人教A版高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、教学目标：
知识与技能：
在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．
过程与方法：
通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
情感、态度与价值观
通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质．
二．重点难点?
重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导．
难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明．
三、教材与学情分析
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的．在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α－β)与cos(α＋β)，它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α＋β＝α－(－β)的关系，从而由公式C(α－β)推得公式C(α＋β)，又如比较sin(α－β)与cos(α－β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式(5)(6)即可推得公式S(α－β)、S(α＋β)等．
2．本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆．本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等．另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的．
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
1、导入新课
思路1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片，注意有意识地让学生写整齐．然后教师引导学生观察cos(α－β)与cos(α＋β)、sin(α－β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)．本节课我们共同研究公式的推导及其应用．
思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备．若sinα＝，α∈(0，)，cosβ＝，β∈(0，)，求cos(α－β)，cos(α＋β)的值．学生利用公式C(α－β)很容易求得cos(α－β)，但是如果求cos(α＋β)的值就得想法转化为公式C(α－β)的形式来求，此时思路受阻，从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式．
2、
①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来．
②在公式C(α－β)中，角β是任意角，请学生思考角α－β中β换成角－β是否可以？此时观察角α＋β与α－(－β)之间的联系，如何利用公式C(α－β)来推导cos(α＋β)＝？
③分析观察C(α＋β)的结构有何特征？
④在公式C(α－β)、C(α＋β)的基础上能否推导sin(α＋β)＝？sin(α－β)＝？
⑤公式S(α－β)、S(α＋β)的结构特征如何？
⑥对比分析公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)，能否推导出tan(α－β)＝？tan(α＋β)＝？
⑦分析观察公式T(α－β)、T(α＋β)的结构特征如何？
⑧思考如何灵活运用公式解题？
活动：对问题①，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的α，β既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α－β)与cos(α＋β)中角的内在联系，学生有的会发现α－β中的角β可以变为角－β，所以α－(－β)＝α＋β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α＋β化成差角α－(－β)的形式〕．这时教师适时引导学生转移到公式C(α－β)上来，这样就很自然地得到
cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
所以有如下公式：

我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C(α＋β)．
对问题②，教师引导学生细心观察公式C(α＋β)的结构特征，可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C(α－β)进行记忆，并填空：cos75°＝cos(__________)＝__________＝__________.
对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式(5)(6)来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin2α＋cos2α＝1来互化，此法让学生课下进行)，因此有
sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)－β]＝cos(－α)cosβ＋sin(－α)sinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
在上述公式中，β用－β代之，则
sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.
因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α＋β)、S(α－β)．
Sin（α＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ，
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ.
对问题④⑤，教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美．为强化记忆，教师可让学生填空，如sin(θ＋φ)＝____________________，sincos＋cossin＝__________.
对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α＋β)、S(α－β)后，自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan(α－β)＝？，tan(α＋β)＝？呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到．在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来．
当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝＝.
如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0时，分子、分母同除以cosαcosβ得
tan(α＋β)＝，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有
tan(α－β)＝＝.
由此推得两角和、差的正切公式，简记为T(α－β)、T(α＋β)．
tan（α＋β）＝，
tan（α－β）＝.
对问题⑥，让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于＋kπ(k∈Z)，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆．
对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C(α＋β)、S(α＋β)、T(α＋β)叫和角公式；S(α－β)、C(α－β)、T(α－β)叫差角公式．并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图．可让学生自己画出这六个框图．通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美．对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T(α±β )处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(－β)，因为tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(－β)＝＝来处理等．
3. 
例1已知sinα＝－，α是第四象限角，求sin(－α)，cos(＋α)，tan(－α)的值．
活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求．再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等．例如本题中，要先求出cosα，tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成．
解：由sinα＝－，α是第四象限角，得cosα＝＝＝.
∴tanα＝＝－. 于是有sin(－α)＝sincosα－cossinα＝×－×(－)＝，
cos(＋α)＝coscosα－sinsinα＝×－×(－)＝，
tan(α－)＝＝＝＝－7.
点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯．
变式训练1. 不查表求cos75°，tan105°的值．
解：cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°
＝×－×＝，
tan105°＝tan(60°＋45°)＝＝＝－(2＋)．
2．设α∈(0，)，若sinα＝，则sin(α＋)等于( )
A. B. C. D．4
答案：A
例2已知sinα＝，α∈(，π)，cosβ＝－，β∈(π，)．求sin(α－β)，cos(α＋β)，tan(α＋β)．
活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系．根据公式S(α－β)、C(α＋β)、T(α＋β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号．
解：由sinα＝，α∈(，π)，得cosα＝－＝－＝－，∴tanα＝－.
又由cosβ＝－，β∈(π，)，得sinβ＝－＝－＝－，
∴tanβ＝.∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×(－)－(－)×(－)＝.
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝(－)×(－)－×(－)＝.
∴tan(α＋β)＝＝＝＝.
点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.
变式训练2.引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识．
解：设电视发射塔高CD＝x米，∠CAB＝α，则sinα＝，
在Rt△ABD中，tan(45°＋α)＝tanα.
于是x＝－30，
又∵sinα＝，α∈(0，)，∴cosα≈，tanα≈.
tan(45°＋α)＝≈＝3，∴x＝－30＝150(米)．
答：这座电视发射塔的高度约为150米.
例3在△ABC中，sinA＝(0°活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的．同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力．教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子．教师要提醒学生注意角的范围这一隐含条件．
解：∵在△ABC中，A＋B＋C＝180°，∴C＝180°－(A＋B)．
又∵sinA＝且0°∴sinC＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝，
cosC＝cos[180°－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝×－×＝.
点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用，解决三角形问题时，要注意三角形内角和等于180°这一隐含条件.
变式训练3.在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰非直角三角形
答案：C
六、课堂小结
1．先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．
2．教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想——转化思想，并要正确熟练地运用公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思
1．本节课是典型的公式教学模式，是在两角差的余弦公式的基础上进行的，因此本教案的设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”．它充分展示了公式教学中以学生为主体，进行主动探索数学知识发生、发展的过程．同时充分发挥教师的主导作用，引导学生利用旧知识推导证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题，从而使学生领会了数学中重要的数学思想——转化思想，并培养他们主动利用转化思想指导探索解决数学问题的能力．
2．纵观本教案的设计，知识点集中，容量较大，重点是公式的推导证明、记忆以及简单的应用等，通过本节的学习，使学生深刻理解公式的推导、证明方法，熟练应用公式解决简单的问题．同时教给学生发现规律、探索推导、获取新知的方法，让他们真正体验到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感．