必修1第1章 集合的基本关系

§2　集合的基本关系
学习目标　1.理解子集、集合相等、真子集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.
3.掌握列举有限集的所有子集的方法．
知识点一　子集
思考　如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？
答案　所有的白马都是马，马不一定是白马．
梳理　一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，称集合A为集合B的子集，记作A?B(或B?A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．
子集的有关性质：
(1)?是任何集合A的子集，即??A.
(2)任何一个集合是它本身的子集，即A?A.
(3)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.
(4)若A?B，B?A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.
知识点二　真子集
思考　在知识点一里，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？
答案　用真子集．
梳理　如果集合A?B，但A≠B，称集合A是集合B的真子集，记作：A(B(或B(A)，读作：A真包含于B(或B真包含A)．
知识点三　Venn图
思考　图中集合A，B，C的关系用符号可表示为__________．
答案　A?B?C
梳理　一般地，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．Venn图可以直观地表达集合间的关系．
1．若用“≤”类比“?”，则“(”相当于“<”．(　√　)
2．空集可以用表示．(　×　)
3．若a∈A，则?A.(　√　)
4．若a∈A，则(A.(　×　)
类型一　求集合的子集
例1　(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．
考点　子集及其运算
题点　求集合的子集
解　(1)?，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如?，有1个子集，0个真子集．
反思与感悟　为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．
跟踪训练1　适合条件{1}?A({1,2,3,4,5}的集合A的个数是(　　)
A．15B．16C．31D．32
考点　与两个已知集合有包含关系的集合个数
题点　与两个已知集合有包含关系的集合个数
答案　A
解析　这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．
类型二　判断集合间的关系
命题角度1　概念间的包含关系
例2　设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为(　　)
A．P?N?M?Q
B．Q?M?N?P
C．P?M?N?Q
D．Q?N?M?P
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
解析　正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.
反思与感悟　一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先要准确理解概念的定义．
跟踪训练2　我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N，Z，Q，R表示，用符号表示N，Z，Q，R的关系为______________．
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　N(Z(Q(R
命题角度2　数集间的包含关系
例3　设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为(　　)
A．A∈B B．B∈A
C．A?B D．B?A
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　C
解析　∵0<2，∴0∈B.
又∵1<2，∴1∈B.∴A?B.
反思与感悟　判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
跟踪训练3　已知集合A＝{x|－1A．A∈B B．A(B
C．B(A D．B?A
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
解析　由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2?A，故有A(B.
类型三　由集合间的关系求参数(或参数范围)
例4　已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A?B，求实数a的值．
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的值
解　A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．
(1)当a＝0时，B＝??A，符合题意．
(2)当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝，
∵≠0，要使A?B，只有＝1，即a＝1.
综上，a＝0或a＝1.
反思与感悟　集合A的子集可分三类：?，A本身，A的非空真子集，解题中易忽略?.
跟踪训练4　已知集合A＝{x|1考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的取值范围
解　(1)当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝??A，符合题意．
(2)当a<1时，要使A?B，需满足这样的实数a不存在．
综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}.
1．下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若?(A，则A≠?.
其中正确的个数是(　　)
A．0B．1C．2D．3
考点　空集的定义、性质及运算
题点　空集的定义
答案　B
解析　只有④正确．
2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为(　　)
A．P(T B．P∈T
C．P＝T D．P?T
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　A
3．若A＝{1}，则下列关系错误的是(　　)
A．??? B．A?A
C．??A D．?∈A
考点　空集的定义、性质及运算
题点　空集的性质
答案　D
4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是(　　)
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
5．已知集合A＝，B＝，则集合A，B之间的关系为________．
考点　集合的关系
题点　集合关系的判定
答案　A＝B
解析　A＝
＝，
B＝
＝，故A＝B.
1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法．
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A(B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．
3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为?的情形；
②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.
一、选择题
1．在下列关系中错误的个数是(　　)
①1∈{0,1,2}；
②{1}∈{0,1,2}；
③{0,1,2}?{0,1,2}；
④{0,1,2}＝{2,0,1}；
⑤{0,1}?{(0,1)}．
A．1B．2C．3D．4
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
解析　①正确；因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，而不能用符号∈来表示，所以②错误；③正确，因为任何集合都是它本身的子集；④正确，因为集合元素具有无序性；因为集合{0,1}表示数集，它有两个元素，而集合{(0,1)}表示点集，它只有一个元素，所以⑤错误，所以错误的个数是2.故选B.
2．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么(　　)
A．P(M B．M(P
C．M＝P D．M?P
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　C
解析　由得故M＝P.
