高中数学人教A版选修4-53.1二维形式的柯西不等式教案

3.1 二维形式的柯西不等式
教学目标：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.
教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.
教学难点：理解几何意义.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？
答案：及几种变式.
2. 练习：已知a、b、c、d为实数，求证
证法：（比较法）=….=
二、讲授新课：
1. 柯西不等式：
① 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则.
→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？
② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？
证法二：（综合法）
. （要点：展开→配方）
证法三：（向量法）设向量，，则， .
∵ ，且，则. ∴ …..
证法四：（函数法）设，则
≥0恒成立.
∴ ≤0，即…..
③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？
变式： 或
或.
④ 提出定理2：设是两个向量，则.
即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）
→ 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者共线）
⑤ 练习：已知a、b、c、d为实数，求证.
证法：（分析法）平方 →应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形）
2. 教学三角不等式：
出示定理3：设，则.
分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明
→ 变式：若，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？
三、应用举例：
例1：已知a,b为实数，求证
说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。
例题2：求函数的最大值。
分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。（）
解：函数的定义域为【1，5】，且y>0

当且仅当时，等号成立，即时，函数取最大值
课堂练习：1. 证明: (x2+y4)(a4+b2)≥(a2x+by2)2
2.求函数的最大值.
例3.设a,b是正实数，a+b=1，求证
分析：注意到，有了就可以用柯西不等式了。
四、巩固练习：
1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式
2. 已知x+2y=1, 求x2+y2的最小值.
3、若，，求证：.
五、课堂小结：
二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）
六、布置作业：P37页，4，5， 7，8，9