高中数学人教A版选修选修4-51.2.1绝对值三角不等式教案

1.2.1 绝对值三角不等式
教学目标：
1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会进行简
单的应用。
2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学
思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。
教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。
教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。
教学过程：
一、复习引入：
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。
1．请同学们回忆一下绝对值的意义。
。
几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1），当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立。
（2）， （3）， （4）
那么
二、讲解新课：
结论：（当且仅当时，等号成立.）
已知是实数，试证明：（当且仅当时，等号成立.）
方法一：证明:10 .当ab≥0时, 20. 当ab<0时,
综合10, 20知定理成立.
方法二：分析法，两边平方（略）
定理1 如果是实数，则（当且仅当时，等号成立.）
（1）若把换为向量情形又怎样呢？

根据定理1，有，就是，。 所以，。
定理（绝对值三角形不等式）
如果是实数，则
注：当为复数或向量时结论也成立.
推论1：
推论2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立.
思考：如何利用数轴给出推论2的几何解释？
（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）
三、典型例题：
例1、已知 ，求证
证明 （1）
，
∴ （2）
由（1），（2）得：
例2、已知 求证：。
证明 ，∴，
由例1及上式，。
注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。
例3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?
解：如果生活区建于公路路碑的第 x km处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km
那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)

四、课堂练习：
1.(课本习题1.2第1题)求证:
⑴;⑵
2. (课本P19习题1.2第3题)求证:
⑴;⑵
3．（1）、已知求证：。
（2）、已知求证：。
五、课堂小结：
1．实数的绝对值的意义:
⑴;（定义）
⑵的几何意义:
2．定理（绝对值三角形不等式）
如果是实数，则注意取等的条件。
六、课后作业：课本P19第2，4，5题
七．教学后记：