3．已知集合U，S，T，F的关系如图所示，则下列关系正确的是(　　)
①S∈U；②F?T；③S?T；④S?F；⑤S∈F；⑥F?U.
A．①③ B．②③
C．③④ D．③⑥
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　D
解析　元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．
4．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则(　　)
A．A?B B．C?B
C．D?C D．A?D
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
解析　∵等腰三角形包括等腰直角三角形，∴C?B.
5．若M?P，M?Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M的个数是(　　)
A．1B．2C．4D．8
考点　子集个数
题点　求集合的子集个数
答案　C
解析　P，Q中的公共元素组成集合C＝{0,2}，M?C，这样的集合M共有22＝4个．
6．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠?，B?A，则(a，b)不能是(　　)
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(0，－1) D．(1,1)
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的值
答案　B
解析　当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；
当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合；
当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，符合；
当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合．
7．已知集合A?，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为(　　)
A．6B．5C．4D．3
考点　子集及其运算
题点　求集合的子集
答案　A
解析　方法一　集合的子集为?，，，，，，，，其中含有偶数的集合有6个．
方法二　共有23＝8(个)子集，其中不含偶数的有?，.
故符合题意的A共有8－2＝6(个)．
二、填空题
8．已知{0,1}(A?{－1,0,1}，则集合A的个数为________．
考点　与两个已知集合有包含关系的集合个数
题点　与两个已知集合有包含关系的集合个数
答案　1
解析　由题意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三个元素，又因为A?{－1,0,1}，所以A＝{－1,0,1}，满足题意的集合A有1个．
9．已知集合A＝，B＝，则集合A，B满足的关系是________．(用?，(，＝连接A，B)
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　A(B
解析　若x0∈A，即x0＝＋＝＋－
＝＋，k0∈Z.
∵2k0－1∈Z，∴x0∈B，即A?B，
又∈B，但?A，即A≠B，
∴A(B.
10．已知集合{b}＝{x|x∈R|ax2－4x＋1＝0}(a，b∈R)，则a＋b＝________.
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的值
答案　或
解析　由题意知方程ax2－4x＋1＝0有唯一解，当a＝0时，x＝，此时b＝，则a＋b＝；当a≠0时，由Δ＝(－4)2－4a＝0，得a＝4，方程ax2－4x＋1＝0的解为x＝，此时b＝，则a＋b＝.
三、解答题
11．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0考点　与两个已知集合有包含关系的集合个数
题点　与两个已知集合有包含关系的集合个数
解　先用列举法表示集合A，B.
由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
综上，满足题意的集合C共有4个．
12．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，其中x∈R，如果B?A，求实数a的取值范围．
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的取值范围
解　由于A＝{0，－4}，又B?A，则
①当B＝A时，即0，－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，代入方程解得a＝1.
②当B≠A时，
(ⅰ)当B＝?时，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
解得a<－1；
(ⅱ)当B＝{0}或B＝{－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0应有两相等实数根0或－4，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}，满足条件．
综上，可知a＝1或a≤－1.
13．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．
考点　子集及其运算
题点　求集合的子集
解　因为B是A的子集，
所以B中元素必是A中的元素，
若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．
若x＋2＝－x3，则x3＋x＋2＝0，
所以(x＋1)(x2－x＋2)＝0.
因为x2－x＋2≠0，所以x＋1＝0，所以x＝－1，
此时x＋2＝1，集合B中的元素不满足互异性．
综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，
此时A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}．
四、探究与拓展
14．给定集合U，若非空集合A，B满足A?U，B?U，且集合A中的最大元素小于B中的最小元素，则称(A，B)为U的一个有序子集对，若U＝{1,2,3,4}，则U的有序子集对的个数为(　　)
A．16B．17C．18D．19
考点　子集及其运算
题点　求集合的子集
答案　B
解析　当A＝{1}时，集合B为集合{2,3,4}的非空子集，有7个；
当A＝{2}时，集合B为集合{3,4}的非空子集，有3个；
当A＝{3}时，集合B＝{4}，有1个；
当A＝{1,2}时，集合B为集合{3,4}的非空子集，有3个；
当A＝{1,3}时，集合B＝{4}，有1个；
当A＝{2,3}时，集合B＝{4}，有1个；
当A＝{1,2,3}时，集合B＝{4}，有1个．
所以符合条件的有序子集对有17个．
15．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A?B，求实数m的取值集合．
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的取值范围
解　∵A?B，
∴当A＝?时，即方程x2－4mx＋2m＋6＝0无实根，
故Δ＝16m2－8(m＋3)<0，解得－1当A≠?时，方程x2－4mx＋2m＋6＝0的根为负，
则?
??－3综上，实数m的取值集合是.