析：用综合法。
例2、设，求证
证法一 分析法
要证成立.
只需证成立，又因，
只需证成立，又需证成立，
即需证成立.而显然成立. 由此命题得证。
证法二 综合法

注意到，即，
由上式即得，从而成立。
议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？
例3、已知a，b，m都是正数，并且求证： （1）
证法一 要证（1），只需证 （2）
要证（2），只需证 （3）
要证（3），只需证 （4）
已知（4）成立，所以（1）成立。
上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。
证法二 因为 是正数，所以
两边同时加上得两边同时除以正数得（1）。
例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为，则周长为的圆的半径为，截面积为；周长为的正方形为，截面积为。所以本题只需证明。
证明：设截面的周长为，则截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为。只需证明：。
为了证明上式成立，只需证明。
两边同乘以正数，得：。因此，只需证明。
上式显然成立，所以 。
这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
例5、证明：。
证法一： 因为 （2）
（3）
（4）
所以三式相加得 （5）
两边同时除以2即得（1）。
证法二：
所以（1）成立。
例6、证明： （1）
证明 （1） （2）
（3）
（4）
（5）
（5）显然成立。因此（1）成立。
例7、已知都是正数，求证并指出等号在什么时候成立？
分析：本题可以考虑利用因式分解公式
着手。
证明：
=
=
由于都是正数，所以而，
可知
即（等号在时成立）
探究：如果将不等式中的分别用来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：
，其中是互不相等的正数，且.
三、课堂小结：
解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。
四、课堂练习：
1、已知求证：
2、已知求证
3、已知求证
4、已知求证：
（1）（2）
5、已知都是正数。求证：
（1） （2）
6、已知都是互不相等的正数，求证
五、课后作业：
课本25页第1、2、3、4题。