人教A版高中数学必修四2.2.1平面向量的加法运算及其几何意义教案

2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
一、教学目标：
知识与技能：
理解向量加法的意义，掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的运算律．
过程与方法：
通过向量加法的学习理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识．
培养类比、迁移、分类、归纳等能力．
情感、态度与价值观
通过学习对学习进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．
二．重点难点?
重点：两个向量的和的概念及其几何意义．(两个向量的和的概念是向量加法的基础，而向量加法是向量运算的基础．向量的线性运算的另一个特点是它有深刻的物理背景和几何意义，因此在引入一种向量运算后，总是要考查一下它的几何意义，正因为向量的几何意义，使得向量在解决几何问题时可以发挥很好的作用．)
难点：向量加法的运算律．(设计让学生先猜想后验证来学习运算律，需要利用类比的思想进行猜测，还要在猜测的基础上加以验证，有一定难度．)
三、教材与学情分析
《向量》这一章是前一轮教材中新增的内容．高考考纲有明确说明，同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用．另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具．教材的第2.1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、单位向量、零向量以及平行向量等基本概念．而本节课是继向量基本概念的第一节课．向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础．它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用．正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限．
学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景．
教学矛盾的主要方面是学生的学．学是中心，会学是目的．因此，在教学中要不断指导学生学会学习．在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段，调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展．

四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
1.导入新课
引例：有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000牛，F2＝2 000牛，牵绳之间的夹角θ＝60°.如果只用一条拖轮来牵引，而产生的效果跟原来的相同，试求出这条拖轮的牵引力的大小和方向．
图1
在物理中，我们已知道，两个不在一条直线的共点力与的合力是以、为邻边的平行四边形OACB的对角线所表示的力．这就是说，是与相加所得到的和．
设计说明：引导学生利用物理中合力的概念，来解决这个实际问题，以现有的知识为出发点培养学生的知识类比、迁移能力．
学情预设：把实际问题抽象为数学概念是学生的认知难点．
2. ：
一般地，把以、为邻边的平行四边形OACB的对角线，叫做与两个向量的和，记作＋.求两个不平行向量的和可按平行四边形法则进行．
问题1：如何求两个平行向量的和向量？
问题2：任意一个向量与一个零向量的和是什么？
求两个向量的和的运算叫做向量的加法．
设计说明：补充说明两个向量和的概念，同时让学生体验分类的思想．
：练习：根据图2中所给向量a，b，c画出向量：
(1)a＋b； (2)a＋b＋c.
图2
解法一：将两个向量起点重合，应用平行四边形法则画出两个向量的和向量．
解法二：将一个向量的起点与另一向量的终点重合，也可以画出两个向量的和向量．
设计说明：1．学生通过练习题(1)可加深对向量加法概念的理解．另外，可由此引出向量加法的三角形法则．
图3
2．通过对比的方式让学生了解向量的加法既可以按照平行四边形法则进行，也可以按照三角形法则进行．在向量加法运算中，通过向量的平移使两个向量首尾相接，可使用三角形法则．
引申：求n(n>3)个向量的和向量．
设计说明:求n(n>3)个向量的和向量时，让学生进一步体会应用首尾相接的三角形法则的优越性．
学情预设:学生对从特殊到一般的理解较抽象．
结论：求n个向量的和向量可应用多边形法则．
运算律的归纳
问题：向量的加法既然是一种运算，它应该具有哪些运算律？如何进行验证呢？
设计说明:引导学生类比实数加法的运算律，得出向量加法的运算律，培养学生的类比、迁移归纳能力．
3. 
例1. (1)已知平面内有三个非零向量、、，它们的模都相等，并且两两的夹角都是120°，
求证：＋＋＝0；(2)在平面内能否构造三个非零向量a、b、c，使a＋b＋c＝0；
(3)能否说出(2)的实际模型？
设计说明:题(1)是基本的例题；题(2)是题(1)的拓展；题(3)能体现数学来源于实际又应用于实际的思想．
例2. 如图13,O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量:
(1)+; (2)+; (3)+.
解:(1)因四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形,OB是其对角线,故+=.
(2)因=,故+与方向相同,长度为的长度的2倍,故+=.
(3)因=,故+=+=0.
设计说明::向量的运算结合平面几何知识,在长度和方向两个方面做文章.应深刻理解向量的加、
减法的几何意义.
例3. 在长江的某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度是25 km/h,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定？
解:设表示水流速度,表示渡船的速度,表示渡船实际垂直过江的速度,以AB为一边,AC为对角线作平行四边形,就是船的速度.在Rt△ACD中,∠ACD=90°,||=||=12.5,||=25,∠CAD=30°.
答:渡船的航向为北偏西30°.
设计说明::根据题意画出草图,是解决问题的关键.
4. 
(1)已知a、b是非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|有什么关系？
六、课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识:向量的加法定义,向量加法的三角形法则和平行四边形法则,向量加法满足交换律和结合律,几何作图,向量加法的实际应用.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法:特殊与一般,归纳与类比,数形结合,分类讨论,特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法.这种迁移类比的方法将把我们引向数学的王国,科学的殿堂.
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思
本节课采用“探究——讨论”教学法．“探究——研讨”教学法是美国哈佛大学教育专家兰本达所倡导的．“探究——研讨”教学法把教学过程分为两个步骤：第一步骤是“探究”．我所设计的问题引入、概念形成及概念深化都是采用探究的方法，将有关材料有层次地提供给学生，让学生独立地支配它，进而探索、研究它．学生通过对这些“有结构”的材料进行探究，获得对向量加法的感性认识和形成各自对向量加法概念的了解．第二步骤是“研讨”，即在探究的基础上，组织学生研讨自己在探究中的发现，通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对向量加法的认识从感性的认识上升到理性认识，获得一定水平层次的科学概念．这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研．”的研讨式学习方法．这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径和思考问题的方法．使学生真正成为教学的主体．也只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”．学生才会逐步感到数学的美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要．