必修1 第1章 3.1 交集与并集

§3　集合的基本运算
3．1　交集与并集
学习目标　1.理解并集、交集的概念.2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.3.会求简单集合的并集和交集．
知识点一　并集
(1)定义：一般地，由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．
(2)并集的符号语言表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
(3)图形语言：、，阴影部分为A∪B.
(4)性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝A?B?A，A?(A∪B)．
知识点二　交集
思考　一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？
答案　1张．红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张．
梳理　(1)定义：一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．
(2)交集的符号语言表示为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
(3)图形语言：，阴影部分为A∩B.
(4)性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝A?A?B，A∩B?A∪B，A∩B?A，A∩B?B.
1．若x∈A∩B，则x∈A∪B.(　√　)
2．A∩B是一个集合．(　√　)
3．如果把A，B用Venn图表示为两个圆，则两圆必须相交，交集才存在．(　×　)
4．若A，B中分别有2个元素，则A∪B中必有4个元素．(　×　)

类型一　求并集
命题角度1　数集求并集
例1　(1)已知集合A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则集合A∪B是(　　)
A．{1,3,4,5,6} B．{3}
C．{3,4,5,6} D．{1,2,3,4,5,6}
考点　并集的概念及运算
题点　有限集合的并集运算
答案　A
解析　A∪B是将两集合的所有元素合并到一起构成的集合(相同元素算一个)，因此A∪B＝{1,3,4,5,6}，故选A.
(2)A＝{x|－1考点　并集的概念及运算
题点　无限集合的并集运算
解　如图：
由图知A∪B＝{x|－1反思与感悟　有限集求并集就是把两个集合中的元素合并，重复的保留一个；用不等式表示的，常借助数轴求并集．由于A∪B中的元素至少属于A，B之一，所以从数轴上看，至少被一道横线覆盖的数均属于并集．
跟踪训练1　(1)A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，求A∪B.
考点　并集的概念及运算
题点　有限集合的并集运算
解　B＝{－1,2}，∴A∪B＝{－2，－1,0,2}．
(2)A＝{x|－13}，求A∪B.
考点　并集的概念及运算
题点　无限集合的并集运算
解　如图：
由图知A∪B＝{x|x<2或x>3}．
命题角度2　点集求并集
例2　集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∪B，并说明其几何意义．
考点　并集的概念及运算
题点　无限集合的并集运算
解　A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}．
其几何意义为平面直角坐标系内去掉第三象限和x轴，y轴的非正半轴后剩下的区域内所有点．
反思与感悟　求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数．
跟踪训练2　A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}．求A∪B，并说明其几何意义．
考点　并集的概念及运算
题点　无限集合的并集运算
解　A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合．
类型二　求交集
例3　(1)若集合A＝{x|－5A．{x|－3C．{x|－3考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
答案　A
解析　在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B＝{x|－3(2)若集合M＝{x|－2≤x<2}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于(　　)
A．{0} B．{1}
C．{0,1,2} D．{0,1}
考点　交集的概念及运算
题点　有限集合与无限集合的交集运算
答案　D
解析　M＝{x|－2≤x<2}，N＝{0,1,2}，
则M∩N＝{0,1}，故选D.
(3)集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∩B并说明其几何意义．
考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
解　A∩B＝{(x，y)|x>0且y>0}，其几何意义为第一象限所有点的集合．
反思与感悟　两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．数轴是集合运算的好帮手，但要画得规范．
跟踪训练3　(1)集合A＝{x|－13}，求A∩B；
(2)集合A＝{x|2k(3)集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，求A∩B.
考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
解　(1)A∩B＝{x|－1(2)A∩B＝{x|2(3)A∩B＝?.
类型三　并集、交集性质的应用
例4　已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
考点　集合的交集、并集性质及应用
题点　利用集合的交集、并集性质求参数的取值范围
解　A∪B＝B?A?B.
当2a>a＋3，即a>3时，A＝?，满足A?B.
当2a＝a＋3，即a＝3时，A＝{6}，满足A?B.
当2a需或
解得a<－4或综上，a的取值范围是
{a|a>3}∪{a|a＝3}∪
＝.
反思与感悟　解此类题，首先要准确翻译，诸如“A∪B＝B”之类的条件．在翻译成子集关系后，不要忘了空集是任何集合的子集．
跟踪训练4　设集合A＝{x|2x2＋3px＋2＝0}，B＝{x|2x2＋x＋q＝0}，其中p，q为常数，x∈R，当A∩B＝时，求p，q的值和A∪B.
考点　集合的交集、并集性质及应用
题点　求集合的并集
解　∵A∩B＝，∴∈A，
∴2×2＋3p×＋2＝0，
∴p＝－，∴A＝.
又∵A∩B＝，∴∈B，
∴2×2＋＋q＝0，∴q＝－1.
∴B＝.
∴A∪B＝.
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于(　　)
A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2} D．{0,1}
考点　并集的概念及运算
题点　有限集合的并集运算
答案　B
2．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于(　　)
A．{0} B．{0,1}
C．{0,2} D．{0,1,2}
考点　交集的概念及运算
题点　有限集合的交集运算
答案　C
3．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|0A．{x|x>0} B．{x|x>1}
C．{x|1考点　并集的概念及运算
题点　无限集合的并集运算
答案　A
4．已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合A∩B等于(　　)
A．? B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
答案　A
5．已知集合A＝{1,3,}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于(　　)
A．0或 B．0或3
C．1或 D．1或3
考点　集合的交集、并集性质及应用
题点　利用集合的交集、并集性质求参数的值
答案　B
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.
