人教A版高中数学必修五2.3.2等差数列（习题课）教案
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学必修五2.3.2等差数列（习题课）教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 45.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-19 09:25:36 | ||
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文档简介
2.3.3 等差数列(习题课)
一、教学目标：
知识与技能：
1.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；
2.会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值.
过程与方法：
1.经历公式应用的过程，形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；
2.学会其常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平
情感、态度与价值观：
在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
二．重点难点?
重点：熟练等差数列的性质.
难点：灵活应用公式解决有关问题
三、教材与学情分析
"等差数列"是《数列》一章中的重要的基础知识，无论在知识，还是在能力上，都是进一步学习其他数列知识的基础。也是今后继续学习高等数学的基础知识，即能体现解决数列问题的通性通法，又可考查运算能力和推理能力及等价转化，函数方程、数形结合的重要数学思想方法。因此在《数列》一章具有极为重要的位置，还是高考的命题的热点。
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）导入新课
Ⅰ.复习回顾
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）
2．等差数列的通项公式：
(或=pn+q (p、q是常数))
3．有几种方法可以计算公差d ① d=－ ② d= ③ d=
4.等差数列的前n项和的两个公式：
(1)；(2). （二）讲授新课
例1 在等差数列{}中，若+=9, =7, 求 , .
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……
解：∵ {an }是等差数列 ∴ +=+ =9=9－=9－7=2
∴ d=－=7－2=5 ∴ =+(9－4)d=7+5*5=32 ∴ ? =2, =32
例2.课本P38的例2 解略
课本P39练习5
1.已知数列{}是等差数列
（1）是否成立？呢？为什么？
（2）是否成立？据此你能得到什么结论？
（3）是否成立？？你又能得到什么结论？
结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，
即 m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
但通常 ①由 推不出m+n=p+q ，②
探究：等差数列与一次函数的关系
【例3】 (课本第51页例4)
分析:等差数列{an}的前n项和公式可以写成，所以Sn可以看成函数 (x∈N *)当x=n时的函数值.另一方面，容易知道Sn关于n的图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求n的值.(解答见课本第52页)
师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢？请同学们说出这个数列的首项和公差.
生 它的首项为5，公差为.
师 对，它的首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当这数列的项出现负数时，则它的前n项的和一定会开始减小，在这样的情况下，同学们是否会产生新的解题思路呢？
生 老师，我有一种解法：先求出它的通项，求得结果是an=a1+(n-1)d=.
我令≤0，得到了n≥8，这样我就可以知道a8=0，而a9＜0.从而便可以发现S7=S8，从第9项和Sn开始减小，由于a8=0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大.
师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和的变化情况.
［方法引导］
师 受刚才这位同学的新解法的启发，我们大家一起来归纳一下这种解法的规律：
①当等差数列{an}的首项大于零，公差小于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n的值?
生Sn有最大值，可通过求得n的值.
师 ②当等差数列{an}的首项不大于零，公差大于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n的值?
生 Sn有最小值，可以通过求得n的值.
［教师精讲］
好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n项的和的最值问题就有法可依了.主要有两种：
(1)利用an取值的正负情况来研究数列的和的变化情况；
(2)利用Sn：由利用二次函数求得Sn取最值时n的值. ?
课堂练习
1.在等差数列中，已知，，求首项与公差
2. 在等差数列中, 若 求
已知：an=1 024+lg21-n(lg2=0.3 01 0)n∈*.问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？
(让一位学生上黑板去板演)
解：1°
+13 401＜n＜3 403.所以n=3 402.
2°Sn=1 024n+ (-lg2)，当Sn=0或Sn趋近于0时其和绝对值最小，
令Sn=0，即1 024+ (-lg2)=0,得n =+1≈6 804.99.
因为n∈N*，所以有n=6 805.
(教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评)
六、课堂小结
1．成等差数列
2．在等差数列中， m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
3.我们学会了利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值的方法：
①利用an：当an＞0，d＜0，前n项和有最大值.可由an≥0，且a n+1≤0，求得n的值；当an≤0，d＞0，前n项和有最小值.可由an≤0，且a n+1≥0，求得n的值.
