必修1 第1章 第2课时 集合的表示

第2课时　集合的表示
学习目标　1.了解空集、有限集、无限集的概念.2.掌握用列举法表示有限集.3.理解描述法的格式及其适用情形.4.学会在不同的集合表示法中作出选择和转换．
知识点一　集合的分类
思考　集合{x∈R|x2<0}中有多少个元素？{x∈R|x2＝0}呢？{x∈R|x2>0}呢？
答案　0个；1个；无限多个．
梳理　按集合中的元素个数分类，不含有任何元素的集合叫作空集，记作?；含有有限个元素的集合叫有限集；含有无限个元素的集合叫无限集．
知识点二　列举法
思考　要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合．而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？
答案　把它们一一列举出来．
梳理　把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法叫作列举法．适用于元素较少的集合．
知识点三　描述法
思考　能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？
答案　不能．表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}．
梳理　描述法：用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法．符号表示为{|}，如{x∈A|p(x)}．
1.＝1.(　×　)
2.＝.(　×　)
3.＝.(　√　)
4.＝.(　√　)
类型一　用列举法表示集合
例1　用列举法表示下列集合．
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合．
考点　用列举法表示集合
题点　用列举法表示集合
解　(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，
那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，
那么B＝{0,1}．
反思与感悟　(1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开．
(2)列举法表示的集合的种类
①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；
②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1000}；
③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}．
跟踪训练1　用列举法表示下列集合．
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(2)由1～20的所有素数组成的集合．
考点　用列举法表示集合
题点　用列举法表示集合
解　(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．
(2)设由1～20的所有素数组成的集合为C，
那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
类型二　用描述法表示集合
例2　试用描述法表示下列集合．
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示集合
解　(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10引申探究　
用描述法表示函数y＝x2－2图像上所有的点组成的集合．
解　{(x，y)|y＝x2－2}．
反思与感悟　用描述法表示集合时应注意的四点
(1)写清楚该集合中元素的代号．
(2)说明该集合中元素的性质．
(3)所有描述的内容都可写在集合符号内．
(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略．
跟踪训练2　用描述法表示下列集合．
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示集合
解　(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
(2)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
类型三　集合表示的综合应用
命题角度1　选择适当的方法表示集合
例3　用适当的方法表示下列集合．
(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
考点　集合的表示综合
题点　用适当的方法表示集合
解　(1)列举法：{0,2,4}．或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}．
(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}．
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
反思与感悟　用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
跟踪训练3　若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________.
考点　集合的表示综合
题点　用适当的方法表示集合
答案　{2000,2001,2004}
解析　由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，
所以x2∈{0,1,4}，x2＋2000的值为2000,2001,2004，所以B＝{2000,2001,2004}．
命题角度2　新定义的集合
例4　对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是(　　)
A．18B．17D．16D．15
考点　集合的表示综合
题点　新定义题
答案　B
解析　因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.
反思与感悟　命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求．
跟踪训练4　定义集合运算：A※B＝{t|t＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A※B的所有元素之和为________．
考点　集合的表示综合
题点　新定义题
答案　6
解析　由题意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，
又0＋2＋4＝6，故集合A※B的所有元素之和为6.
1．下面四个判断，正确的个数是(　　)
①0∈?；
②{0}是空集；
③是空集；
④{x2＋y＋1＝0}是空集．
A．0B．1C．2D．4
考点　空集的定义、性质及运算
题点　空集的定义
答案　B
解析　只有③正确．
2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图像的交点组成的集合是(　　)
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2,1)} D．{(1，－2)}
考点　用列举法表示集合
题点　用列举法表示集合
答案　D
3．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　)
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
考点　集合的表示综合
题点　用另一种方法表示集合
答案　B
4．第一象限的点组成的集合可以表示为(　　)
A．{(x，y)|xy>0}
B．{(x，y)|xy≥0}
C．{(x，y)|x>0且y>0}
D．{(x，y)|x>0或y>0}
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示与平面直角坐标系有关的集合
答案　C
5．下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是(　　)
A．{x|x＝4k－1，k∈Z}
B．{x|x＝2k－1，k∈Z}
C．{x|x＝2k＋1，k∈Z}
D．{x|x＝2k＋3，k∈Z}
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示与奇数有关的整数集合
答案　A
1．在用列举法表示集合时应注意
(1)元素间用分隔号“，”．
(2)元素不重复．
(3)元素无顺序．
(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集．若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
2．在用描述法表示集合时应注意
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．
(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑.
一、选择题
1．下列集合中，是空集的是(　　)
A．{x|x2＋3＝3}
B．{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}
C．{x|－x2≥0}
D．{x|x2－x＋1＝0}
考点　空集的定义、性质及运算
题点　空集的定义
答案　D
解析　{x|x2＋3＝3}＝{0}≠?；
函数y＝－x2的图像上有无数多个点，
∴{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}为无限集；
{x|－x2≥0}＝{0}≠?；
方程x2－x＋1＝0，判别式Δ＝1－4<0，无解，
∴{x|x2－x＋1＝0}＝?.