一、选择题
1．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是(　　)
A．N?M B．M∪N＝M
C．M∩N＝N D．M∩N＝{2}
考点　集合的交集、并集性质及应用
题点　交集、并集的性质
答案　D
解析　∵－2∈N，但－2?M，
∴A，B，C三个选项均不对．
2．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C等于(　　)
A．{1,2,3} B．{1,2,4}
C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}
考点　并集、交集的综合运算
题点　并集、交集的综合运算
答案　D
解析　A∩B＝{1,2}，
(A∩B)∪C＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．
3．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}和集合B＝{y|y＝x2}，则A∩B等于(　　)
A．{y|0C．{y|y>0} D．{(0,1)，(1,0)}
考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
答案　B
解析　∵B＝{y|y＝x2}，
∴B＝{y|y≥0}，A∩B＝{y|0≤y≤1}．
4．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么M∩N为(　　)
A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)
C．{3，－1} D．{(3，－1)}
考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
答案　D
解析　由解得
∴M∩N＝{(3，－1)}．
5．设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B等于(　　)
A．{x|1≤x<3}
B．{x|1≤x≤3}
C．{x|0≤x<1或x>3}
D．{x|0≤x≤1或x≥3}
考点　并集、交集的综合运算
题点　并集、交集的综合运算
答案　C
解析　由题意知，A∪B＝{x|x≥0}，
A∩B＝{x|1≤x≤3}，
则A*B＝{x|0≤x<1或x>3}．
6．若集合A＝{x|x≥0}，且A∩B＝B，则集合B可能是(　　)
A．{1,2} B．{x|x≤1}
C．{－1,0,1} D．R
考点　交集的概念及运算
题点　有限集合与无限集合的交集运算
答案　A
解析　∵A∩B＝B，∴B?A，
四个选项中，符合B?A的只有选项A.
7．已知集合A＝，A∪B＝，则满足条件的集合B的个数为(　　)
A．1B．2C．3D．4
考点　集合的交集、并集性质及应用
题点　利用交集、并集性质求集合的个数
答案　D
解析　因为集合A＝，A∪B＝，
所以B中至少含有3,4两个元素，
所以满足条件的集合B为，，，，共4个．
二、填空题
8．已知集合P＝{x||x|>x}，Q＝{x|y＝}，则P∩Q＝________.
考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
答案　{x|x<0}
解析　|x|>x?x<0，
∴P＝{x|x<0},1－x≥0?x≤1，
∴Q＝{x|x≤1}，故P∩Q＝{x|x<0}．
9．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
考点　并集的概念及运算
题点　由并集运算结果求参数问题
答案　{a|a≤1}
解析　A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，要使A∪B＝R，只需a≤1.如图．
10．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.
考点　交集的概念及运算
题点　有限集合的交集运算
答案　{(0,1)，(－1,2)}
解析　A，B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．
三、解答题
11．已知集合A＝，集合B＝{m|3>2m－1}，求A∩B，A∪B.
考点　并集、交集的综合运算
题点　并集、交集的综合运算
解　解不等式组得－2则A＝{x|－2解不等式3>2m－1得m<2，
则B＝{m|m<2}．
用数轴表示集合A和B，如图所示，
则A∩B＝{x|－212．已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)若A∩B＝{x|1≤x≤3}，求实数m的值；
(2)若A∩B＝?，求实数m的取值范围．
考点　交集的概念及运算
题点　由交集运算结果求参数的值
解　A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)∵A∩B＝{x|1≤x≤3}，∴解得m＝3.
(2)A∩B＝?，A?{x|x∴m－2＞3或m＋2<－1.
∴实数m的取值范围是{m|m＞5或m<－3}．
13．已知集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|x2－ax－b＝0}．
(1)若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，求a，b的值；
(2)若?(B(A，求实数a，b的值．
考点　
题点　
解　(1)因为A＝{3,5}，A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，
所以3∈B,2∈B，故2,3是一元二次方程x2－ax－b＝0的两个实数根，
所以a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，b＝－6.
(2)由?(B(A，且A＝{3,5}，得B＝{3}或B＝{5}．
当B＝{3}时，解得a＝6，b＝－9；
当B＝{5}时，解得a＝10，b＝－25.
综上，或
四、探究与拓展
14．已知集合A＝，B＝{x|x2－2x－m<0}，若A∩B＝{x|－1考点　
题点　
答案　8
解析　由≥1，得≤0，
∴－1又∵B＝{x|x2－2x－m<0}，
A∩B＝{x|－1∴4是方程x2－2x－m＝0的根，
即42－2×4－m＝0，解得m＝8.
此时B＝{x|－2故实数m的值为8.
15．某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，他们之中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这三个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，问需要预购多少张车票？
考点　Venn图表达的集合关系及运用
题点　Venn图的应用
解　由题意可画Venn图如下：
由图可以看出，参加三个小组的学生共有1＋2＋2＋3＋4＋5＋10＝27(人)，所以需要购买27张车票．