必修1第1章 3.2 全集与补集

3．2　全集与补集
学习目标　1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．
知识点一　全集
(1)定义：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．
(2)记法：全集通常记作U.
知识点二　补集
思考　实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？
答案　剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}．
梳理　补集的概念
文字语言
设U是全集，A是U的一个子集(即A?U)，则由U中所有不属于集合A的元素组成的集合称为U中子集A的补集(或余集)，记作?UA
符号语言
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
图形语言
性质
A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?，?U(?UA)＝A
1．根据研究问题的不同，可以指定不同的全集．(　√　)
2．存在x0∈U，x0?A，且x0??UA.(　×　)
3．设全集U＝R，A＝，则?UA＝.(　×　)
4．设全集U＝，A＝{(x，y)|x>0且y>0}，则?UA＝{(x，y(|x≤0且y≤0)}.(　×　)

类型一　求补集
例1　(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则?UA等于(　　)
A．{x|0C．{x|0考点　补集的概念及运算
题点　无限集合的补集
答案　C
解析　∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，
∴?UA＝{x|0(2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求?UA，?UB.
考点　补集的概念及运算
题点　有限集合的补集
解　根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
所以?UA＝{4,5,6,7,8}，?UB＝{1,2,7,8}．
(3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，?U(A∪B)．
考点　补集的概念及运算
题点　无限集合的补集
解　根据三角形的分类可知A∩B＝?，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
?U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．
反思与感悟　求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解．
跟踪训练1　(1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?UA＝________.
考点　补集的概念及运算
题点　有限集合的补集
答案　{3,4,5}
(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则?UA＝________.
考点　补集的概念及运算
题点　无限集合的补集
答案　{x|－1(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，则?UA＝________.
考点　补集的概念及运算
题点　无限集合的补集
答案　{(x，y)|xy≤0}
类型二　补集性质的应用
命题角度1　补集性质在集合运算中的应用
例2　已知A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，?UB＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.
考点　补集的概念及运算
题点　有限集合的补集
解　∵A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，
∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．
而?UB＝{－1,0,2}，
∴B＝?U(?UB)＝{－3,1,3,4,6}．
反思与感悟　从Venn图的角度讲，A与?UA就是圈内和圈外的问题，由于(?UA)∩A＝?，(?UA)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推．
跟踪训练2　如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.
考点　补集的概念及运算
题点　无限集合的补集
答案　{x|0≤x≤1或x＞2}
解析　A∩B＝{x|1由图可得A*B＝?(A∪B)(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．
命题角度2　补集性质在解题中的应用
例3　关于x的方程：x2＋ax＋1＝0，①
x2＋2x－a＝0，②
x2＋2ax＋2＝0，③
若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围．
考点　交并补集的综合问题
题点　与交并补集运算有关的参数问题
解　假设三个方程均无实根，则有
即
解得－∴当a≤－或a≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，即a的取值范围为{a|a≤－或a≥－1}．
反思与感悟　运用补集思想求参数取值范围的步骤
(1)把已知的条件否定，考虑反面问题．
(2)求解反面问题对应的参数的取值范围．
(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集．
跟踪训练3　若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
考点　交并补集的综合问题
题点　与交并补集运算有关的参数问题
解　假设集合A中含有2个元素，
即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，
则解得a<且a≠0，
则集合A中含有2个元素时，
实数a的取值范围是.
在全集U＝R中，集合的补集是，
所以满足题意的实数a的取值范围是.
类型三　集合的综合运算
例4　(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,3,5}，Q＝{1,2,4}，则(?UP)∪Q等于(　　)
A．{1} B．{3,5}
C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,5}
考点　交并补集的综合问题
题点　有限集合的交并补运算
答案　C
解析　∵?UP＝{2,4,6}，∴(?UP)∪Q＝{1,2,4,6}．
(2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(?RB)＝R，则实数a的取值范围是________．
考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
答案　{a|a≥2}
解析　∵?RB＝{x|x<1或x>2}且A∪(?RB)＝R，
∴{x|1≤x≤2}?A，∴a≥2.
即实数a的取值范围是{a|a≥2}．
反思与感悟　解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分．有限集混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴．
跟踪训练4　(1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(?UA)∩(?UB)＝{1,3,7}，A∩
(?UB)＝{4,9}，则B等于(　　)
A．{1,2,3,6,7} B．{2,5,6,8}
C．{2,4,6,9} D．{2,4,5,6,8,9}
考点　交并补集的综合问题
题点　有限集合的交并补运算
答案　B
解析　根据题意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn图(如图所示)，可得B＝{2,5,6,8}，故选B.
(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2(?UB)．
考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
解　如图所示．
∵A＝{x|－2∴?UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
?UB＝{x|x<－3或2A∩B＝{x|－2∴(?UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩(?UB)＝{x|2
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则?UM等于(　　)
A．U B．{1,3,5}
C．{3,5,6} D．{2,4,6}
考点　补集的概念及运算
题点　有限集合的补集
答案　C
2．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)等于(　　)
A．{1,3,4} B．{3,4}
C．{3} D．{4}
考点　交并补集的综合问题
题点　有限集合的交并补运算
答案　D
3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(?RS)∪T等于(　　)
A．{x|－2C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
答案　C
4．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是(　　)
A．Z∪(?UN) B．N∩(?UN)
C．?U(?U?) D．?UQ
考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
答案　A
5．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(?UN)＝{2,4}，则N等于(　　)
A．{1,2,3} B．{1,3,5}
C．{1,4,5} D．{2,3,4}
考点　交并补集的综合问题
题点　有限集合的交并补运算
答案　B