2．集合A＝{x∈Z|－2A．1B．2C．3D．4
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示集合
答案　D
解析　因为A＝{x∈Z|－23．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　)
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示与直角坐标系有关的集合
答案　D
解析　集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.
4．已知x，y为非零实数，则集合M＝为(　　)
A．{0,3} B．{1,3}
C．{－1,3} D．{1，－3}
考点　集合的表示综合
题点　用适当的方法表示集合
答案　C
解析　当x>0，y>0时，m＝3，
当x<0，y<0时，m＝－1－1＋1＝－1.
若x，y异号，不妨设x>0，y<0，
则m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.
因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．
5．下列选项中，集合M，N相等的是(　　)
A．M＝{3,2}，N＝{2,3}
B．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
C．M＝{3,2}，N＝{(3,2)}
D．M＝{(x，y)|x＝3且y＝2}，N＝{(x，y)|x＝3或y＝2}
考点　集合的表示综合
题点　集合的表示综合问题
答案　A
解析　元素具有无序性，A正确；点的横坐标、纵坐标是有序的，B选项两集合中的元素不同；C选项中集合M中元素是两个数，N中元素是一个点，不相等；D选项中集合M中元素是一个点(3,2)，而N中元素是两条直线x＝3和y＝2上所有的点，不相等．
6．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是(　　)
A.
B.
C.
D.
考点　集合的表示综合
题点　用另一种方法表示集合
答案　D
解析　对于x＝4s－3，当s依次取1,2,3,4,5时，
恰好对应的x的值为1,5,9,13,17.
7．已知集合A＝，B＝，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是(　　)
A．x1·x2∈A B．x2·x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示与余数有关的整数集合
答案　D
解析　∵集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，
∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3为偶数，故D错误．
二、填空题
8．集合{x∈N|x2＋x－2＝0}用列举法可表示为________．
考点　用列举法表示集合
题点　用列举法表示集合
答案　{1}
解析　由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.
又x∈N，∴x＝1.
9．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
考点　集合的表示综合
题点　集合的表示综合问题
答案　3
解析　根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．
10．设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，若a∈M，b∈P，c∈Q，则a＋b－c∈________.
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示集合的综合问题
答案　M
解析　设a＝3k1，k1∈Z，
b＝3k2＋1，k2∈Z，
c＝3k3－1，k3∈Z，
则a＋b－c＝3k1＋3k2＋1＋3k3－1＝3(k1＋k2＋k3)，
且k1＋k2＋k3∈Z，
∴a＋b－c∈M.
三、解答题
11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．
考点　集合的表示综合
题点　用适当的方法表示集合
解　集合A，B，C互不相等．理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．
集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．
12．用适当的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；
(2)24的所有正因数组成的集合；
(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合．
考点　集合的表示综合
题点　用适当的方法表示集合
解　(1)用描述法表示为{x|2(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．
(3)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}．
13．设A表示集合{2,3，a2＋2a－3)，B表示集合{|a＋3|,2}，若5∈A，且5?B，求实数a的值．
考点　集合的表示综合
题点　集合的表示综合问题
解　∵5∈A，且5?B，∴
即　解得a＝－4.
四、探究与拓展
14．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝，k＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论：
①2016∈[1]；
②－3∈[3]；
③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]；
④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”．
其中，正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
考点　用描述法表示集合
题点　用描述法表示与余数有关的整数集合
答案　C
解析　由于[k]＝，对于①，2016除以5等于403余1，∴2016∈[1]，∴①正确；
对于②，－3＝－5＋2，被5除余2，∴②错误；
对于③，∵a，b是同一“类”，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，则a－b＝5(n1－n2)能被5整除，∴a－b∈[0]，
∴③正确；
对于④，若a－b∈[0]，则可设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m∈Z，k＝0,1,2,3,4，
则a＝5n＋5m＋k＝5(m＋n)＋k，m∈Z，n∈Z，
∴a，b属于同一“类”，∴④正确，
则正确的有①③④，共3个．
15．集合M的元素为自然数且满足：如果x∈M，则8－x∈M.试回答下列问题：
(1)写出只有一个元素的集合M；
(2)写出元素个数为2的所有集合M；
(3)满足题设条件的集合M共多少个？
考点　集合的表示综合
题点　集合的表示综合问题
解　(1)若集合M只有一个元素，则由题意可知x＝8－x，解得x＝4，即M＝{4}．
(2)当x＝0时，8－x＝8，此时M＝{0,8}；当x＝1时，8－x＝7，此时M＝{1,7}；当x＝2时，8－x＝6，此时M＝{2,6}；当x＝3时，8－x＝5，此时M＝{3,5}，因此元素个数为2的所有集合M为{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}．
(3)综合(1)(2)可知，元素个数为1的集合M有1个；元素个数为2的集合M有4个；元素个数为3的集合M有4个；元素个数为4的集合M有6个；元素个数为5的集合M有6个；元素个数为6的集合M有4个；元素个数为7的集合M有4个；元素个数为8的集合M有1个；元素个数为9的集合M有1个．故满足条件的集合M共有31个．