3.1.1 实数指数幂及其运算

(共20张PPT)

实数指数幂及其运算
潘威
实数指数幂及其运算

分数指数幂
教学重点：
１、分数指数幂的含义的理解.
２、根式与分数指数幂的互化.
３、有理指数幂的运算性质.
教学难点：
１、分数指数幂概念的理解.
２、有理指数幂的运算和化简.


幂
正整数指数幂:
整数指数幂


底数

指数
运算法则:
复习回顾
思考讨论
对于（3）中如果将没m>n的去掉 ，情况会变成怎样的？

规定：
由正整数指数幂推广到整数指数幂。
运算法则:
例1:
那么分数指数幂又是什么？
分数指数幂
1.回顾初中学习的平方根，立方根的概念


方根概念推广：
如果存在实数x使得
则x叫做a的n次方根.
求a的n次方根，叫做把 a开n次方, 称作开方运算.
记为：


2)当n为奇数时， =a；
当n为偶数时， =|a|= .
⒈正分数指数幂的意义
⑴我们给出正数的正分数指数幂的定义：


注意：底数a>0这个条件不可少. 若无此条件会引起混乱，例如，(-1)1/3和(-1)2/6应当具有同样的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的结果：
=-1； =1. 这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义.
用语言叙述：正数 次幂(m,n∈N*,且n>1)等于这个正数的m次幂的n次算术根.
⒉负分数指数幂的意义

回忆负整数指数幂的意义：


正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿，就是：
(a>0,m,n∈N*,且n>1).

规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
注意：负分数指数幂在有意义的情况下，总表示正数，而不是负数,负号只是出现在指数上.
3有理指数幂的运算性质
我们规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数指数. 上述关于整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用，即对任意有理数r，s，均有下面的性质：
⑴ ar·as=ar+s (a>0,r,s∈Q)；
⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q)；
⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈Q).
说明：若a>0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数. 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 即当指数的范围扩大到实数集R后，幂的运算性质仍然是下述的3条.
1.正数的正分数指数幂的意义：
2.正数的负分数指数幂
3. 0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0.
0的负分数指数幂无意义.
4.有理指数幂的运算性质
1）ar?as=ar+s(a>0,r,s∈Q)
2）(ar)s=ar?s(a>0,r,s∈Q)
3）(a?b)r=ar?br(a>0,b>0,r∈Q)
注意：以后当看到指数是分数时，如果没有特别的说明，底数都表示正数.
例2：求值：
?

分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质.

解：
例3：用分数指数幂的形式表示下列各式：

分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质.
?
解：


例4:计算下列各式（式中字母都是正数）


解：

1、计算下列各式：



小结：
②指数概念的扩充，引入分数指数幂概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充 ．
而且有理指数幂的运算性质对于无理指数幂也适用，这样指数概念就扩充到了整个实数范围.
①分数指数幂的意义及运算性质
作业
课本：P54，练习：1,2,3
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