人教A版高中数学必修五第二章小结与复习教案

2.6 第二章数列--小结与复习
一、教学目标：
知识与技能：
1．系统掌握数列的有关概念和公式。
2．了解数列的通项公式与前n项和公式的关系。
3．能通过前n项和公式求出数列的通项公式。?
过程与方法：
?通过复习培养学生总结归纳能力，结合典型问题分析，提高学生知识的综合运用能力。
情感、态度与价值观：
通过典型问题解决，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，
培养学生的类比、归纳的能力;??
二．重点难点?
重点：数列的基本概念；数列的基本性质；等差数列；等比数列的应用.
难点：数列的基本概念；数列的基本性质；等差数列；等比数列的应用.
三、课型
复习课
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
(一) 本章知识结构
(二)知识纲要
(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．
(2)等差、等比数列的定义．
(3)等差、等比数列的通项公式．
(4)等差中项、等比中项．
(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．
（三）典例解析
专题一：数列的通项公式的求法
数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数的解析式．根据数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前n项和．求数列的通项公式是数列的核心问题之一．现根据数列的结构特征把常见求通项公式的方法总结如下：
1．知Sn求an
例1、(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝(－1)n＋1n，求an；
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.
[解析]　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1n－(－1)n(n－1)＝(－1)n(1－2n)，
当n＝1时，a1＝S1＝(－1)2×1＝1，适合上式．∴an＝(－1)n(1－2n)．
(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝3＋21＝5，不满足上式．
∴an＝.
变式练习：已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋1，求通项 an.
2．累加法
例2、数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式．
[解析]　(1)由an＋2＝2an＋1－an＋2得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2. 即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1.所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.于是(ak＋1－ak)＝(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.
变式训练：已知{an}中，,求通项 an.
3．累乘法
例3、已知数列{an}中，a1＝，Sn＝n2an，其中Sn是数列{an}的前n项和，求an.
[解析]　由Sn＝n2an，得Sn－1＝(n－1)2an－1，两式相减，得an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1(n≥2)，∴＝(n≥2)． ∴an＝(···…·)·a1＝(···…··)·＝×＝(n≥2)．又∵当n＝1时，a1＝也符合上式， ∴an＝.
4．构造转化法
例4、在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，求an.
[解析]由已知an＋1＝an＋1得：(an＋1－3)＝(an－3)∴＝，∴{an－3}为以a1－3＝－2为首项，q＝的等比数列．∴an－3＝(－2)×()n－1，∴an＝3－2·()n－1.
b1＝a2－a1＝a1＋1－a1＝，
∴bn＝×n－1＝n，即an＋1－an＝n， ③
由①③得an＝3－3×n.
变式训练：已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N＋)．求数列{an}的通项公式．
专题二：数列的前n项和的求法
求数列的前n项和是数列运算的重要内容之一，也是历年高考考查的热点．对于等差、等比数列，可以直接利用求和公式计算，对于一些具有特殊结构的数列，常用倒序相加法、裂项相消法、错位相减法等求和．
1．分组转化法
如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．
例5、已知数列1＋1，＋4，＋7，…，＋3n－2，…求其前n项的和．
[解析]　设Sn＝(1＋1)＋(＋4)＋(＋7)＋…＋(＋3n－2)＝(1＋＋＋…＋)＋[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]，当a＝1时，Sn＝n＋＝；当a≠1时，Sn＝＋＝＋.
变式训练：已知数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n，…。(1)求其通项公式an；(2)求这个数列的前n项和Sn.
2．裂项相消法
对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．
例6、求和：1＋＋＋…＋(n∈N＋)．
[解析]　∵an＝＝＝2，∴a1＝2，a2＝2，
a3＝2，…，an＝2，
∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝2＋＋＋…＋－＝2＝.
3．错位相减法
若数列{an}为等差数列，数列{bn}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{anbn}的各项乘以公比q，并项后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．
例7、设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝3n＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.
[解析](1)因为2Sn＝3n＋3，所以当n＝1时2a1＝3＋3，故a1＝3，当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3，此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，所以an＝
(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝，当n≥2时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n.所以T1＝b1＝；当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n)，所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋
…＋(n－1)×32－n]．两式相减，得2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n＝＋
－(n－1)×31－n＝－.所以Tn＝－经检验，n＝1时也适合．综上可得Tn＝－.
4．倒序相加法
如果一个数列{an}与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法．
例8、已知函数f(x)＝(m>0)，当x1、x2∈R，且x1＋x2＝1时，总有f(x1)＋f(x2)＝.(1)求m的值．
(2)设Sn＝f()＋f()＋f()＋…＋f()，求Sn.
[解析]　(1)取x1＝x2＝，则f()＝＝，所以m＝2.
(2)因为当x1、x2∈R，且x1＋x2＝1时，总有f(x1)＋f(x2)＝，所以f()＋f()＝，f()＋f()＝，….因为Sn＝f()＋f()＋f()＋…＋f()，故Sn＝f()＋f()＋f()＋…＋f()．两式相加得：
2Sn＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＝，所以Sn＝.
六、课堂小结
今天我们学习解三角形的综合应用相关知识，其主要有两大类问题：
一、数列通项公式的求法；
二、数列前n项和的求法.
七、课后作业
1.课时练与测
八、教学反思