3.3 幂函数 24张

(共24张PPT)
幂函数的图象与性质（第一课时）
目标:
1) 理解幂函数的概念和性质
会画出五种幂函
数的图象
难点和重点:
学会数形结合的思想
概括出五种幂
函数的性质
一、目标提示
二、自学检测
y = x
y = x2
y = x-1
R
R
奇函数
R上是增函数
[0，+∞）
R
偶函数
在（－∞,0]上是减函数，在(0, +∞）上是增函数
奇函数
在( －∞,0)和(0, +∞）上是减函数
（－∞,0)U(0, +∞）
（－∞,0)U(0, +∞）

定义域
值域
奇偶性
单调性
二、问题引入
问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，那么她需要付的钱数p = 元， 。
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积 是S = ， 。
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积是V = ， 。
问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a= ， 。
问题5：如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v = ， 。
w
这里p是w的函数
a?
这里S是a的函数
a?
这里V是a的函数
这里a是S的函数
这里v是t的函数
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式将是:
y = x?
y= x?
以上问题中的函数有什么共同特征？
（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底的幂；
（3）指数为常数；
（4）自变量前的系数为1。
上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数。
1、定义
三、新知探究
幂函数与指数函数的区别？
看看自变量x是指数还是底数
指数函数
幂函数
判断下列函数是否为幂函数。
(1) y=x4
(3) y= -x2
(2) y=2x2
(6) y=x3+2
练习1
练习2
下面研究幂函数
在同一平面直角坐标系内作出这
五个幂函数的图象.
结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。
研究 y=x
2、五个常用幂函数的图象：
-8
-1
0
1
8
27
0
1
0
x
y
y=x3
/
/
64
2
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=x3 … …
y=x1/2 … …
(1,1)
(2,4)
(-2,4)
(-1,1)
(-1,-1)
从图象能得出它们的性质吗?
y=x
函数y=x的图象和性质
函数y=x2的图象和性质
函数y=x－1的图象 和性质
函数y=x3的图象和性质
探究：观察幂函数图象（课本第77页图2.3.1），将你发现的结论填在下面表格内：
y = x
R
R
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
R上是增函数
在（－∞,0]上是减函数，在(0, +∞）上是增函数
R上是增函数
在(0，+∞)上是增函数
在( －∞,0)和(0, +∞）上是减函数
（1，1）
奇偶性
y = x2
y = x3
定义域
值 域



单调性
公共点
3、幂函数的性质:
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1);
幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中α的不同而各异.
如果α<0,则幂函数
在(0,+∞)上为减函数。
3.如果α>0,则幂函数
在(0,+∞)上为增函数;
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数,
当α为偶数时,幂函数为偶函数.

例 利用单调性判断下列各值的大小。
（1）30.7 与 30.8
（2）0.20.3 与 0.30.3
（3）
解:(1)y= 3x在R上是增函数,
∵0.7<0.8　
∴ 30.7 < 30.8
(2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
∵0.2<0.3
∴ 0.20.3 <0.30.3
小结：比较幂的大小关键看底数与指数，底数相同用指数函数的性质，指数相同利用幂的性质，若都不同，考虑用中间值法。
练习4
2）
4）
＜
＜
＞
＞
幂函数
定义
五个特殊幂函数
图象
基本性质
本节知识结构:
四、反思小结
P79习题2.3 1、2、3；

五、作业布置
思考题: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象限内的图象，已知 k分别取 四个值，则相应图象依次为:________
一般地，幂函数的图象在直线x=1
的右侧，大指数在上，小指数在下，
在Y轴与直线x =1之间正好相反。
C4
C2
C3
C1
1

如果函数 是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。
解:依题意,得
解方程,得 m=2或m=-1
检验:当 m=2时,函数为
符合题意.当m=-1时,函数为
不合题意,舍去.所以m=2
思考题