②利用Sn：由Sn= n2+(a1-)n利用二次函数求得Sn取最值时n的值.
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思
一、教学目标：
知识与技能：
1.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；
2.会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值.
过程与方法：
1.经历公式应用的过程，形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；
2.学会其常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平
情感、态度与价值观：
在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
二．重点难点?
重点：熟练等差数列的性质.
难点：灵活应用公式解决有关问题
三、教材与学情分析
"等差数列"是《数列》一章中的重要的基础知识，无论在知识，还是在能力上，都是进一步学习其他数列知识的基础。也是今后继续学习高等数学的基础知识，即能体现解决数列问题的通性通法，又可考查运算能力和推理能力及等价转化，函数方程、数形结合的重要数学思想方法。因此在《数列》一章具有极为重要的位置，还是高考的命题的热点。
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）导入新课
Ⅰ.复习回顾
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）
2．等差数列的通项公式：
(或=pn+q (p、q是常数))
3．有几种方法可以计算公差d ① d=－ ② d= ③ d=
4.等差数列的前n项和的两个公式：
(1)；(2). （二）讲授新课
例1 在等差数列{}中，若+=9, =7, 求 , .
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……
解：∵ {an }是等差数列 ∴ +=+ =9=9－=9－7=2
∴ d=－=7－2=5 ∴ =+(9－4)d=7+5*5=32 ∴ ? =2, =32
例2.课本P38的例2 解略
课本P39练习5
1.已知数列{}是等差数列
（1）是否成立？呢？为什么？
（2）是否成立？据此你能得到什么结论？
（3）是否成立？？你又能得到什么结论？
结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，
即 m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
但通常 ①由 推不出m+n=p+q ，②
探究：等差数列与一次函数的关系
【例3】 (课本第51页例4)
分析:等差数列{an}的前n项和公式可以写成，所以Sn可以看成函数 (x∈N *)当x=n时的函数值.另一方面，容易知道Sn关于n的图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求n的值.(解答见课本第52页)
师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢？请同学们说出这个数列的首项和公差.
生 它的首项为5，公差为.
师 对，它的首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当这数列的项出现负数时，则它的前n项的和一定会开始减小，在这样的情况下，同学们是否会产生新的解题思路呢？
生 老师，我有一种解法：先求出它的通项，求得结果是an=a1+(n-1)d=.
我令≤0，得到了n≥8，这样我就可以知道a8=0，而a9＜0.从而便可以发现S7=S8，从第9项和Sn开始减小，由于a8=0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大.
师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和的变化情况.
［方法引导］
师 受刚才这位同学的新解法的启发，我们大家一起来归纳一下这种解法的规律：
①当等差数列{an}的首项大于零，公差小于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n的值?
生Sn有最大值，可通过求得n的值.
师 ②当等差数列{an}的首项不大于零，公差大于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n的值?
生 Sn有最小值，可以通过求得n的值.
［教师精讲］
好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n项的和的最值问题就有法可依了.主要有两种：
(1)利用an取值的正负情况来研究数列的和的变化情况；
(2)利用Sn：由利用二次函数求得Sn取最值时n的值. ?
课堂练习
1.在等差数列中，已知，，求首项与公差
2. 在等差数列中, 若 求
已知：an=1 024+lg21-n(lg2=0.3 01 0)n∈*.问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？
(让一位学生上黑板去板演)
解：1°
+13 401＜n＜3 403.所以n=3 402.
2°Sn=1 024n+ (-lg2)，当Sn=0或Sn趋近于0时其和绝对值最小，
令Sn=0，即1 024+ (-lg2)=0,得n =+1≈6 804.99.
因为n∈N*，所以有n=6 805.
(教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评)
六、课堂小结
1．成等差数列
2．在等差数列中， m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
3.我们学会了利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值的方法：
①利用an：当an＞0，d＜0，前n项和有最大值.可由an≥0，且a n+1≤0，求得n的值；当an≤0，d＞0，前n项和有最小值.可由an≤0，且a n+1≥0，求得n的值.
②利用Sn：由Sn= n2+(a1-)n利用二次函数求得Sn取最值时n的值.
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思