人教A版高中数学必修五2.5.1等比数列的前n项和教案
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学必修五2.5.1等比数列的前n项和教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 26.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-19 09:27:08 | ||
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文档简介
2.5 等比数列的前n项和
一、教学目标：
知识与技能：
掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
过程与方法：
经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
情感、态度与价值观：
在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
二．重点难点?
重点：等比数列的前n项和公式推导
难点：灵活应用公式解决有关问题
三、教材与学情分析
"等差数列前n项和公式"是《数列》一章中的重要的基础知识，无论在知识，还是在能力上，都是进一步学习其他数列知识的基础。推导等比数列前n项和的"错位相减法"是今后数列求和的一种常用的重要方法，公式又有广泛的实际应用，是今后继续学习高等数学的基础知识，且能体现解决数列问题的通性通法，又可考查运算能力和推理能力及等价转化，函数方程、数形结合的重要数学思想方法。因此等比数列前n项和公式在《数列》一章具有极为重要的位置，还是高考的命题的热点。
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）导入新课
Ⅰ.复习回顾
前面我们一起学习有关等比数列的定义、通项公式及性质.
(1)定义式：＝q(n≥2，q≠0)
(2)通项公式：an＝a1qn－1(a1，q≠0)
(3)性质：①a，G，b成等比数列G2＝ab
②在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq
（二）讲授新课
前面我们一起探讨了等差数列的求和问题，等比数列的前n项和如何求?下面我们先来看引言.
引言中提到的问题是这样的：求数列1，2，4，…，263的各项和.可看出，
这一数列为一以a1＝1，q＝2的等比数列.这一问题相当于求此数列的前64项的和前n项和公式
一般地，设有等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋…＋an.
刚才问题即为求：S64＝a1＋a2＋…＋a64＝1＋2＋4＋…＋263 ①
我们发现，若在①式两边同乘以2，则得
2S64＝2＋4＋…＋263＋264 ②
由②－①可得：S64＝264－1
同理，等比数列的前n项和公式：
当时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列它的前n项和是
由，得
∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即 （结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：
＝
＝＝（结论同上）
（三）.例题讲解
［例1］求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.
分析：等比数列的第5项到第10项可组成一新等比数列.
解法一：由1，2，4，…可知：a1＝1，q＝2
∴an＝2n－1，∴a5＝24＝16，a10＝29＝512.w w w .x k b 1.c o m
从第5项到第10项共有6项，它们的和为：＝1008.
答案：从第5项到第10项的和为1008.
解法二：从第5项到第10项的和为：a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝S10－S4
由a1＝1，q＝2得Sn＝＝2n－1，∴S10＝210－1＝1023[来源:Zxxk.Com]
S4＝24－1＝15，S10－S4＝1008.
答：从第5项到第10项的和为1008.
［例2］一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人?
分析：得知信息的人数可组成一以1为首项，公比为2的等比数列.
解：根据题意可知，获知此信息的人数依次为1，2，4，8，…是一以a1＝1，q＝2的等比数列.
一天内获知此信息的总人数为即为此数列的前24项之和S24＝＝224－1
答：一天时间可传遍224－1人.
评述：应先将所遇问题数学化，然后用有关知识加以解决.
六、课堂小结
1.等比数列求和公式：当q=1时，
当时， 或
2.思想方法：错位相减法，化归思想。
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思
教师应努力让学生掌握知识系统的结构，而不是零星的知识片断，这就需要通过归纳总结来揭示知识的内在联系，强化知识体系，形成牢固的知识结构，同时，系统的知识是记忆的支柱，又便于联想和应用，学生理掌握了最基本的原理和它们之间的结构体系，他就能认识到，许多新的问题并非是新的，它只不过是熟悉问题的变式或综合罢了。例如，当学生用1+100=2+99=3+98=4+97=101来求得结果后，教师马上要求学生总结它用到了等差数列的哪一个性质，目的是要让学生总结出：若p+q=m+n,则ap+aq=am+an，运用
1中的解题思路，结合刚才总结的性质，学生顺利地导出了求和公式，又如，在例3完成之后，教师与学生一起总结得到了：等差数列的前n项和的公式中共涉及五个变量，如果已知三个变量，就能求出另外的二个变量，这些总结都起了十分重要的作用，使新知识与学生认知结构中已有的知识建立起实质的联系，可以避免知识庞杂而不得要领，有利于学生抓住重点，掌握结构，掌握结构，领会原理，融会贯通；有利于认知结构的内化和发展。
一、教学目标：
知识与技能：
掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
过程与方法：
经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
情感、态度与价值观：
在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
二．重点难点?
