人教A版高中数学必修五2.1数列的概念与简单表示（2）教案
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学必修五2.1数列的概念与简单表示（2）教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 107.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-19 09:22:09 | ||
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文档简介
2.1 数列的概念与简单表示（2）
一、教学目标：
知识与技能：
了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与的关系
过程与方法：
经历数列知识的理解运用过程，培养学生的观察能力和抽象概括能力．
情感、态度与价值观：
通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点； 体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
二．重点难点?
重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项
难点：理解递推公式与通项公式的关系
三、教材与学情分析
通过实例让学生理解和掌握根据递推公式求出数列中的项，并能运用叠加法、叠乘法、待定系数法求数列的通项公式。 引导学生分组合作并讨论完成叠乘法及待定系数法的基本题型。通过互助合作、自主探究培养学生细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，以及积极交流的主体意识。
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）温故知新
数列及有关定义
（二）探究新知
数列的表示方法
1、通项公式法；如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如数列 的通项公式为 ；
? 的通项公式为 ；
的通项公式为 ；
2、图象法；启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
3、递推公式法；知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：14＝1+3 第2层钢管数为5；即：25＝2+3
第3层钢管数为6；即：36＝3+3 第4层钢管数为7；即：47＝4+3
第5层钢管数为8；即：58＝5+3 第6层钢管数为9；即：69＝6+3
第7层钢管数为10；即：710＝7+3
若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即；；，依此类推：（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
定义：递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为
4、列表法:．简记为 ．
（三）典例解析
类型1
解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1. 已知数列满足，，求
变式: 已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….
（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式.
类型2
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例1:已知数列满足，，求。
例2:已知， ，求。
变式:已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，
则{an}的通项
类型3 （其中p，q均为常数，）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，
再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列中，，，求.
变式:在数列中，若，则该数列的通项________
变式:已知数列满足求数列的通项公式；
类型4 （其中p，q均为常数，）。
（或,其中p，q, r均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列
（其中），得：再待定系数法解决。
例:已知数列中，,，求。
变式:设数列的前项的和，，求首项与通项。
类型5递推公式为与的关系式。(或)
解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。
例：已知数列前n项和.
（1）求与的关系；（2）求通项公式.
（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：
由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以
变式: 1、已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，
求数列{an}的通项an
2、已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3
求数列{an}的通项公式.
类型6
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。
例:设数列：，求.
变式:已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3…
(Ⅰ)令 (Ⅱ)求数列
类型7
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。
例1：已知数列｛｝中，，求数列
2、已知数列
求数列的通项公式an.
类型8 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。
例：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。
变式: 1.已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝，求数列｛an｝的通项公式；
2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。
3、已知数列{}满足时，，求通项公式。
4、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。
5、若数列｛a｝中，a=1，a= n∈N，求通项a．
六、课堂小结
1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思
一、教学目标：
知识与技能：
了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与的关系
过程与方法：
经历数列知识的理解运用过程，培养学生的观察能力和抽象概括能力．
情感、态度与价值观：
通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点； 体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
二．重点难点?
重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项
难点：理解递推公式与通项公式的关系
三、教材与学情分析
通过实例让学生理解和掌握根据递推公式求出数列中的项，并能运用叠加法、叠乘法、待定系数法求数列的通项公式。 引导学生分组合作并讨论完成叠乘法及待定系数法的基本题型。通过互助合作、自主探究培养学生细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，以及积极交流的主体意识。
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）温故知新
数列及有关定义
（二）探究新知
数列的表示方法
1、通项公式法；如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如数列 的通项公式为 ；
? 的通项公式为 ；
的通项公式为 ；
2、图象法；启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
3、递推公式法；知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：14＝1+3 第2层钢管数为5；即：25＝2+3
第3层钢管数为6；即：36＝3+3 第4层钢管数为7；即：47＝4+3
第5层钢管数为8；即：58＝5+3 第6层钢管数为9；即：69＝6+3
第7层钢管数为10；即：710＝7+3
若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即；；，依此类推：（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
定义：递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为
4、列表法:．简记为 ．
（三）典例解析
类型1
解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1. 已知数列满足，，求
变式: 已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….
（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式.
类型2
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例1:已知数列满足，，求。
例2:已知， ，求。
变式:已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，
则{an}的通项
类型3 （其中p，q均为常数，）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，
再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列中，，，求.
变式:在数列中，若，则该数列的通项________
变式:已知数列满足求数列的通项公式；
类型4 （其中p，q均为常数，）。
（或,其中p，q, r均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列
（其中），得：再待定系数法解决。
例:已知数列中，,，求。
变式:设数列的前项的和，，求首项与通项。
类型5递推公式为与的关系式。(或)
解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。
例：已知数列前n项和.
（1）求与的关系；（2）求通项公式.
（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：
由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以
变式: 1、已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，
求数列{an}的通项an
2、已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3
求数列{an}的通项公式.
类型6
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。
例:设数列：，求.
变式:已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3…
(Ⅰ)令 (Ⅱ)求数列
类型7
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。
例1：已知数列｛｝中，，求数列
2、已知数列
求数列的通项公式an.
类型8 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。
例：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。
变式: 1.已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝，求数列｛an｝的通项公式；
2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。
3、已知数列{}满足时，，求通项公式。
4、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。
5、若数列｛a｝中，a=1，a= n∈N，求通项a．
六、课堂小结
1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思