1．全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．
(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(3)?UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A?U；其次是定义?UA＝{x|x∈U，且x?A}，补集是集合间的运算关系．
2．补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A，求A.
一、选择题
1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(?UA)∪B为(　　)
A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
考点　交并补集的综合问题
题点　有限集合的交并补运算
答案　C
解析　?UA＝{0,4}，所以(?UA)∪B＝{0,2,4}，故选C.
2．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(?RA)∩B等于(　　)
A．{－2，－1} B．{－2}
C．{－1,0,1} D．{0,1}
考点　并交补集的综合问题
题点　有限集合的并交补运算
答案　A
解析　因为集合A＝{x|x＞－1}，
所以?RA＝{x|x≤－1}，
则(?RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}
＝{－2，－1}．
3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，则实数a等于(　　)
A．0或2 B．0
C．1或2 D．2
考点　补集的概念及运算
题点　由补集运算结果求参数的值
答案　D
解析　由题意，知则a＝2.
4．图中的阴影部分表示的集合是(　　)
A．A∩(?UB) B．B∩(?UA)
C．?U(A∩B) D．?U(A∪B)
考点　交并补集的综合问题
题点　用并交补运算表示Venn图指定区域
答案　B
解析　阴影部分表示集合B与集合A的补集的交集．
因此阴影部分所表示的集合为B∩(?UA)．
5．已知U为全集，集合M，N?U，若M∩N＝N，则(　　)
A．?UN??UM B．M??UN
C．?UM??UN D．?UN?M
考点　交并补集的综合问题
题点　与集合运算有关的子集或真子集
答案　C
解析　由M∩N＝N知N?M，∴?UM??UN.
6．设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则?UA等于(　　)
A．?B．{2}C．{5}D．{2,5}
考点　补集的概念及运算
题点　无限集合的补集
答案　B
解析　因为A＝{x∈N|x≤－或x≥}，
所以?UA＝{x∈N|2≤x<}，故?UA＝{2}．
7．设U＝{1,2,3,4}，M＝{x|x∈U|x2－5x＋p＝0}，若?UM＝{2,3}，则实数p的值为(　　)
A．－4B．4C．－6D．6
考点　补集的概念及运算
题点　与补集运算有关的参数问题
答案　B
解析　∵?UM＝{2,3}，∴M＝{1,4}，∴1,4是方程x2－5x＋p＝0的两根．由根与系数的关系可知p＝1×4＝4.
二、填空题
8．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)＝______，(?UA)∩(?UB)＝________.
考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
答案　{x|0解析　A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，?U(A∪B)＝{x|00}，?UB＝{x|x<1}，
∴(?UA)∩(?UB)＝{x|09．若全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x>0，y>0}，则点(－1,1)________?UA.(填“∈”或“?”)
考点　补集的概念及运算
题点　无限集合的补集
答案　∈
解析　显然(－1,1)∈U，且(－1,1)?A，
∴(－1,1)∈?UA.
10．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，则图中阴影部分所表示的集合为________．
考点　Venn图表达的集合关系及运用
题点　Venn图表达的集合关系
答案　{x|x≤1或x>2}
解析　如图，设U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|1∴阴影部分为?U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}．
11．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则(?UA)∩B＝________.
考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
答案　{(2,3)}
解析　∵A＝＝{(x，y)|y＝x＋1，x≠2}，∴?UA＝{(x，y)|y≠x＋1}∪{(2,3)}．
又B＝{(x，y)|y＝x＋1}，∴(?UA)∩B＝{(2,3)}．
三、解答题
12．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(?UA)＝R，B∩(?UA)＝{x|0考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
解　∵A＝{x|1≤x≤2}，
∴?UA＝{x|x<1或x>2}．
又B∪(?UA)＝R，A∪(?UA)＝R，
可得A?B.
而B∩(?UA)＝{x|0∴{x|0借助于数轴
可得B＝A∪{x|013．已知A＝{x|－1(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)若B??RA，求实数m的取值范围．
考点　交并补集的综合问题
题点　与交并补集运算有关的参数问题
解　(1)当m＝1时，B＝{x|1≤x<4}，
又A＝{x|－1(2)?RA＝{x|x≤－1或x＞3}．
当B＝?时，即m≥1＋3m，
得m≤－，满足B??RA，
当B≠?时，使B??RA成立，
则或解得m＞3.
综上可知，实数m的取值范围是
.
四、探究与拓展
14.如图，已知I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)
A．(?IA∩B)∩C
B．(?IB∪A)∩C
C．(A∩B)∩(?IC)
D．(A∩?IB)∩C
考点　Venn图表达的集合关系及运用
题点　Venn图表达的集合关系
答案　D
解析　由题图可知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C，则阴影部分表示的集合是(A∩?IB)∩C.
15．设全集U＝{x|x≤5，且x∈N＋}，其子集A＝{x|x2－5x＋q＝0}，B＝{x|x2＋px＋12＝0}，且(?UA)∪B＝{1,3,4,5}，求实数p，q的值．
考点　
题点　
解　由已知得U＝{1,2,3,4,5}．
(1)若A＝?，则(?UA)∪B＝U，不合题意；
(2)若A＝{x0}，则x0∈U，且2x0＝5，不合题意；
(3)设A＝{x1，x2}，则x1，x2∈U，且x1＋x2＝5，
∴A＝{1,4}或{2,3}．
若A＝{1,4}，则?UA＝{2,3,5}，
与(?UA)∪B＝{1,3,4,5}矛盾，舍去；
若A＝{2,3}，则?UA＝{1,4,5}，
由(?UA)∪B＝{1,3,4,5}知3∈B，同时可知B中还有一个不等于3的元素x，由3x＝12得x＝4，即B＝{3,4}．
综上可知，A＝{2,3}，B＝{3,4}，
∴q＝2×3＝6，p＝－(3＋4)＝－7.