重点：等比数列的前n项和公式推导
难点：灵活应用公式解决有关问题
三、教材与学情分析
"等差数列前n项和公式"是《数列》一章中的重要的基础知识，无论在知识，还是在能力上，都是进一步学习其他数列知识的基础。推导等比数列前n项和的"错位相减法"是今后数列求和的一种常用的重要方法，公式又有广泛的实际应用，是今后继续学习高等数学的基础知识，且能体现解决数列问题的通性通法，又可考查运算能力和推理能力及等价转化，函数方程、数形结合的重要数学思想方法。因此等比数列前n项和公式在《数列》一章具有极为重要的位置，还是高考的命题的热点。
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）导入新课
Ⅰ.复习回顾
前面我们一起学习有关等比数列的定义、通项公式及性质.
(1)定义式：＝q(n≥2，q≠0)
(2)通项公式：an＝a1qn－1(a1，q≠0)
(3)性质：①a，G，b成等比数列G2＝ab
②在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq
（二）讲授新课
前面我们一起探讨了等差数列的求和问题，等比数列的前n项和如何求?下面我们先来看引言.
引言中提到的问题是这样的：求数列1，2，4，…，263的各项和.可看出，
这一数列为一以a1＝1，q＝2的等比数列.这一问题相当于求此数列的前64项的和前n项和公式
一般地，设有等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋…＋an.
刚才问题即为求：S64＝a1＋a2＋…＋a64＝1＋2＋4＋…＋263 ①
我们发现，若在①式两边同乘以2，则得
2S64＝2＋4＋…＋263＋264 ②
由②－①可得：S64＝264－1
同理，等比数列的前n项和公式：
当时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列它的前n项和是
由，得
∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即 （结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：
＝
＝＝（结论同上）
（三）.例题讲解
［例1］求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.
分析：等比数列的第5项到第10项可组成一新等比数列.
解法一：由1，2，4，…可知：a1＝1，q＝2
∴an＝2n－1，∴a5＝24＝16，a10＝29＝512.w w w .x k b 1.c o m
从第5项到第10项共有6项，它们的和为：＝1008.
答案：从第5项到第10项的和为1008.
解法二：从第5项到第10项的和为：a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝S10－S4
由a1＝1，q＝2得Sn＝＝2n－1，∴S10＝210－1＝1023[来源:Zxxk.Com]
S4＝24－1＝15，S10－S4＝1008.
答：从第5项到第10项的和为1008.
［例2］一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人?
分析：得知信息的人数可组成一以1为首项，公比为2的等比数列.
解：根据题意可知，获知此信息的人数依次为1，2，4，8，…是一以a1＝1，q＝2的等比数列.
一天内获知此信息的总人数为即为此数列的前24项之和S24＝＝224－1
答：一天时间可传遍224－1人.
评述：应先将所遇问题数学化，然后用有关知识加以解决.
六、课堂小结
1.等比数列求和公式：当q=1时，
当时， 或
2.思想方法：错位相减法，化归思想。
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思
教师应努力让学生掌握知识系统的结构，而不是零星的知识片断，这就需要通过归纳总结来揭示知识的内在联系，强化知识体系，形成牢固的知识结构，同时，系统的知识是记忆的支柱，又便于联想和应用，学生理掌握了最基本的原理和它们之间的结构体系，他就能认识到，许多新的问题并非是新的，它只不过是熟悉问题的变式或综合罢了。例如，当学生用1+100=2+99=3+98=4+97=101来求得结果后，教师马上要求学生总结它用到了等差数列的哪一个性质，目的是要让学生总结出：若p+q=m+n,则ap+aq=am+an，运用
1中的解题思路，结合刚才总结的性质，学生顺利地导出了求和公式，又如，在例3完成之后，教师与学生一起总结得到了：等差数列的前n项和的公式中共涉及五个变量，如果已知三个变量，就能求出另外的二个变量，这些总结都起了十分重要的作用，使新知识与学生认知结构中已有的知识建立起实质的联系，可以避免知识庞杂而不得要领，有利于学生抓住重点，掌握结构，掌握结构，领会原理，融会贯通；有利于认知结构的内化和发展。