人教A版高中数学必修四2.2平面向量的线性运算（习题课）教案

2.2 平面向量的线性运算（习题课）
一、教学目标：
知识与技能：
1.了解向量的实际背景； 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；
3.理解向量的几何表示；
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
过程与方法：
通过本节习题课，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会解决常见问题的思想方法。．
情感、态度与价值观
通过学习对学习进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．
二．重点难点?
重点：1.实数与向量积的意义. 2.实数与向量积的运算律. 3.两个向量共线的等价条件及其运用．
难点：对向量共线的等价条件的理解运用．
三、教材与学情分析
向量运算作为一种新的运算体系，一方面类比数量运算。同时更要注重向量运算的特殊性，通过本节习题课，达到对向量线性运算进一步熟练，对基本问题掌握常见的方法。提高对知识的系统性理解。
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）温故知新
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定　义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
（二）诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)　
(1)零向量与任意向量平行.(　　)
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)
(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(　　)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.(　　)
(5)在△ABC中，D是BC中点，则＝(＋).(　　)
解析　(2)若b＝0，则a与c不一定平行.
(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等.则所有正确命题的序号是(　　)
A.① B.③ C.①③ D.①②
解析　根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误.
答案　A
3.设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，则λ＝(　　)
A.2 B.3 C.－2 D.－3
解析　由＝－＋，可得3＝－＋4，即4－4＝－，则4＝，即＝－4，可得＋＝－3，故＝－3，
则λ＝－3，故选D.
答案　D
4.已知?ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝______，＝________(用a，b表示).
解析　如图，＝＝－＝b－a，＝－＝
－－＝－a－b.
答案　b－a　－a－b
（三）典例解析
考点一　平面向量的概念
【例1】 下列命题中，不正确的是________(填序号).
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c.
解析　①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
②正确.∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，∥且，方向相同，因此＝.
③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
答案　①
规律方法　(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.
【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号).
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
解析　①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；
②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；
③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.
答案　③
考点二　平面向量的线性运算
【例2】 (1)在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC.若＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B.－a＋b
C.a－b D.－a－b
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.
答案　A
规律方法　(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.
【训练2】 (1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么等于(　　)
A.－ B.＋
C.＋ D.－
(2)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A.1 B. C. D.
解析　(1)在△CEF中，有＝＋.因为点E为DC的中点，所以＝.
因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，所以＝.
所以＝＋＝＋＝－，故选D.
(2)∵＝＋＝＋，∴2＝＋，即＝＋.
故λ＋μ＝＋＝.
答案　(1)D　(2)D
考点三　共线向量定理及其应用
【例3】 设两个非零向量a与b不共线.
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
(1)证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴，共线，又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线.
(2)解　∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
规律方法　(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立.
【训练3】 (1)(2017·资阳模拟)已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　)
A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线
C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线
(2)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值集合为(　　)
A.{0} B.?
C.{－1} D.{0，－1}
解析　(1)∵＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，
∴、共线，又有公共点B，
∴A，B，D三点共线.故选B.
(2)因为＝－，所以x2＋x＋－＝0，即＝－x2－(x－1)，因为A，B，C三点共线，所以－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.
答案　(1)B　(2)D
六、课堂小结
1.向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.
2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
3.对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y(x，y∈R)，
则P，A，B共线?x＋y＝1.
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思